學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2020-2021學年新教材蘇教版數學必修第二冊教師用書：第13章13.113.1.3直觀圖的斜二測畫法含解析13。1.3直觀圖的斜二測畫法學習目標核心素養1.了解斜二測畫法的概念．(重點)2．會用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形和立體圖形的直觀圖．（難點、易錯點)3．會根據平面圖形及空間圖形的直觀圖還原出平面圖形及空間圖形．（難點）1.通過對用斜二測畫法畫直觀圖的學習，培養學生直觀想象素養．2．借助于斜二測畫法的相關計算，培養學生數學運算素養。在工程制圖中,正投影被廣泛應用于繪制三視圖，但三視圖的直觀性較差．如何把立體圖形畫在紙上？思考平面圖形水平放置圖應怎么畫圖，才能體現圖形的立體感？1．用斜二測畫法畫水平放置平面圖形的直觀圖的規則（1)畫軸：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點O.畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸與y′軸，兩軸交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°）,它們確定的平面表示水平面．（2）畫線：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段．(3)取長度：已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段,長度為原來的一半．2．空間圖形的直觀圖的斜二測畫法規則(1)在空間圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于O點,再取z軸,使∠xOz＝90°,且∠yOz＝90°。（2）畫直觀圖時把它們畫成對應的x′軸、y′軸和z′軸，它們相交于O′,并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°,x′軸和y′軸所確定的平面表示水平面．（3)已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸或z′軸的線段．(4)已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段，長度為原來的一半．思考：畫平面圖形直觀圖的關鍵和注意點是什么？提示：(1)畫水平放置的平面圖形的直觀圖，關鍵是確定多邊形頂點的位置,借助于平面直角坐標系確定頂點后,只需把這些頂點順次連接即可．(2)用斜二測畫法畫直觀圖要掌握水平長度不變，垂線長度減半,直角畫45°(或135°）．1．思考辨析（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）(1)原圖形中平行于x軸的線段,其對應線段平行于x′軸，長度不變． （）（2）原圖形中平行于y軸的線段，其對應線段平行于y′軸，長度變為原來的eq\f(1，2）． （)（3)畫與直角坐標系xOy對應的坐標系x′O′y′時，∠x′O′y′必須是45°． （）（4）在畫直觀圖時，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同． (）［答案]（1）√(2）√（3)×（4)√2．下列說法正確的是（）A．相等的角，在直觀圖中仍相等B．長度相等的線段，在直觀圖中長度仍相等C．若兩條線段平行，在直觀圖中對應的線段仍平行D．若兩條線段垂直，則在直觀圖中對應的線段也互相垂直C［由斜二測畫法規則知,角度、長度都可能改變，平行性不變,所以A、B、D錯誤，C正確．］3．已知兩個圓錐，底面重合在一起(底面平行于水平面），其中一個圓錐頂點到底面的距離為2cm,另一個圓錐頂點到底面的距離為3cm，則其直觀圖中這兩個頂點之間的距離為________cm.5[由空間直觀圖的畫法知,在z軸上或平行于z軸的線段長度保持不變，所以兩頂點間的距離為2cm＋3cm＝5cm。]4．如圖是水平放置的△ABC的直觀圖△A′B′C′，A′B′∥y′軸，則△ABC的形狀是________三角形．直角［由斜二測畫法規則知,在直觀圖中，AB⊥BC，所以△ABC是直角三角形．］畫水平放置的平面圖形的直觀圖【例1】畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖．［思路點撥］eq\x（建系)eq\o(→，\s\up10（依據斜二測），\s\do15（畫法))eq\x（定點)→eq\x(連線成圖）[解］畫法：(1）如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點O為原點，建立直角坐標系,畫對應的坐標系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°。(2）以O′為中點在x′軸上取A′B′＝AB,在y′軸上取O′E′＝eq\f（1,2）OE，以E′為中點畫C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD．(3）連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖．1．在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當的坐標系是關鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上，以便于畫點．2．畫平面圖形的直觀圖，首先畫與坐標軸平行的線段（平行性不變)，與坐標軸不平行的線段通過與坐標軸平行的線段確定它的兩個端點，然后連接成線段．[跟進訓練］1．畫一個銳角為45°的平行四邊形的直觀圖(尺寸自定)．［解］如圖(1）在平行四邊形上建立坐標系xOy，再建立坐標系x′O′y′，如圖（2)在x′軸上截取O′A′＝OA，O′B′＝OB．