PAGE第2頁，共1頁期末考試監考安排摘要本題要求我們建立數學模型研究解決期末考試監考的安排問題。針對問題一，由于考試時間一天分為三個時間段，考試課程的考試也分為三個時間段，經分析采用枚舉法列出合理的時間分配方案共有18種，根據考場容納人數的限制和天數最少的目標首先要建立考試時間與考試課程之間分配的數學模型，得到一個線性規劃的模型，應用Lingo軟件進行求解從中得到考試時間的最優分配方案。其次，以考場的利用率最大為目標，根據考場容量的限制建立考試課程與考場之間的數學模型，得到的是一個0-1規劃模型，同樣利用Lingo軟件進行求解從中得出考場分配的方案。最后，以每個教師的監考場數盡量平均為目標，再根據教師監考場數的限制建立教師分配的數學模型，該模型仍然是一個0-1規劃問題，再利用Lingo軟件求解得出教師的分配方案。針對問題二，和問題一同樣需分三步建立三個數學模型，在問題一的基礎之上由于允許合考，要充分利用考場資源和監考教師資源，這時考場容量為30人的教室有10個就不用了，在問題一的基礎上加上相關的限制條件就得到了問題二的三個數學模型，用和問題一同樣的求解方法即可解決問題。針對問題三，采用相同的方法將每個專業一天只能考試一門課程，并且老師一天最多監考2場，2場考試不能在同一時間段的限制條件轉化為相應的數學表達式，在問題一相應模型的基礎上添加該數學表達式表示的限制條件，采用同樣的解法即可使問題得到解決。針對問題四，根據平均考場容量的利用率來判斷模型的好壞，經檢驗模型的平均考場容量的利用率都達到了90%以上。但是對于實際情況平均考場容量利用率高并不一定就是最優，還應當對模型求得的結果進行一定的人工改進，因此各院系的教務人員在進行監考安排時應采用模型與實際相結合的方法。關鍵詞：枚舉法、線性規劃模型、0-1規劃模型、Lingo軟件

一、問題重述1.背景每學期期末,各院系教務人員都要針對學校教務處下達的考試任務進行監考教師安排,傳統的手工安排方式效率低且容易出錯。我們想從數學方面分析該問題，以期能給各院系教務人員有所幫助，假設某學院期末考試現有的監考教師、考試課程、各專業及人數、教室情況如下：考試時間一天分三個時間段：上午8：00——11:45下午14:20——17:30晚上19:45——21:20一個教室前后2門課程的考試時間間隔不能少于20分鐘。周一——周日都可以安排考試。期末考試開始時間為2013年1月6日。（2）監考教師共有80為監考教師，分別是A1，A2，A3……A80，監考教師分為3種情況。情況1：A1——A10是教授，學校規定教授監考不能超過2場；情況2：A11——A20是有特殊情況的教師，其監考不能超過3場；情況3：A21——A80教師的監考場數沒有限制。每個考場需要2位監考教師。在安排監考的時候要保證各種情況下的教師監考場數盡量平均。（3）考試課程共有100門考試課程，分別是B1，B2，……B100，考試課程分為3種情況。情況1：B1——B20，考試時間需要60分鐘；情況2：B21——B80，考試時間需要90分鐘；情況3：B81——B100，考試時間需要120分鐘。（4）參加考試各專業，人數，所學課程共有50個專業，分別是C1，C2，……C50。各專業的人數，參加考試的課程見附件1的excel表格。假設每個專業內的學生所選的課程一致。（5）能夠作為考場的教室情況共有50個教室可供選擇，分別是D1，D2，D3……D50，教室分為3種情況。情況1：D1——D15，可以容納30人考試；情況2：D16——D40，可以容納45人考試；情況3：D41——D50，可以容納60人考試。2.問題：（1）假設不能出現合考的情況，即不能把2門不同的課程放在同一考場一起考試。學校想要在最短的時間內考完所有課程，求出期末考試的最短時間。并做出期末考試的考場安排表，表格可以為excel或者word格式。（2）如果允許合考的情況，及可以把不同的課程放到同一考場考試，其他條件不變，求出期末考試的最短時間。并做出期末考試的考場安排表。（3）為了便于學生的期末復習，學校規定每個專業一天只能考試一門課程，并且老師一天最多監考2場，2場考試不能在同一時間段，其他條件不變，求出期末考試的最短時間。并做出期末考試的考場安排表。（4）請給各院系教務人員安排期末監考的一些建議，評價一下你的模型的優缺點。二、問題分析由于考試分為上午、下午、晚上三個時間段，考試課程的考試時間又分為60min、90min、120min三種情況，所以首先應該確定在各個時間段的考試課程的分配情況，合理的考試時間方案應滿足除考試時間剩余時間不能超過某門課程的考試時間，且對于一個教室前后2門課程的考試時間間隔不能少于20分鐘，應用枚舉法列出所有的合理考試時間方案，共十八種，如下表一所示：表一合理考試時間方案表時間段上午/min下午/min晚上/min方案一60,60,6060,9090方案二60,60,6060,9060方案三60,60,6012090方案四60,60,6012060方案五60,60,6060,6090方案六60,60,6060,6060方案七120,6060,9090方案八120,6060,9060方案九120,6012090方案十120,6012060方案十一120,6060,6090方案十二120,6060,6060方案十三90,9060,9090方案十四90,9060,9060方案十五90,9012090方案十六90,9012060方案十七90,9060,6090方案十八90,9060,6060之后再考慮監考老師的分配問題，受監考老師人數的限制每場考試最多安排四十個考場進行考試，對于問題二，在允許合考的情況下應充分利用考場的資源，從而使考試時間盡可能的短。