競賽試題1一、填空：1．若是上的連續函數，則a=2．函數在區間上的最大值為。3．。4．由曲線繞y軸旋轉一周得到的旋轉面在點處的指向外側的單位法向量為5．設函數由方程所確定，則二、選擇題：1．設函數f(x)可導，并且分dy是，則當時，該函數在點處微的（）（A）等價無窮??；（C）高階無窮??；（B）同階但不等價的無窮??；（D）低階無窮小。2．設函數f(x)在點x=a處可導，則在點x=a處不可導的充要條件是（）（B）f(a)≠0，但（D）f(a)≠0，且。（A）f(a)=0，且；；（C）f(a)=0，且；3．曲線（（A）沒有漸近線；（C）有一條鉛直漸近線；）（B）有一條水平漸近線和一條斜漸近線；（D）有兩條水平漸近線。4．設均為可微函數，且。已知是在約束條件下的一個極值點，下列選項中的正確者為（）（A）若，則（C）若；（B）若，則；，則；（D）若，則。5．設曲面（A）的上側，則下述曲面積分不為零的是（）；（B）；（C）；（D）。三、設函數f(x)具有連續的二階導數，且，，求。四、設函數由參數方程所確定，求。五、設n為自然數，計算積分。六、設f(x)是除x=0點外處處連續的奇函數，x=0為其第一類跳躍間斷點，證明是連續的偶函數，但在x=0點處不可導。證明：七、設f(u,v)有一階連續偏導數，，，證明：。八、設函數f(u)連續，在點u=0處可導，且f(0)=0，求：。九、計算，其中L為正向一周。十、證明：當充分小時，不等式成立。設，求。十一、設常數證明：，證明：當x>0且x≠1時，。十二、設勻質半球殼的半徑為R，密度為μ，在球殼的對稱軸上，有一條長為l的均勻細棒，其密度為ρ。若棒的近殼一端與球心的距離為a，a>R，求此半球殼對棒的引力。競賽試題2一、選擇題1.下列命題中正確的命題有幾個？（）（1）無界變量必為無窮大量；(2)有限多個無窮大量之和仍為無窮大量；（3）無窮大量必為無界變量；(4)無窮大量與有界變量之積仍為無窮大量.(A)1個；(B)2個；(C)3個；(D)4個.2.設，則是間斷點的函數是（）(A)；(B)；(C)；(D)..3.設為在上應用拉格朗日中值定理的“中值”，則（）(A)1；(B)；(C)；(D).4.設連續，當時，與為等價無窮小，令，,則當時，的（）(A)高階無窮??；(B)低階無窮?。?C)同階無窮小但非等價無窮小；(D)等價無窮小.5.設在點的某鄰域內連續，且滿足則在點處（）(A)取極大值；(B)取極小值；(C)無極值；(D)不能確定是否有極值.6.設在連續，且導函數的圖形如圖所示，則有（）(A)1個極小值點與2個極大值點，無拐點；(B)2個極小值點與1個極大值點，1個拐點；(C)2個極小值點與2個極大值點,無拐點；(D)2個極小值點與2個極大值點，1個拐點.7.設有連續的一階導數，則（）(A)；(B)；(C)；(D)0.8.設任意項級數條件收斂，將其中的正項保留負項改為0所組成的級數記為,將其中的負項保留正項改為0所組成的級數記為，則與（）(A)兩者都收斂；(B)兩者都發散；(C)一個收斂一個發散；(D)以上三種情況都可能發生.二、設在區間連續，表示,試解答下列問題：（1）用；（2）求；（3）求證：；（4）設在內的最大值和最小值分別是,求證：.三、求曲線所圍成的平面圖形的面積.四、設曲面為曲線()繞軸旋轉一周所成曲面的下側，計算曲面積分五、設冪級數,當時，且;（1）求冪級數的和函數；（2）求和函數的極值..六、設函數可微，,且滿足求.七、如圖所示，設河寬為，一條船從岸邊一點出發駛向對岸，船頭總是指向對岸與點相對的一點。假設在靜水中船速為常數，河流中水的流速為常數，試求船過河所走的路線(曲線方程)；并討論在什么條件下（1）船能到達對岸；（2）船能到達點.競賽試題3一、選擇題1.設，且，則（）(A)存在且等于零;(C)不一定存在；(B)存在但不一定等于零；(D)一定不存在.2.設是連續函數，的原函數，則（）(A)當為奇函數時,必為偶函數；(B)當為偶函數時,必為奇函數；(C)當為周期函數時,必為周期函數；(D)當為單調增函數時,必為單調增函數.3.設，在內恒有，記，則有（）(D)不確定.(A);(B);(C);4.設有連續導數，且，，當時，是同階無窮小，則（B）(C)2；(D)1.(A)4；(B)3；5.設，則在點（）(A)不連續；(B)連續但偏導數不存在；(C)可微；6.設(D)連續且偏導數存在但不可微.，則以向量、為邊的平行四邊形的對角線的長度為（）(A)；(B)3,11；(C)；(D).7.設是包含原點在內的兩條同向閉曲線，的內部，若已知（k為常數），則有（）(A)等于k；(B)等于；(C)大于k；(D)不一定等于k，與L2的形狀有關.8.設在處收斂，則在處（）二、設，試確定、的值，使都存在.三、設四、設的一個原函數，且，求.，S為的邊界曲面外側，計算五、已知，，，…，，….求證：（1）數列收斂；（2）的極限值a是方程的唯一正根.