時間：二O二一年七月二十九日初二幾何難題訓練題之邯鄲勺丸創作時間：二O二一年七月二十九日1,如圖矩形ABCD對角線AC、BD交于O,EF鑒別是OA、OB的中點1）求證△ADE≌△BCF：（2）若AD=4cm,AB=8cm,求CF的長.證明：（1）在矩形ABCD中,AC,BD為對角線,∴AO=OD=OB=OC∴∠DAO=∠ADO=∠CBO=∠BCO∵E,F為OA,OB中點∴AE=BF=1/2AO=1/2OB∵AD=BC,∠DAO=∠CBO,AE=BF∴△ADE≌△BCF2）過F作MN⊥DC于M,交AB于N∵AD=4cm,AB=8cm∴BD=4根號5∵BF:BD=NF:MN=1：4∴NF=1,MF=3∵EF為△AOB中位線∴EF=1/2AB=4cm∵四邊形DCFE為等腰梯形∴MC=2cm∴FC=根號13cm.2,如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC,對角線時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日AC⊥BD,垂足為F,過點F作EF∥AB,交AD于點E,CF=4cm．1）求證：四邊形ABFE是等腰梯形；2）求AE的長．1）證明：過點D作DM⊥AB,∵DC∥AB,∠CBA=90°,∴四邊形BCDM為矩形．∴DC=MB．∵AB=2DC,∴AM=MB=DC．∵DM⊥AB,∴AD=BD．∴∠DAB=∠DBA．∵EF∥AB,AE與BF交于點D,即AE與FB不服行,∴四邊形ABFE是等腰梯形．2）解：∵DC∥AB,∴△DCF∽△BAF．∴CDAB=CFAF=12．∵CF=4cm,∴AF=8cm．∵AC⊥BD,∠ABC=90°,在△ABF與△BCF中,∵∠ABC=∠BFC=90°,時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日∴∠FAB+∠ABF=90°,∵∠FBC+∠ABF=90°,∴∠FAB=∠FBC,∴△ABF∽△BCF,即BFCF=AFBF,∴BF2=CF?AF．∴BF=42cm．∴AE=BF=42cm．3,如圖,用三個全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四邊形ADEH,連結AE與BG、CF鑒別交于P、Q,1）若AB=6,求線段BP的長；2）不雅察圖形,能否有三角形與△ACQ全等？并證明你的結論解：（1）∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等菱形∴BC=CD=DE=AB=6,BG∥DE∴AD=3AB=3×6=18,∠ABG=∠D,∠APB=∠AED∴△ABP∽△ADE∴BPDE=ABAD∴BP=ABAD?DE=618×6=2；2）∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等的菱形∴AB=BC=EF=FG∴AB+BC=EF+FG∴AC=EG∵AD∥HE時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日∴∠1=∠2∵BG∥CF∴∠3=∠4∴△EGP≌△ACQ．4,已知點E,F在三角形ABC的邊AB所在的直線上,且AE=BF,FH//EG//AC,FH、EC鑒別交邊BC所在的直線于點H,G假如點E.F在邊AB上,那么EG+FH=AC,請證明這個結論假如點E在AB上,點F在AB的延伸線上,那么線段EG,FH,AC的長度關系是什么？假如點E在AB的反向延伸線上,點F在AB的延伸線上,那么線段EG,FH,AC的長度關系是什么？請你就1,2,3的結論,選擇一種狀況賜給證明解：（1）∵FH∥EG∥AC,∴∠BFH=∠BEG=∠A,△BFH∽△BEG∽△BAC．∴BF/FH=BE/EG=BA/AC∴BF+BE/FH+EG=BA/AC又∵BF=EA,∴EA+BE/FH+EG=AB/AC∴AB/FH+EG=AB/AC．∴AC=FH+EG．2）線段EG、FH、AC的長度的關系為：EG+FH=AC．證明（2）：過點E作EP∥BC交AC于P,∵EG∥AC,∴四邊形EPCG為平行四邊形．∴EG=PC．∵HF∥EG∥AC,∴∠F=∠A,∠FBH=∠ABC=∠AEP．又∵AE=BF,∴△BHF≌△EPA．