對于問題三，由于學校規定每個專業一天只能考試一門課程，所以應讓考試課程最多的專業每天都能考一門，這樣才能盡早的考完。三、模型假設1.假設對于含有同一門課程的專業，在該課程考試時含有該課程的專業同時考試；2.所有考生都按時到場考試；3.所有考場的考試都正常進行；四、符號說明b：表示課程編號，a=1,2，…，100；c：表示專業編號，c=1,2，…，50；d：表示教室編號，也即考場編號，d=1,2，…，50；i：表示考試模式編號，i=1,2，…，18；：表示第d個考場的容量；：表示第b門課程是否在t時間段考試（是為1，否為0）；：表示第b門課程的人數；：表示采用第i種考試模式所用的天數；：表示第d個考場采用第i種考試模式；:表示安排所有考試的時間段集合，={1,2,3,4,5,6}；：表示第a位教師在t時間段是否監考d考場（是為1，否為0）；：表示在t時間段d考場是否使用（是為1，否為0）；：表示在t時間段課程b是否在d考場考試（是為1，否為0）；：表示第c個專業是否有課程b（是為1，否為0）；：表示安排考試的時間段，T=1,2，…，12；五、模型的建立與求解問題一在不能出現合考的情況下求解：模型建立考試時間的分配假設未對有特殊限制的監考教師分配監考任務，因為沒有特殊限制的監考教師有60人，每個考場需要兩位監考教師，所以同一個時間段最多有30個考場進行考試，為了保證參加考試的人數盡可能的多，這30個考場我們取為D21-D50（其中D21-D40容量為45人，D41-D50容量為60人），即每場考試可同時容納1500人進行考試，分別根據60min、90min、120min總人數不能超過考場容納人數的限制，可得如下線性規劃模型：其中目標函數為，表示采用第i種考試模式所用的天數。考場安排首先引進0-1變量表示在t時間段課程b是否在d考場考試（是取1，否取0），d=1,2，…，50。再引入0-1變量表示第b門課程是否在t時間段考試（是為1，否為0），并令。由于在t時間段d考場可能用也可能不用，于是再引進0-1變量表示在t時間段d考場是否使用（是為1，否為0），其中。由于目標是使在t時間段考場的利用率盡可能的高，也即所有考場的余量盡可能的少，所以目標函數為。因為每門課程都要有考場，時間段t內考場d內的考生總數不能超過考場的總容量，所以可以建立如下整數線性規劃模型：其中目標函數為監考教師的安排監考教師的安排是一個分配問題，為了解決該問題先引入0-1變量表示第a位教師在t時間段是否監考d考場（是為1，否為0）。由于一個監考教師在一個時間段至多只能在一個考場監考，所以在t時間段第a位教師至多只能在一個考場監考，即。因為情況一的監考教師要求監考的場數不能超過2場，所以。因為情況二的監考教師要求監考的場數不能超過3場，所以。因為每個考場的監考教師為2人，表示在t時間段d考場是否使用（是為1，否為0），則在t時間段第d個考場安排的監考教師應滿足。要保證各種情況下的教師監考場數盡可能平均，只需使監考次數最多的教師與監考次數最少的教師的差值最小即可，即，于是監考教師安排的數學模型如下：目標函數為模型求解考試時間的分配模型求解用lingo求解，程序見附錄一，結果顯示分別采用考試模式7、13、15的考試天數為0.937、0.609、0.430，共計1.976天。考場安排模型求解由于我們上述假設未對有特殊限制的監考教師分配監考任務，并且未將剩余的20個考場安排考試。再采用人工安排考場，充分利用剩余的考場容量合理分配將（1）的結果整數化2天即可。用lingo求解，結果見附錄三。問題二在允許合考的情況下，在問題一的基礎之上求出期末考試的最短時間1.模型的建立由于受監考教師人數的限制，在同一個時間段最多可以有40個考場考試，因此在允許合考的情況下應充分利用考場D16-D50，使考場容量盡可能的大。因而在問題一的基礎之上加上下述條件即可：考試時間的分配在問題一的基礎之上，為了盡可能充分的利用監考教師資源，有特殊情況的監考教師也要進行監考，由于考試時間為90分鐘的課程較多，為了盡可能的增加每場考試的容量將監考教師A1-A20分配給課程B21-B80進行監考，以縮短考試時間，約束條件如下：綜上可建立如下優化模型：其目標函數為考場安排在問題一考場安排的基礎上建立如下的模型：其目標函數為監考教師的安排在問題一監考教師的安排的基礎上建立如下的模型：其目標函數為模型求解考試時間的分配模型求解用lingo求解，程序見附錄二，結果顯示分別采用考試模式7、13、15的考試天數為1.009、0.465、0.357，共計1.831天。我們得出考試時間共用2天，具體結果見附錄四。問題三規定每個專業一天只能考試一門課程，并且老師一天最多監考2場，2場考試不能在同一時間段，其他條件不變，求期末考試的最短時間模型的建立考試時間的分配設為第c個專業第b門課程的考試時間，其中，為了使期末考試時間安排盡可能平衡，以便使學生可以更好地發揮，只要使同一專業不同考試課程最小的時間間隔盡可能的大即可，于是建立如下目標函數：因為每個專業一天至多考一門，所以，又因為對于相同課程不同專業的考試時間相同，即。綜上所述可以建立如下模型：目標函數為考場安排、監考教師安排考場安排、監考教師安排模型同問題一中的考場安排、監考教師安排。模型求解用lingo求解，具體結果見附錄五。