六、設在單位圓上有連續的偏導數，且在邊界上取值為零，求證：,其中D為圓環域：七、有一圓錐形的塔，底半徑為R，高為，現沿塔身建一登上塔頂的樓梯，要求樓梯曲線在每一點的切線與過該點垂直于平面的直線的夾角為，樓梯入口在點,試求樓梯曲線的方程.競賽試題4一．設函數二．若由方程確定，試求（10分），試確定常數的值。（10分）三．（10分）四．設一階連續可導，且=0，求證：至少存在一個（15分），使．（10分）五．設利用導數證明：六．設，試求，且，當時，有。（15分）七．假設曲線：（0）、軸和所圍成的平面區域被曲線：分為面積相等的的兩部分，其中是大于零的常數，試確定的值。（15分）八．已知函數在[0,1]上連續，在（0，1）內可導，且；(7分)，證明：（1）存在，使得（2）存在兩個不同的點，，使得解答提示:(8分)一.x=0,時y=1兩邊對x求導,再將x=0,y=1代入即可.二.,且，故必有：.再用洛必達法則推出a=1,c=1/2三.作變換即可四.構造輔助函數,在區間[0，1]應用羅爾中值定理.五.構造輔助函數,證明其在(0,+∞)內只有一個極小值點,故對一切都有：=＞0六.由，知即解出代入初始條件即得（）七.先求出兩條曲線交點的橫坐標積分=又,由知,八.(1)構造輔助函數，在[0，1]上應用零點存在定理即可.（2）利用(1)的結果,分別在[0,]和競賽試題5上對應用拉格朗日中值定理即可.一、計算題1．求2．求3．求p的值，使4．設，，且，求的表達式5．計算，其中S為圓柱面，（01）z二、設求（1）（2）三、有一張邊長為的正方形紙（如圖），、分別為、的中點，為的中點，現將紙卷成圓柱形，使與重合，與重合，并將圓柱垂直放在xoy平面上，且B與原點重合，D落在軸正向上，此時，求：（1）通過，兩點的直線繞點垂直于軸旋轉所得的旋轉曲面方程；（2）此旋轉曲面、xoy平面和過軸的平面所圍成的立體體積。的最大值、最小值。四、求函數在五、求六、（滿分15分）證明：，競賽試題61．計算，（a>0，b>0）2.設冪級數的系數滿足，，n=1，2，3…，求此冪級數的和函數。解方程由3.已知二階可導，且，，（1）證明，（2）若4．求，證明5．設，求6．，（）7.設函數滿足方程，，，求的極值。8.證明當時，10．設9.求，求a，b的值。11.設，求12.某水庫的泄洪口為圓形，半徑為1米，現有一半徑為2米的閘門懸于泄洪口的正上方（如圖）問閘門下降多少米時，泄洪口被蓋住一半？13.已知是[0，1]上二階可導函數，且，，證明：使得。證明競賽試題7一．選擇1．函數在點處連續是它在該點偏導數存在的：A、必要而非充分條件；B、充分而非必要條件；C、充分必要條件；D、既非充分又非必要條件。2．設=A、B、，則C、D、3．曲線弧A、上的曲線積分和上的曲線積分有關系：B、D、C、4．設其中D是由x=0,y=0,A、I1＜I2＜I3;二、填空題,x+y=1所圍成的區域，則I1，I2，I3的大小順序是B、I3＜I2＜I1;C、I1＜I3＜I2;D、I3＜I1＜I2.5．設，則=__________。6．函數在點(0，)處沿軸負向的方向導數是__________。7．設C表示橢圓8．設，其方向為逆時針方向，則曲線積分_________。，則I=________________。三、計算9．求極限10．函數。由方程所確定，求。11．求函數的極大值點或極小值點。12．設閉區域為D上的連續函數，且求13．計算二重積分，其中D是由拋物線及直線y=x+4所圍成的區域。14．計算I=2yzdv,其中Ω是由x2+z2=1,y=0,y=1所圍的位于z≥0部分的立體。所確定的平面域的邊界線，求15．已知L是由。16．計算曲線積分，式中L是正向圓周四、證明題17．試證曲面的切平面與三個坐標面所圍四面體的體積為常數。證明：曲面上點處的切平面法向量競賽試題8一．填空題1若，試確定常數2．設，且，當時，有，則——3．設4．設有連續導數，且，，當時，是同階無窮小，則——的一個原函數，且，則=——5．已知當時，的導數與，為等價無窮小，則的解，則=——6．設是微分方程的滿足=——7．設為8．曲線9.求在上應用拉格朗日中值定理的“中值”，則所圍成的平面圖形的面積是————的導數。10.求極限。二．計算題1.求2.設f(x)在x0處連續。證明：在x0的某鄰域(x0-δ,x0+δ)內，f(x)有界。3.設y=ln(secx+tgx),求4．設在區間連續，,試解答下列問題：（1）用表示；（2）求；（3）求證：；（4）設在內的最大值和最小值分別是,求證：.5．如圖所示，設河寬為，一條船從岸邊一點出發駛向對岸，船頭總是指向對岸與點相對的一點，試求船過河所走的路線(曲線方程)；并討。假設在靜水中船速為常數，河流中水的流速為常數論在什么條件下（1）船能到達對岸；（2）船能到達點.答案一．填空題1.a=1,c=1/22（）3．k=38．4．5．6．17．910