高等數學第一章函數第一頁，共三十七頁，2022年，8月28日緒論課程名稱高等數學計劃學時考核形式課堂紀律作業問題答疑輔導學習方法真、苦、巧、活課前預習、重點聽講、簡記筆記、整理咀嚼、后作練習第二頁，共三十七頁，2022年，8月28日

我們這門課程叫高等數學，它的內容包括一元和多元微積分學，無窮級數論和作為理論基礎的極限理論，以及作為一元微積分學的簡單應用——常微分方程。由于構成它的主體是一元函數微積分學，所以有時又稱為微積分。17世紀（1763年）Descartes建立了解析幾何，同時把變量引入數學，對數學的發展產生了巨大的影響，使數學從研究常量的初等數學進一步發展到研究變量的高等數學。微積分是高等數學的一個重要的組成部分，是研究變量間的依賴關系——函數的一門學科，是學習其它自然科學的基礎。第三頁，共三十七頁，2022年，8月28日

高等數學研究的主要對象是函數，主要研究函數的分析性質（連續、可導、可積等）和分析運算（極限運算、微分法、積分法等）。那么高等數學用什么方法研究函數呢？這個方法就是極限方法，也稱為無窮小分析法。從方法論的觀點來看，這是高等數學區別于初等數學的一個顯著標志。

由于高等數學的研究對象和研究方法與初等數學有很大的不同，因此高等數學呈現出以下顯著特點：概念更復雜理論性更強表達形式更加抽象推理更加嚴謹第四頁，共三十七頁，2022年，8月28日

因此在學習高等數學時，應當認真閱讀和深入鉆研教材的內容，一方面要透過抽象的表達形式，深刻理解基本概念和理論的內涵與實質，以及它們之間的內在聯系，正確領會一些重要的數學思想方法，另一方面也要培養抽象思維和邏輯推理的能力。

學習數學，必須做一定數量的習題，做習題不僅是為了掌握數學的基本運算方法，而且也可以幫助我們更好地理解概念、理論和思想方法。但我們不應該僅僅滿足于做題，更不能認為，只要做了題，就算學好了數學。第五頁，共三十七頁，2022年，8月28日

高等數學中幾乎所有的概念都離不開極限，因此極限概念是高等數學的重要概念，極限理論是高等數學的基礎理論，極限是高等數學的精華所在，是高等數學的靈魂。因此很好地理解極限概念是學習好微積分的關鍵，同時也是從初等數學邁入高等數學的一個重要階梯。

極限是研究在指定的過程中某變量的變化趨勢，這里所講的變化趨勢有其明確的含義：不管所指定的變化過程多么復雜，我們所關心的僅僅是變量變化的終極目標，若這個終極目標存在，就稱之為變量的極限

本章我們首先介紹極限理論的基本概念、運算和性質，然后討論函數的連續性第六頁，共三十七頁，2022年，8月28日重點

極限概念，無窮小與極限的關系，極限運算法則，兩個重要極限，連續概念，初等函數的連續性，間斷點及其分類難點極限概念及求極限的方法技巧基本要求①能準確敘述并深刻理解極限定義，明確其幾何意義，會用定義驗證極限②正確理解無窮小量及其與極限的關系第七頁，共三十七頁，2022年，8月28日③牢固掌握極限運算法則，極限的性質，尤其是函數極限的保號性質④理解極限存在準則，熟記兩個重要極限及其證明方法，靈活地運用它們及各種變形公式求極限⑤正確理解連續概念，理解間斷點的分類⑥理解初等函數的連續性，掌握閉區間上連續函數的性質第八頁，共三十七頁，2022年，8月28日一、基本概念1.集合:具有某種特定性質的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集數集分類:N----自然數集Z----整數集Q----有理數集R----實數集第九頁，共三十七頁，2022年，8月28日數集間的關系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規定空集為任何集合的子集.2.區間:是指介于某兩個實數之間的全體實數.這兩個實數叫做區間的端點.第十頁，共三十七頁，2022年，8月28日稱為開區間,稱為閉區間,稱為半開區間,稱為半開區間,有限區間第十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日無限區間區間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區間的長度.3.鄰域:第十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日第十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日4.絕對值:運算性質:絕對值不等式:絕對值不等式的兩個變形公式：第十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日絕對值不等式的證明①兩式相加得②幾何直觀③分四種情況驗證xyx+y第十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日④在復數范圍內成立為證三角不等式只須證明為證上式，又只須證明第十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日又只須證明由基本不等式上式是顯然的

對三角不等式及其證明方法要加深印象，深刻理解，靈活運用，后面將要講到的極限在很多情況下要用到三角不等式來對不等式進行放大和縮小。同理第十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日二、函數概念例圓內接正多邊形的周長圓內接正n

邊形Or)第十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日定義設x和y是兩個變量，D是一個給定的數集，

若對于x∈D，變量y按照確定的法則總有確定的數值和它對應，則稱y是x的函數記作自變量因變量第十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日函數的兩要素:定義域與對應法則.自變量對應法則f因變量約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數值.第二十頁，共三十七頁，2022年，8月28日如果自變量在定義域內任取一個數值時，對應的函數值總是只有一個，這種函數叫做單值函數，否則叫與多值函數．定義:第二十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日幾個特殊的函數舉例(1)符號函數1-1xyo(2)取整函數y=[x][x]表示不超過

x的最大整數12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線第二十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日(3)狄利克雷函數有理數點無理數點?1xyo(4)取最值函數yxoyxo第二十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日在自變量的不同變化范圍中,

對應法則用不同的式子來表示的函數,稱為分段函數.(5)絕對值函數oxy定義域R值域第二十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日例1脈沖發生器產生一個單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時間的函數關系式.解單三角脈沖信號的電壓第二十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日第二十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日例2解故第二十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日三、函數的特性1．函數的有界性:M-Myxoy=f(x)X有界M-MyxoX無界第二十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日2．函數的單調性:xyo第二十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日xyo第三十頁，共三十七頁，2022年，8月28日3．函數的奇偶性:yxox-x偶函數第三十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日yxox-x奇函數第三十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日4．函數的周期性:（通常說周期函數的周期是指其最小正周期）.第三十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日四、反函數DWDW第三十四頁，共三十七頁，2