【優編】4.2平面與平面平行-1作業練習一．填空題1．一個半徑為1的小球在一個內壁棱長為的正四面體封閉容器內可向各個方向自由運動，則該小球表面永遠不可能接觸到的容器內壁的面積是．2．在正方體中，E為棱CD上一點，且，F為棱的中點，且平面BEF與交于點G，與交于點H，則______，______.3．用符號語言表述面面平行的判定定理___________________4．下列命題中正確的是__________．（填上所有正確命題的序號）①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，，，則．5．在如圖直四棱柱中，底面為菱形，，，點為棱的中點，若為菱形內一點（不包含邊界），滿足平面，設直線與直線所成角為，則的最小值為______.6．設，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面①，，則；②，，，則；③，，，則；④若，，，則.上述四個命題中，正確命題的序號是__________.7．在長方體中，，分別為棱，的中點，平面與側棱的交點為，則_______．8．如圖，在長方體中，，E，F，G分別為的中點,點P在平面ABCD內，若直線平面EFG，則線段長度的最小值是________________.9．在正方體中，有下列結論：①平面；②異面直線AD與所成的角為；③三棱柱的體積是三棱錐的體積的四倍；④在四面體中，分別連接三組對棱的中點的線段互相垂直平分.其中正確的是________（填出所有正確結論的序號）.10．下列各圖中A．B為正方體的兩個頂點，M．N．P分別為其所在棱的中點，能得出AB//面MNP的圖形序號是.（寫出所有符合要求的圖形序號）11．已知正方體的棱長為1，點P在線段上，若平面經過點，則它截正方體所得的截面的周長最小值為__________.12．如圖，在三棱錐中，分別為的中點，是的三等分點，且，則截面將三棱錐分成兩部分，則三棱錐與三棱錐的體積之比為________.13．如圖，正方體中，E，F，M，N分別為的中點，則直線，所成角的大小為_________．14．已知正方體的棱長為，每條棱所在直線與平面所成的角相等，則截此正方體所得截面邊形（其中）的周長的范圍是_________.15．給出以下命題，①命題“若，則或”為真命題；②命題“若，則”的否命題為真命題；③若平面上不共線的三個點到平面距離相等，則④若，是兩個不重合的平面，直線，命題，命題，則是的必要不充分條件；⑤平面過正方體的三個頂點，且與底面的交線為，則∥；其中，真命題的序號是______

參考答案與試題解析1．【答案】【解析】詳解：如圖甲，考慮小球擠在一個角時的情況，作平面//平面，與小球相切于點，則小球球心為正四面體的中心，，垂足為的中心．因，故，從而．記此時小球與面的切點為，連接，則．考慮小球與正四面體的一個面(不妨取為)相切時的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點的軌跡仍為正三角形，記為，如圖乙．記正四面體的棱長為，過作于．因，有，故小三角形的邊長．小球與面不能接觸到的部分的面積為．又，所以．由對稱性，且正四面體共4個面，所以小球不能接觸到的容器內壁的面積共為．考點：(1)三棱錐的體積公式；（2）分情況討論及割補思想的應用．2．【答案】【解析】由線面平行的性質可得，即可得到，又，則可求.連接AC交BE于M，過M作，MN與交于N，連接FM，則H為FM與的交點，根據三角形相似可得線段的比.【詳解】解：是正方體面面面平面，面面則，則，即，又，則.連接AC交BE于M，過M作，MN與交于N，連接FM，則H為FM與的交點.因為，所以，則.所以，所以，故.故答案為：；【點睛】本題考查線面平行的性質及判定，屬于基礎題.3．【答案】，，，，．【解析】先寫出面面平行的判定定理，再用符號語言表述．【詳解】解：面面平行的判定定理：直線，均在平面內，且,,,則，用符號語言表述為：，，，，．故答案為：，，，，．【點睛】本題考查用符號語言表述面面平行的判定定理，是基礎題，解題時要認真審題，注意符號語言的合理運用．4．【答案】③【解析】對于①，若，，則與可能異面．平行，故①錯誤；對于②，若，，則與可能平行．相交，故②錯誤；對于③，若，，則根據線面垂直的性質，可知，故③正確；對于④，根據面面平行的判定定理可知，還需添加相交，故④錯誤，故答案為③.【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定與性質．面面平行的性質及線面垂直的性質，屬于難題.空間直線．平面平行或垂直等位置關系命題的真假判斷，常采用畫圖（尤其是畫長方體）．現實實物判斷法（如墻角．桌面等）．排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價.5．【答案】【解析】根據直棱柱的性質以及直線與平面平行的判定定理和平面與平面平行的判定定理可得平面，從而可知點在線段上，可得，求出的最小值即可得到答案.【詳解】取線段，中點，，連結，，.如圖所示：由于，，所以，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面平面，又，故平面平面，故點在線段上.因為，所以，故.在中，當時，取得最小值，故tana的最小值為.