（1)（2）在y′軸上截取O′D′＝eq\f（1，2）OD，過D′作線段D′C′＝DC且D′C′∥A′B′，連接B′C′,A′D′，則四邊形A′B′C′D′即為?ABCD的直觀圖．畫空間圖形的直觀圖【例2】有一個正三棱錐，底面邊長為3cm,高為3cm，畫出這個正三棱錐的直觀圖．［思路點撥]根據斜二測畫法，選擇恰當的坐標系畫出正三角形的直觀圖,進而確定出正三棱錐的頂點即可．［解]（1)先畫出水平放置的邊長為3cm的正三角形的直觀圖，如圖（1）所示．（2)過正三角形中心O′建立z′軸,畫出正三棱錐頂點V′，使V′O′＝3cm，連接V′A′，V′B′，V′C′,如圖(2）所示．（3)擦去輔助線,遮住部分用虛線表示，得到正三棱錐的直觀圖,如圖(3）．（1）（2）(3）1．用斜二測畫法作空間圖形的直觀圖時，應建立適當的空間直角坐標系，常尋找原圖中共點且互相垂直的三條直線為坐標軸，或利用圖形的對稱性建系．2．在畫棱柱、棱臺的直觀圖時，可確定下底面的直觀圖，確定好高度后，把坐標系平移上來，再畫上底面的直觀圖即可．3．z′軸方向上的線段，方向與長度都與原來保持一致．［跟進訓練]2．用斜二測畫法畫正六棱柱(底面是正六邊形,側棱垂直于底面）的直觀圖．[解](1）畫軸：畫x′軸、y′軸、z′軸，使∠x′O′y′＝45°（或135°)，∠x′O′z′＝90°。(2）畫底面：在平面x′O′y′內，畫出正六邊形的直觀圖ABCDEF。(3）畫側棱：過A，B，C,D,E,F分別作z′軸的平行線,在這些平行線上分別截取AA′，BB′，CC′，DD′,EE′，FF′都等于側棱長．（4)成圖：順次連接A′，B′，C′，D′,E′,F′，并加以整理就得到正六棱柱的直觀圖，如圖(2)所示．(1)(2)將直觀圖還原為原平面圖形[探究問題]1．如圖所示，一個平面圖形的直觀圖為平行四邊形，則四邊形ABCD的實際形狀是什么圖形？[提示］矩形．因為∠D′A′B′＝45°，由斜二測畫法規則知∠DAB＝90°，又因四邊形A′B′C′D′為平行四邊形，所以原四邊形ABCD為矩形．2．如圖，一個平面圖形的水平放置的斜二測直觀圖是一個等腰梯形,它的底角為45°，兩腰和上底邊長均為1，這個平面圖形本身是等腰梯形嗎？其面積是多少?[提示］不是等腰梯形，是直角梯形．根據斜二測畫法，等腰梯形A′B′C′D′的高為eq\f（\r(2),2)，所以A′B′＝1＋2×eq\f(\r（2），2）＝1＋eq\r(2)，在平面圖形中,AB的長為1＋eq\r(2)，CD的長為1,AD的長為2，所以這個平面圖形的面積為eq\f（1，2）×（1＋1＋eq\r(2）)×2＝2＋eq\r(2)。【例3】如圖,△A′B′C′是水平放置的平面圖形的直觀圖，將其還原成平面圖形．［思路點撥］eq\x（畫直角坐標系)→eq\x(利用平行、長度、定點）→eq\x(連接點，得圖)[解］（1）畫直角坐標系xOy，在x軸的正方向上取OA＝O′A′,即CA＝C′A′；（2）過B′作B′D′∥y′軸，交x′軸于D′,如圖（1)所示．在OA上取OD＝O′D′，過D作DB∥y軸，且使DB＝2D′B′；（3)連接AB，BC，得△ABC．則△ABC即為△A′B′C′對應的平面圖形,如圖(2)所示．（1）(2）由直觀圖還原為平面圖的關鍵是找與x′軸,y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時長度不變,平行于y′軸的線段還原時放大為直觀圖中相應線段長度的2倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可．[跟進訓練]3．已知△ABC的直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形,求原△ABC的面積．［解]建立如圖所示的坐標系xOy′，△A′B′C′的頂點C′在y′軸上，A′B′邊在x軸上,把y′軸繞原點逆時針旋轉45°得y軸,在y軸上取點C，使OC＝2OC′，A,B點即為A′，B′點，長度不變．已知A′B′＝A′C′＝a，C′D′為△A′B′C′邊A′B′上的高，C′D′＝eq\f(\r（3），2）a，∴OC′＝eq\r(2）·eq\f(\r(3）,2）a＝eq\f（\r(6）,2)a，∴OC＝eq\r（6)a,故S△ABC＝eq\f(1,2）A′B′·OC＝eq\f(1，2)a·eq\r（6)a＝eq\f（\r(6)，2）a2.1．本節課的重點是了解“斜二測畫法”的概念并掌握斜二測畫法的步驟，會用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形和立體圖形的直觀圖，難點是用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形和立體圖形的直觀圖．2．本節課要重點掌握的規律方法（1）畫平面圖形直觀圖的方法步驟．（2）畫簡單空間圖形直觀圖的方法步驟．(3)直觀圖與原圖形之間的關系．3．本節課的易錯點是直觀圖、原空間圖形形狀之間的相互轉換．1．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，對其中的線段說法錯誤的是（）A．原來相交的仍相交 B．原來垂直的仍垂直C．原來平行的仍平行 D．原來共點的仍共點B[根據斜二測畫法，原來垂直的未必垂直．］2．把△ABC按斜二測畫法得到△A′B′C′(如圖所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f（\r(3)，2)，那么△ABC是一個（）A．等邊三角形B．直角三角形C．底邊與腰不相等的等腰三角形D．三邊互不相等的三角形A［根據斜二測畫法還原三角形在直角坐標系中的圖形,如圖所示：由圖易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC為等邊三角形,故選A．]3．用斜二測畫法畫水平放置的圓，得到的圖形形狀是________．[答案]橢圓4．如圖所示,梯形A′B′C′D′是一平面圖形ABCD的直觀圖．若A′D′∥O′y′，A′B′∥C′D′,A′B′＝eq\f（2，3)C′D′＝2，A′D′＝O′D′＝1。試畫出原四邊形的形狀,并求原圖形的面積．[解]如圖，建立直角坐標系xOy,在x軸上截取OD＝O′