PAGEPAGE7第六節對數與對數函數[考綱]1.理解對數的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數；了解對數在簡化運算中的作用.2.理解對數函數的概念，理解對數函數的單調性，掌握對數函數圖像通過的特殊點.3.知道對數函數是一類重要的函數模型.4.了解指數函數y＝ax與對數函數y＝logax互為反函數(a>0，且a≠1)．1．對數的概念如果ab＝N(a＞0且a≠1)，那么b叫作以a為底N的對數，記作logaN＝b，其中a叫作對數的底數，N叫作真數．2．對數的性質、換底公式與運算性質(1)對數的性質：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．(2)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．(3)對數的運算性質：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②logaMn＝nlogaM(n∈R)；③logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.3．對數函數的定義、圖像與性質4.反函數指數函數y＝ax(a＞0且a≠1)與對數函數y＝logax(a＞0且a≠1)互為反函數，它們的圖像關于直線y＝x對稱．1．(思考辨析)判斷以下結論的正誤．(正確的打“√〞，錯誤的打“×〞)(1)log2x2＝2log2x.()(2)當x＞1時，logax＞0.()(3)函數y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)與y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定義域相同．()(4)對數函數y＝logax(a＞0且a≠1)的圖像過定點(1,0)，且過點(a,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函數圖像不在第二、三象限．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．a＝2－eq\f(1,3)，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)，那么()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞b＞a D．c＞a＞bD[∵0＜a＝2－eq\f(1,3)＜20＝1，b＝log2eq\f(1,3)＜log21＝0，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)＞logeq\f(1,2)eq\f(1,2)＝1，∴c＞a＞b.]圖2-6-13．函數y＝loga(x＋c)(a，c為常數，其中a＞0，a≠1)的圖像如圖2-6-1，那么以下結論成立的是()A．a＞1，c＞1B．a＞1,0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1,0＜c＜1D[由圖像可知y＝loga(x＋c)的圖像是由y＝logax的圖像向左平移c個單位得到的，其中0＜c＜1.再根據單調性可知0＜a＜1.]4．(教材改編)假設logaeq\f(3,4)＜1(a＞0，且a≠1)，那么實數a的取值范圍是()【導學號：66482059】A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) B．(1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))C[當0＜a＜1時，logaeq\f(3,4)＜logaa＝1，∴0＜a＜eq\f(3,4)；當a＞1時，logaeq\f(3,4)＜logaa＝1，∴a＞1.即實數a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞)．]5．(2022·杭州二次質檢)計算：2log510＋log5eq\f(1,4)＝________，2log43＝________.【導學號：66482060】2eq\r(3)[2log510＋log5eq\f(1,4)＝log5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(102×\f(1,4)))＝2，因為log43＝eq\f(1,2)log23＝log2eq\r(3)，所以2log43＝2log2eq\r(3)＝eq\r(3).]對數的運算(1)設2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，那么m等于()A.eq\r(10) B．10C．20 D．100(2)計算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,4)－lg25))÷100＝________.(1)A(2)－20[(1)∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m＝eq\r(10).(2)原式＝(lg2－2－lg52)×100＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,22·52)))×10＝(lg10－2)×10＝－2×10＝－20.][規律方法]1.在對數運算中，先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后正用對數運算法那么化簡合并．2．先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算法那么，轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算．3．ab＝N?b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解決有關指數、對數問題的有效方法，在運算中應注意互化．