有限元分析中的單元性質(zhì)特征與誤差處理第一頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日6.1單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)與帶寬存儲(chǔ)6.2形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)6.3邊界條件的處理與支反力計(jì)算6.4單元?jiǎng)偠染仃嚨目s聚6.5為以函數(shù)構(gòu)造與收斂性要求6.6C0型單元與C1型單元6.7單元的拼片試驗(yàn)6.8有限元分析數(shù)值解的精度與性質(zhì)6.9單元應(yīng)力的計(jì)算結(jié)果的誤差與平均處理6.10控制誤差和提高精度的h方法和p方法第二頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日6.1單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)與帶寬存儲(chǔ)計(jì)算機(jī)進(jìn)行有限元分析時(shí)，需要存儲(chǔ)所有單元和節(jié)點(diǎn)信息，隨著所求解問題自由度的增大，計(jì)算規(guī)模的增大，整體剛度矩陣的規(guī)模非常巨大。由于整體剛度矩陣中顯現(xiàn)出相鄰單元之間的關(guān)聯(lián)性，因此矩陣中的大部分?jǐn)?shù)據(jù)都為零，反映非零數(shù)據(jù)的一個(gè)指標(biāo)就是帶寬。第三頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日第四頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日第五頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日由于剛度矩陣是對(duì)稱的，可以看出，若節(jié)點(diǎn)的自由度數(shù)目為m，則每一個(gè)單元在整體剛度矩陣的半帶寬為

di=（第i個(gè)單元中節(jié)點(diǎn)編號(hào)的最大差值+1）＊m

d=max（di）（i=1，2……n）其中n為整個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的單元數(shù)。顯然對(duì)于二維問題，m=2對(duì)于三維問題，m=3第六頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日第七頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日6.2形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)以一維桿單元為例，桿單元的位移場(chǎng)為形函數(shù)矩陣1、左端發(fā)生單位位移，右端固定2、右端發(fā)生單位位移，左端固定3、發(fā)生剛體位移第八頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日6.2形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)仍然以一維桿單元為例，它的剛度方程為1、考慮單元左端發(fā)生單位位移，右端固定情況2、考慮單元右端發(fā)生單位位移，左端固定情況3、考察剛體位移第九頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)1：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨膶?duì)角元素kii表示要使單元的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生單位位移，而其它的節(jié)點(diǎn)位移為0時(shí)，需要在i點(diǎn)施加的節(jié)點(diǎn)力。性質(zhì)2：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨膶?duì)角元素kij（i≠j）表示要使單元的第j個(gè)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生單位位移，而其它的節(jié)點(diǎn)位移為0時(shí)，需要在i點(diǎn)施加的節(jié)點(diǎn)力。性質(zhì)3：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱的。這可以由功的互等定理得到。對(duì)于線彈性體，力所做的功跟加載次序無(wú)關(guān)，這可以利用上面的性質(zhì)1和2得到。第十頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日第一種加載狀態(tài)第二種加載狀態(tài)第一種加載狀態(tài)下的外力在第二種加載狀態(tài)下移動(dòng)相應(yīng)位移做的功為第二種加載狀態(tài)下的外力在第一種加載狀態(tài)下移動(dòng)相應(yīng)位移做的功為根據(jù)功的互等定理，可以得到結(jié)論：剛度矩陣是對(duì)稱的。第十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)4：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃囀前胝ǖ摹Ｐ再|(zhì)5：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃囀瞧娈惖?。性質(zhì)6：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨娜我庑谢蛄写硪粋€(gè)平衡力系，當(dāng)節(jié)點(diǎn)位移全部為線位移時(shí)，任意行或列的代數(shù)和應(yīng)該為0。第十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日同樣，由單元?jiǎng)偠染仃囁M裝的整體剛度矩陣也有以下性質(zhì)：1）對(duì)稱性2）奇異性3）半正定性4）稀疏性5）非零元素呈現(xiàn)帶狀分布第十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日6.3邊界條件的處理與支反力的計(jì)算位移邊界條件在大多數(shù)情況下有兩種類型。1、零位移邊界條件2、給定具體數(shù)值的位移邊界條件根據(jù)上述兩類邊界條件，剛度方程的求解有以下幾種方法：1、直接法2、置“1”法3、乘大數(shù)法4、罰函數(shù)法第十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日直接法1、既可以處理零約束，又可以處理非零約束的情況。2、處理過程直觀。3、待求矩陣的規(guī)模變?。ňS數(shù)變?。m合于手工處理。4、矩陣的節(jié)點(diǎn)編號(hào)及排序改變，不利于計(jì)算機(jī)的規(guī)范化處理。第十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日置“1”法1、只能處理零約束情況。2、待求矩陣的規(guī)模不變，不需重新排列，適合于計(jì)算機(jī)處理。3、保持整體剛度矩陣的對(duì)稱性，利于計(jì)算機(jī)的規(guī)范化處理。直接法第十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日乘大數(shù)法1、既可以處理零約束，又可以處理非零約束的情況。