六、模型評價對于本問題，我們采用平均考場利用率來對模型進行評價，平均考場的利用率越高說明模型越好。設平均考場利用率為表示一天內各個時間段所有考場容量的利用率的平均值，則計算方法如下：經過對問題一到三的考試安排進行計算可知平均考場的利用率都在90%以上，在這里不再一一計算。雖然模型都是按照在最短時間內考完所有的課程進行計算的，但其計算結果僅是個理論值，在實際的期末考試監考安排時上述模型得出的結果并不一定為最優，在實際的期末考試監考安排時應該將模型與實際情況相結合，這樣才能達到最優的效果。各院系的工作人員在對期末考試監考安排時，為了達到良好的效果應先根據模型進行計算再在得出的結果的基礎上進一步根據實際情況做必要的改動，這樣勢必會減少工作人員的工作量，而且可以達到良好的效果，使考試安排更為合理。這樣教師和同學都會對考試的安排感到滿意，使考試可以順利圓滿的進行。七、參考文獻[1]謝金星，薛毅.優化建模與Lindo/Lingo軟件，天津大學出版社，2005[2]數學建模與應用，國防工業出版社[3]姜啟源，葉俊.數學模型（第三版），高等教育出版社八、附錄附錄一min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18;1500*(4*x1+5*x2+3*x3+4*x4+5*x5+6*x6+2*x7+3*x8+x9+2*x10+3*x11+4*x12+x13+2*x14+x16+2*x17+3*x18)>=3725;1500*(2*x1+x2+x3+x5+2*x7+x8+x9+x11+4*x13+3*x14+3*x15+2*x16+3*x17+2*x18)>=8400;1500*(x3+x4+x7+x8+2*x9+2*x10+x11+x12+x15+x16)>=2050;x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18>0;Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:1.975926Infeasibilities:0.000000Totalsolveriterations:3ModelClass:LPTotalvariables:18Nonlinearvariables:0Integervariables:0Totalconstraints:5Nonlinearconstraints:0Totalnonzeros:77Nonlinearnonzeros:0VariableValueReducedCostX10.0000000.1111111X20.0000000.2222222X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C31110B92C12，C32110B93C13，C33110B94C14，C34110B95C15，C35110B96C16，C36130B97C17，C37130B98C18，C38130B99C19，C39130B100C20，C40130上午10:2011:20B13D21D50C12，C13，C33160A21--A80B14C13，C14，C34160B15C14，C15，C35160B16C15，C16，C36180B17C16，C17，C37180B18C17，C18，C38180B19C18，C19，C39180B20C19，C20，C40180下午14:2015:50B21D21D50C1，C21，C41145A21--A80B22C1，C21，C41145B23C1，C21，C41145B24C2，C22，C42145B25C2，C22，C42145B26C2，C22，C42145B27C3，C23，C43145B28C3，C23，C43145B29C3，C23，C43145B30C4，C24，C44145下午16:1017:10B6D21D50C5，C6，C26，C46205A21--A80B7C6，C7，C27，C47205B8C7，C8，C28，C48205B9C8，C9，C29，C49205B10C9，C10，C30，C50205B11C10，C11，C31155B12C11，C12，C32160晚上19:4521:15B31D21D50C4，C24，C44145A21--A80B32C4，C24，C44145B33C5，C25，C45145B34C5，C25，C45145B35C5，C25，C45145B36C6，C26，C46175B37C6，C26，C46175B38C6，C26，C46175B39C7，C27，C47175期末考試考場安排表考試時間考試課程考試教室專業人數監考老師1月7日上午8:009:30B40D11D50總容量：1875C7，C27，C47175A1A80B41C7，C27，C47175B42C8，C28，C48175B43C8，C28，C48175B44C8，C28，C48175B45C9，C29，C49175B46C9，C29，C49175B47C9，C29，C49175B48C10，C30，C50175B49C10，C30，C50175B51C11，C31110上午9:5011:20B50D11D50總容量：1875C10，C30，C50175A1A80B52C11，C31110B53C11，C31110B54C12，C32110B55C12，