[變式訓練1](1)(2022·東城區綜合練習(二))函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥4，,fx＋1，x＜4，))那么f(2＋log23)的值為()A．24 B．16C．12 D．8(2)(2022·浙江高考)計算：log2eq\f(\r(2),2)＝________，2log23＋log43＝________.(1)A(2)－eq\f(1,2)3eq\r(3)[(1)∵3＜2＋log23＜4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×3＝24，應選A.(2)log2eq\f(\r(2),2)＝log2eq\r(2)－log22＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2)；2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log2eq\r(3)＝3eq\r(3).]對數函數的圖像及應用(1)(2022·河南焦作一模)假設函數y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域為{y|y≥1}，那么函數y＝loga|x|的圖像大致是()ABCD(2)(2022·衡水調研)函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,3x，x≤0，))且關于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實根，那么實數a的取值范圍是________.【導學號：66482061】(1)B(2)(1，＋∞)[(1)假設函數y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域為{y|y≥1}，那么a＞1，故函數y＝loga|x|的大致圖像如下圖．應選B.(2)如圖，在同一坐標系中分別作出y＝f(x)與y＝－x＋a的圖像，其中a表示直線在y軸上截距，由圖可知，當a＞1時，直線y＝－x＋a與y＝log2x只有一個交點．][規律方法]1.在識別函數圖像時，要善于利用函數的性質、函數圖像上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項．2．一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖像問題，利用數形結合法求解．[變式訓練2](2022·西城區二模)如圖2-6-2，點A，B在函數y＝log2x＋2的圖像上，點C在函數y＝log2x的圖像上，假設△ABC為等邊三角形，且直線BC∥y軸，設點A的坐標為(m，n)，那么m＝()A．2 B．3C.eq\r(2) D．eq\r(3)圖2-6-2D[由題意知等邊△ABC的邊長為2，那么由點A的坐標(m，n)可得點B的坐標為(m＋eq\r(3)，n＋1)．又A，B兩點均在函數y＝log2x＋2的圖像上，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2m＋2＝n，,log2m＋\r(3)＋2＝n＋1，))解得m＝eq\r(3)，應選D.]對數函數的性質及應用?角度1比擬對數值的大小(2022·全國卷Ⅰ)假設a＞b＞0,0＜c＜1，那么()A．logac＜logbc B．logca＜logcbC．ac＜bc D．ca＞cbB[∵0＜c＜1，∴當a＞b＞1時，logac＞logbc，A項錯誤；∵0＜c＜1，∴y＝logcx在(0，＋∞)上遞減，又a＞b＞0，∴logca＜logcb，B項正確；∵0＜c＜1，∴函數y＝xc在(0，＋∞)上遞增，又∵a＞b＞0，∴ac＞bc，C項錯誤；∵0＜c＜1，∴y＝cx在(0，＋∞)上遞減，又∵a＞b＞0，∴ca＜cb，D項錯誤．]?角度2解簡單的對數不等式(2022·浙江高考)a，b>0且a≠1，b≠1，假設logab>1，那么()【導學號：66482062】A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0D[法一：logab＞1＝logaa，當a＞1時，b＞a＞1；當0＜a＜1時，0＜b＜a＜1.只有D正確．法二：取a＝2，b＝3，排除A，B，C，應選D.]?角度3探究對數型函數的性質函數f(x)＝loga(3－ax)，是否存在這樣的實數a，使得函數f(x)在區間[1,2]上為減函數，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由．[解]假設存在滿足條件的實數a.∵a＞0，且a≠1，∴u＝3－ax在[1,2]上是關于x的減函數.3分又f(x)＝loga(3－ax)在[1,2]上是關于x的減函數，∴函數y＝logau是關于u的增函數，∴a＞1，x∈[1,2]時，u最小值為3－2af(x)最大值為f(1)＝loga(3－a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2a＞0，,loga3－a＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜\f(3,2)，,a＝\f(3,2)，))10分故不存在這樣的實數a，使得函數f(x)在區間[1,2]上為減函數，并且最大值為1.12分[規律方法]利用對數函數的性質研究對數型函數性質，要注意以下四點：一是定義域；二是底數與1的大小關系；三是如果需將函數解析式變形，一定確保其等價性；四是復合函數的構成，即它是由哪些根本初等函數復合而成的．[思想與方法]1．對數值取正、負值的規律當a＞1且b＞1或0＜a＜1且0＜b＜1時，logab＞0；當a＞1且0＜b＜1或0＜a＜1且b＞1時，logab＜0.2．利用單調性可解決比擬大小、解不等式、求最值等問題，其根本方法是“同底法〞，即把不同底的對數式化為同底的對數式，然后根據單調性來解決．3．比擬冪、對數大小有兩種常用方法：(1)數形結合；(2)找中間量結合函數單調性．4．多個對數函數圖像比擬底數大小的