線性代數行列式第一章在經濟生活、工程技術和科學管理活動中，經常遇到有關若干變量之間線性關系的問題，而這些問題往往都可以歸結為求解線性方程組．求解線性方程組是線性代數的主要內容，行列式是解線性方程組的重要工具．本章將介紹狀階行列式的定義、性質及其運算，并介紹求解狀元線性方程組的克拉默（Ｃｒａｍｅｒ）法則．第一章1.1二階與三階行列式一、二階行列式行列式的概念源于用消元法求解線性方程組．設二元線性方程組（１）其中是未知量，是未知量的系數，是常數項．用加減消元法，在方程組（１）的第一個方程和第二個方程的兩端分別乘與，然后兩式相減，消去未知量，得到用同樣的方法消去，得到第一章1.1二階與三階行列式一、二階行列式稱為二階行列式．其由四個數，，，，排成兩行兩列，數稱為行列式的元素，簡稱為元。它的第一個下標稱為行標，表示元素位于行列式的第行；它的第二個下標稱為列標，表示元素位于行列式的第列.此二階行列式表示算式，即有二階行列式的定義本身也給出了它的計算方法：主對角線上的兩元素之積取正號，次對角線上的兩元素之積取負號.這種計算法稱為二階行列式的對角線法則.第一章1.1二階與三階行列式二、三階行列式與二階行列式類似，為了簡單地表達三元線性方程組的解，引入三階行列式.設有9個數排成三行三列的數表引入記號稱為數表（5）所確定的三階行列式，且有第一章1.1二階與三階行列式二、三階行列式由（６）式右端可見，三階行列式含６（３！）項，每一項均為自不同行、不同列的三個元素的乘積，再冠以正負號，其計算規律仍遵循對角線法則（圖１-１）：即每條實線（共三條）所連接的三個元素的乘積前面加上正號，每條虛線（共三條）所連接的三個元素的乘積前面加上負號（對角線法則同樣適用于三階行列式）．第一章1.2

n階行列式一、排列與逆序定義１若在某個

階排列

中，有較大的數排在較小的數的前面，則這兩個數構成一個逆序．一個

階排列中逆序的總數稱為它的逆序數，記作

．逆序數是奇數的排列稱為奇排列；逆序數是偶數的排列稱為偶排列．第一章1.2

n階行列式二、ｎ階行列式先來研究二階行列式、三階行列式的結構：容易看出：（１）二階行列式表示的代數和的每一項都是取自不同行不同列的兩個數的乘積，每一項除符號外可以寫成

（這里行標按自然序排列，列標是一個二階排列）．（２）當列標

取遍所有的二階排列（12，21）時，就得到二階行列式的所有的項，共2!＝2項．（３）每一項的符號是：當這一項的行標按自然序排列時，如果對應的列標構成的排列是偶排列則該項取正號，是奇排列則該項取負號．第一章1.2

n階行列式二、ｎ階行列式定義2設有

個數

排成

行（橫排為行）

列（縱排為列），組成的符號（1）稱為

階行列式．它表示一個算式，這個算式是所有可能取自不同行不同列的

個數的乘積的代數和．每一項的符號是由該項行標排列和列標排列逆序數之和的奇偶性所決定：當其行標按自然序排列（自然序排列的逆序數是０），那么該項的符號就由其相應列標排列的逆序數決定．如果相應的列標構成的排列是偶排列則取正號，是奇排列則取負號．第一章1.3

n階行列式的性質一、對換定義

在

階排列中，將任意兩個元素對調，其余的元素不動，稱為對排列的一次對換．將相鄰兩個元素對換稱為相鄰對換．例如五階排列25413中的5與3對換，得到新的五階排列23415．τ（25413）=6，25413為偶排列，而τ（23415）=3，23415為奇排列．顯然經過一次對換就改變了排列的奇偶性．這一結論具有一般性．定理

一個排列中的任意兩個元素對換，則排列的奇偶性改變．推論

將奇排列變成自然序排列的對換次數為奇數，將偶排列變成自然序排列的對換次數為

偶數．第一章1.3

n階行列式的性質二、ｎ階行列式的性質記稱

為

的轉置行列式．性質１行列式與它的轉置行列式相等，即．性質２互換行列式的任意兩行（列），行列式僅改變符號．推

論

行列式中兩行（列）對應元素相同，那么這個行列式等于零．第一章1.3

n階行列式的性質二、ｎ階行列式的性質性質３行列式中某一行（列）中所有元素都乘同一個數ｋ，等于用數犽乘此行列式．推論１行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．推論２行列式中某一行（列）的所有元素全為零，那么這個行列式等于零．性質４行列式中有兩行（列）對應元素成比例，那么這個行列式等于零．性質５若行列式的某一行（列）的各元素是兩數之和，則可將行列式寫成兩個行列

式之和．性質６把行列式的某一行（列）的各元素乘同一個數后加到另一行（列）對應元素上

去，行列式的值不變．第一章1.４行列式按行（列）展開一、余子式和代數余子式定義在

階行列式中，把

元

所在的第

行第

列元素劃去后，留下的元素保持原來相對位置不變組成的

階行列式稱為元素

的余子式，記作

；記

，

稱為

元

的代數余子式．引理一個

階行列式，如果其中第

行所有元素中除

元

外，其余元素全為０，則該行列式等于

與其代數余子式的乘積，即

．第一章1.４行列式按行（列）展開二、行列式按行（或列）展開定理定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數余子式的乘積之和．即或推論行列式中，任一行（列）的各元素與另一行（列）相應元素的代數余子式的乘積之和等于零．即第一章1.5

克拉默法則二、行列式按行（或列）展開定理下面用

階行列式來求解含有

個未知量

個方程的線性方程組．設含有

個未知量

個方程的線性方程組（１）類似于二元、三元線性方程組，它的解可以用狀階行列式表示，即有克拉默法則，亦稱克萊姆法則．第一章1.5

克拉默法則二、行列式按行（或列）展開定理在使用克拉默法則解線性方程組時，要注意有兩個條件必須滿足：（１）方程個數與未知量個數相等；（２）系數行列式

．當方程組（１）右端的常數項

全為零時，則（２）稱為齊次線性方程組，否則稱為非齊次線性方程組．第一章1.5

克拉默法則二、行列式按行（或列）展開定理

顯然是齊次線性方程組（２）的解，稱為齊次線性方程組（２）的零解．如果齊次線性方程組（２）除了零解外，還有不全為零的解，稱為齊次線性方程組（２）的非零