本文格式為Word版，下載可任意編輯——向量法求空間距離例析向量組等價例向量距離空間

立體幾何中涉及到的空間距離有八種：兩點間的距離，點到直線的距離，點到平面的距離，兩平行線間的距離，異面直線間的距離，與平面平行的直線到平面的距離，兩平行平面間的距離，以及球面上兩點間的距離。這八種距離，都可以歸結到求點與點、點與線、點與面這三種距離。求這些距離的常規方法是先找到表示該距離的線段，再證明該線段合題意，結果得到該線段所在的三角形，解這個三角形，求出距離，即“一作二證三計算”的步驟。但其中的作圖有時對比困難，若采用向量法，那么可有效解決這一困難。

向量是解答立體幾何問題的一種得力的工具，不少繁雜的幾何推理，可借助向量法使其模式化，用機械性操作加以實現。因此，純熟掌管向量法，對提高立體幾何的解題才能甚有好處。向量法論其要領，雖不繁雜，但純熟掌管、生動運用，仍需確定的操練。該法作為一種技能，用實例加以說明，能較好地促進理解和掌管。下面用向量法求空間距離，逐一分析，供讀者商榷。

一、兩點間的距離

例1、（2022年高考試題）如圖，正方形ABCD、ABEF上下的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF彼此垂直，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a（0（1）求MN的長。

（2）求a為何值時，MN的長最小。

分析：給出的圖形彌漫著各種垂直關系。留神到AB、BE、BC三直線兩兩彼此垂直，且相交于點B，可以用來建立空間直角坐標系，借助向量坐標運算法舉行求解，不失為一種適合的選擇。

解：（1）如圖，建立空間直角坐標系O-xyz，依題得各點坐標為A（1，0，0）、B（0，0，0）、C（0，0，1）、F（1，1，0）、M（，0，1-）、N（，，0）。

∴MN=

=

（2）由（1）所得MN長的表達式可知：當且僅當a=時，MN長最小，為。

點評：欲求兩點M、N之間的距離，可轉化為求向量|MN|。

二、點到平面的距離

例2、如圖，直二面角D-AB-E，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，

（1）求證：AE⊥面BCE。

分析：此題也可建立空間直角坐標系，借助向量坐標法求解：

解：（1）易證。

（2）以線段AB中點為原點O，OE所在直線為X軸，AB所在直線為Y軸，過點O作平行于AD的直線為Z軸，建立空間直角坐標系O-XYZ，如圖。

∴AE⊥平面BCE，BE面BCE，

∴AE⊥BE。在Rt△AEB中，AB=2，O為AB中點，∴OE=1。

∴A（0，-1，0），E（1，0，0）,C（0，1，2）。

AE?n=0x+y=0

AC?n=02y+2z=0

解得：

令x=1，得：n=（1，1，0）是平面ACE的一個法向量。

∵AD⊥Z軸，AD=2，∴AD=（0，0，2）。

∴AD?n=（0，0，2）?（1，-1，1）=2，n=。

∴點D到平面ACE的距離d=

∴點D到平面ACE的距離為

點評：欲求點P到平面a的距離，那么可設n為平面a的一個法向量，點Q在平面a內，那么點P到平面a的距離d=

三、點到直線的距離

例3、正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，E是CC1的中點，求E到A1B的距離。

分析：此題實際是點到直線的距離，關鍵是確定點E在直線A1B上的射影位置。由于正方體中垂直關系多，故可以建立空間直角坐標系。

解：設E在直線A1B上的射影為H，令A1H=λ?HB,以D為原點，建立如下圖空間直角坐標系D-xyz。

那么A1（a，o，a），B（a，a，o），E（0，a，）

設H（a，y，z），那么A1B=（0，a，-a），

A1H=（0，y，z-a），HB=（0，a-y，-z）

由A1H=λ?HB得到

那么H（a，

∴EH=（a，

∵EH⊥A1B∴EH?A1B=0

∴λ=3∴H（a，a，）

∴|EH|=（a-0）2+（a-a）2+（-2）2

=2a。

即為E到A1B的距離。

點評：欲求E到A1B的距離，可設E在A1B上的射影為H，令A1H=λ?HB，由EH⊥A1B可求|EH|的最小值，求得參數λ的值，以確定H的位置，那么|EH|即為點E到A1B的距離。

四、兩異面直線間的距離

例4、已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1。

求兩異面直線CC1與BD1的距離。

分析：正方體中，垂直關系分外明顯，這種幾何體分外適合于建立空間直角坐標系。

解：建立如下圖的空間直角坐標系D-xyz，那么CB=（1，0，0），CC1=（0，0，1）,BD1=（-1，-1，1）。設n=（x，y，z）為兩異面直線BD1與CC1公垂線的一個方向向量。

令y=-1，那么n=（1，-1，0），那么兩直線CC1與BD1間的距離d=

∴兩異面直線BD1與CC1間的距離為。

點評：欲求兩條異面直線l1、l2之間的距離，可設與公垂線平行的向量為n，C、D分別為l1、l2上任意一點，那么l1、l2之間的距離d=。