∴HF=AP．∴AC=PC+AP=EG+HF．即EG+FH=AC．時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日5,如圖是一個稀有鐵夾的正面表示圖,OA,OB表示鐵夾的兩個面,C是軸,CD⊥OA于點D,已知DA=15mm,DO=24mm,DC=10mm,我們知道鐵夾的正面是軸對稱圖形,懇求出A、B兩點間的距離．解：連結AB,同時連結OC并延伸交AB于E,因為夾子是軸對稱圖形,故OE是對稱軸,∴OE⊥AB,AE=BE,∴Rt△OCD∽Rt△OAE,∴OC:OA=CD:AE∵OC2=OD2+CD2∴OC=26,∴AE==15,∵AB=2AE∴AB=30（mm）．（8分）答：AB兩點間的距離為30mm．6,如圖,在平行四邊形ABCD中,過點B作BE⊥CD,垂足為E,連結AE,F為AE上一點,且∠BFE=∠C,（1）求證：△ABF∽△EAD；（2）若AB=5,AD=3,∠BAE=30°,求BF的長解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD,AD∥BC∴∠BAE=∠AED,∠D+∠C=180°且∠BFE+∠AFB=180°又∵∠BFE=∠C時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日∴∠D=∠AFB∵∠BAE=∠AED,∠D=∠AFB∴△ABF∽△EAD2）∵∠BAE=30°,且AB∥CD,BE⊥CD∴△ABEA為Rt△,且∠BAE=30°又∵AB=4∴AE=3分之8倍根號37,如圖,AB與CD訂交于E,AE=EB,CE=ED,D為線段FB的中點,GF與AB訂交于點G,若CF=15cm,求GF之長.解∵CE=DEBE=AE,∴△ACE≌△BDE∴∠ACE=∠BDE∵∠BDE+∠FDE=180°∴∠FDE+∠ACE=180°∴AC∥FB∴△AGC∽△BGF∵D是FB中點DB=AC∴AC：FB=1：2∴CG：GF=1：2；設GF為x則CG為15-XGF=CF/3C×2=10cm8,如圖1,已知四邊形ABCD是菱形,G是線段CD上的隨意一點時,時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日連結BG交AC于F,過F作FH∥CD交BC于H,能夠證明結論FH/AB=FG/BG建立．（考生不用證明）（1）研究：如圖2,上述條件中,若G在CD的延伸線上,其余條件不變時,其結論能否建立？若建立,請給出證明；若不建立,請說明原因；2）計算：若菱形ABCD中AB=6,∠ADC=60°,G在直線CD上,且CG=16,連結BG交AC所在的直線于F,過F作FH∥CD交BC所在的直線于H,求BG與FG的長．3）發明：經過上述過程,你發明G在直線CD上時,結論FH/AB=FG/BG還建立嗎？解：（1）結論FHAB=FGBG建立證明：由已知易得FH∥AB,∴FH/AB=HC/BC,∵FH∥GC,HCBC=FGBG∴FH/AB=FG/BG．（2）∵G在直線CD上,∴分兩種狀況議論以下：①G在CD的延伸線上時,DG=10,如圖1,過B作BQ⊥CD于Q,因為四邊形ABCD是菱形,∠ADC=60°,∴BC=AB=6,∠BCQ=60°,．又由FH∥GC,可得FH/GC=BH/BC,時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日而△CFH是等邊三角形,∴BH=BC-HC=BC-FH=6-FH,∴FH16=6-FH6,∴FH=4811,由（1）知FH/AB=FG/BG,②G在DC的延伸線上時,CG=16,如圖2,過B作BQ⊥CG于Q,∵四邊形ABCD是菱形,∠ADC=60°,∴BC=AB=6,∠BCQ=60°．．又由FH∥CG,可得FH/GC=BH/BC,∴FH16=BH6．∵BH=HC-BC=FH-BC=FH-6,9,如圖,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=12cm,BC=8cm,DC=13cm,動點P沿A→D→C線路以2cm/秒的速度向C運動,動點Q沿B→C線路以1cm/秒的速度向C運動．P、Q兩點鑒別從A、B同時出發,當此中一點抵達C點時,另一點也隨之停止