故答案為：【點睛】本題考查了直線與平面，平面與平面平行的判定定理，考查了異面直線所成的角，屬于中檔題.6．【答案】②【解析】根據已知條件逐項判斷后可得正確的選項.詳解：對于①，若，，則或異面，故①錯；對于②，因為，，故，而，故.故②正確.對于③，若，，，則或，故③錯；對于④，若，，，則或相交，故④錯.故答案為：②.【點睛】本題考查空間中與點線面位置關系有關的命題真假判斷，注意根據已知條件分析所有可能的結果，本題屬于基礎題.7．【答案】3【解析】如圖，分別取棱，的中點，，連接，，根據線面平行的性質可得，可判斷G是的三等分點.詳解：如圖，分別取棱，的中點，，連接，，則，所以．平面，則．因為為棱的中點，所以為的中點，所以．故答案為：3.【點睛】本題考查線面平行的性質，屬于基礎題.8．【答案】【解析】如圖，連接，證明平面平面EFG.因為直線平面EFG，所以點P在直線AC上.當時.線段的長度最小，再求此時的得解.【詳解】如圖，連接，因為E，F，G分別為AB，BC，的中點，所以，平面，則平面.因為，所以同理得平面，又.所以平面平面EFG.因為直線平面EFG，所以點P在直線AC上.在中，，故當時.線段的長度最小，最小值為.故答案為：【點睛】本題主要考查空間位置關系的證明，考查立體幾何中的軌跡問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.9．【答案】①④【解析】根據正方體的幾何特征，證明線面平行，求異面直線夾角，求體積關系，分析正四面體對棱連線特點.【詳解】因為，平面，平面，所以平面，故①正確；因為，所以異面直線AD與所成的角等于，在正方形中，，故②錯誤；三棱柱的體積是三棱錐的體積的三倍，故③錯誤；由正方體的性質可知，正方體三條對面中心連線線段相互垂直平分.四面體是正四面體，其棱中點即正方體每個面的中心，對棱中點連線必經過正方體的中心，由對稱性知，連接正四面體每組對棱中點的線段互相垂直平分，則④正確.故答案為：①④【點睛】此題考查根據正方體的幾何特征，證明線面平行，求異面直線夾角和柱體錐體體積關系，分析線段的長度和位置關系，需要熟練掌握常見特殊幾何體的幾何特征.10．【答案】①③【解析】？因為分別平行于所在正方形的邊，即所在的平面，所以面平行于所在的平面，由面面平行則線面平行得AB//面MNP;？因為分別平行于所在三棱錐的底邊，即所在的平面，所以面平行于所在的平面，由面面平行則線面平行得AB//面MNP．故選？？.考點：面面平行則線面平行．11．【答案】【解析】先根據平面的基本性質確定平面，然后利用面面平行的性質定理，得到截面的形狀，再求周長的最小值即可.詳解：當P點靠近C或與C重合時，確定的平面，因為平面，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形，平面就是截面，設，則，所以，，，可以看作到和距離的最小值，關于x軸的對稱點，連接，其長度即為的最小值，由勾股定理的，所以周長的最小值為，當P點靠近或與重合時，確定的平面，因為平面，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形，平面就是截面，設，則，所以，，證法同上，所以周長的最小值為，綜上所述，所以周長的最小值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查平面的基本性質，面面平行的性質及截面周長的求法，還考查了空間想象力和運算求解的能力.12．【答案】【解析】由題意在平面內作交于,連接,分別求出三棱錐．與的關系,即可求得三棱錐與三棱錐的體積比.【詳解】根據題意,在平面內作交于,連接,如下圖所示:因為為的中點,所以為的中點又因為所以,所以,即因為分別為的中點所以,又且所以平面平面所以由相似可得所以故答案為:【點睛】本題考查了三棱錐體積求法,將棱錐進行分割后求各部分的體積,方便研究棱錐間的關系,屬于中檔題。13．【答案】【解析】連接，根據E，F，M，N分別為的中點，直線，所成角的大小，可轉化為與的夾角，利用在三角形的性質可得結果.詳解：連接，根據E，F，M，N分別為的中點，可得到是三角形的中位線，故得到，同理可得到，進而直線，所成角的大小，可轉化為與的夾角，三角形，三邊均為正方體的面對角線，是等邊三角形，故得到與所成的角為．故答案為：【點睛】本題主要考查正方體的性質，考查了異面直線所成的角，屬于基礎題.14．【答案】【解析】先根據每條棱所在直線與平面所成的角相等，分析出平面的特征，再根據截面的形狀分析對應的截面的周長的取值范圍.詳解：如圖所示，因為正方體的棱是三組平行的棱，所以平面只需要和正方體某一個頂點引出的三條棱所成角相同即可；取頂點，此時三棱錐為正三棱錐，顯然與平面所成角相同，所以平面平面，在棱上取一點，作交于，同理依次可作出點，依次連接構成六邊形，記此時的六邊形平面為，設，所以，，所以截面的周長為：，故答案為：.【點睛】本題考查正方體中的截面周長的求解，其中涉及到線面角的理解，對學生的分析與幾何作圖能力要求較高，難度較難.15．【答案】①④⑤【解析】①利用逆否命題來判斷；②利用逆命題來判斷；③根據點在面的同側和異側來判斷；④根據面面平行的判定和性質來判斷；⑤根據面面平行的性質定理來判斷.【詳解】解：①命題“若，則或”的逆否命題為：“若且，則”，其逆否命題為真命題，故原命題也為真，①是真命題；②命題“若，則”的逆命題為：“若，則”，其逆命題為假命題，因為還有可能