C32110B56C12，C32110B57C13，C33110B58C13，C33110B59C13，C33110B60C14，C34110B61C14，C34110B62C14，C34110B63C15，C35110B64C15，C35110B65C15，C35110B66C16，C36130下午14:2016:20B81D41D49，D40C1，C2175A61A80B82C2，C2275B83C3，C2375B84C4，C2475B85C5，C2575B86C6，C2695B87C7，C2795下午14:2015:50B67D50，D11D39C16，C36130A11A60B68C16，C36130B69C17，C37130B70C17，C37130B71C17，C37130B72C18，C38130B73C18，C38130B74C18，C38130下午16:1017:10B1D50，D11D39C1，C20，C21，C41205A11A60B2C1，C2，C22，C42175B3C2，C3，C23，C43175B4C3，C4，C24，C44175B5C4，C5，C25，C45175晚上19:4521:15B75D36D50C19，C39130A21A61B76C19，C39130B77C19，C39130B78C20，C40130B79C20，C40130B80C20，C40130附錄五期末考試考場安排考試時間考試課程考試教室專業人數監考老師1月6日8:009:30B21D41,D42,D16C1,C21,C41145A47--A52B24D43,D44,D17C2,C22,C42145A53--A58B33D45,D46,D18C5,C25,C45145A59--A64B36D47,D48,D49C6,C26,C46175A65--A70B51D50,D19,D20C11,C31110A71--A769:5011:20B39D41,D42,D43C7,C27,C47175A77--A8；A21--A22B54D44,D16,D17C12,C32110A23--A28B63D45,D18,D19C15,C35110A29--A34B66D46,D20,D21C16,C36130A35--A40B75D47,D22,D23C19,C39130A41--A46B78D48,D24,D25C20,C40130A1--A614:2016:20B83D41，D16C3,C2375A47--A50B84D42，D17C4,C2475A51--A54B88D43，D18C8,C2895A55--A58B89D44，D19C9,C2995A59--A62B90D45，D20C10,C3095A63--A66B93D46,D21,D22C13.,C33110A67--A72B94D47,D23,D24C14,C34110A73--A76B97D48,D25，D26C17,C37130A77--A80；A21-A22B98D49，D27,D28C18,C38130A23--A281月7日8:009:00B2D41,D42,D43C1,C2,C22，C42175A1A6B12D44,D45,D16C11,C12,C32160A7--A129:2010:50B27D41,D42,D16C3,C23,C43145A13--A18B30D43,D44,D17C4,C24,C44145A19--A24B35D45,D46,D18C5,C25,C45145A25--A30B37D47,D48,D49C6,C26,C46175A31--A36B60D19,D20,D21C14,C34110A37--A42B64D22,D23,D24C15,C35110A43--A48B79D50,D25,D26C20,C40130A49--A5414:2015:55B40D41,D42,D43C7,C27,C47175A55--A60B42D44,D45,D46C8,C28,C48175A61--A66B45D47,D48,D49C9,C29,C49175A67--A72B69D50,D16,D17C17,C37130A73--A76B72D18,D19,D20C18,C38130A79--A80；A21--A22B76D21,D22,D23C19,C39130A23--A2819:4521:15B48D41,D42,D43C10,C30,C50175A29--A34B57D44,D16,D17C13.C33110A35--A40B67D45,D18,D19C16,C36130A41--A461月8日8:009:00B14D41,D42,D16C13,C14,C34160A59--A64B16D43,D44,D45C15,C16,C36180A65--A70B18D46,D47,D48,D17C17,C18,C38190A71--A78B20D49,D50,D18,D19C19,C20,C40190A79-A80；A21--A268:0010:00B85D20,D21C5,C2575A27--A309:2010:50B23D41,D42,D16C1,C21,C41145A31--A36B26D43,D44,D17C2,C22,C42145A37--A42B29D45,D46,D18C3,C23,C43145A43--A48B32D47,D48,D19C4,C24,C44145A49