2、待求矩陣的規(guī)模不變，不需重新排列。3、保持整體剛度矩陣的對(duì)稱性，利于計(jì)算機(jī)的規(guī)范化處理。直接法第十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日罰函數(shù)法罰函數(shù)法的最大好處是可以直接求出位移邊界上的支反力。

支反力的計(jì)算：除了罰函數(shù)法能夠求出支反力以外，其它的方法都需要求解一定的方程得到。第十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日6.4單元?jiǎng)偠染仃嚨目s聚采用高次位移函數(shù)的單元也常被稱為高階單元。對(duì)于高次單元來(lái)說(shuō)，除了幾何端點(diǎn)以外，其余的那些節(jié)點(diǎn)可能與其它的單元不發(fā)生關(guān)系，當(dāng)中間的節(jié)點(diǎn)與其它單元無(wú)關(guān)時(shí)，我們稱作是內(nèi)部節(jié)點(diǎn)。而其余的節(jié)點(diǎn)是外部節(jié)點(diǎn)。既然內(nèi)部節(jié)點(diǎn)與其他單元無(wú)關(guān)，那么在組成整體剛度之前，就可以把他們消去，也就是把內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的位移用外部節(jié)點(diǎn)的位移來(lái)表示。第十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日以一維三節(jié)點(diǎn)桿單元為例第二十頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日以一維三節(jié)點(diǎn)桿單元為例其中a代表的是外部節(jié)點(diǎn)，b代表的是內(nèi)部節(jié)點(diǎn)。第二十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日6.5位移函數(shù)構(gòu)造與收斂性要求單元中的位移模式一般采用設(shè)有待定系數(shù)的有限多項(xiàng)式作為近似函數(shù)，優(yōu)先多項(xiàng)式的選取原則應(yīng)該考慮以下幾個(gè)方面：1、待定系數(shù)是由節(jié)點(diǎn)位移條件確定的，因此它的個(gè)數(shù)應(yīng)該與節(jié)點(diǎn)位移DOF個(gè)數(shù)相等。2、在選取多項(xiàng)式時(shí)，必須選擇常數(shù)項(xiàng)和完備的一次項(xiàng)。單元位移模式中的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)可以反映單元的剛體位移合唱應(yīng)變的特性。這是因?yàn)楫?dāng)劃分的單元數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)，即單元縮小趨于一點(diǎn)，此時(shí)單元應(yīng)變趨于常數(shù)。3、選擇多項(xiàng)式應(yīng)該由低到高，盡量選取完全多項(xiàng)式以提高單元的精度。第二十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日因此，在構(gòu)造一個(gè)單元的位移函數(shù)時(shí)，應(yīng)該參考由多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)成的Pascal三角形和上述原則進(jìn)行函數(shù)項(xiàng)次的選取與構(gòu)造。第二十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日收斂性問題

在有限元分析中，當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)目或單元插值函數(shù)的項(xiàng)數(shù)趨于無(wú)窮大時(shí)，即單元尺寸趨于零時(shí)，最后的解答如果能夠無(wú)線的逼近準(zhǔn)確解，那么這樣的位移函數(shù)或形函數(shù)是逼近于真實(shí)的，這就稱為收斂。為使有限元分析的解答收斂，位移函數(shù)必須滿足一些收斂準(zhǔn)則，這些準(zhǔn)則都經(jīng)過過嚴(yán)密的理論驗(yàn)證。主要包括以下三個(gè)方面。第二十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日收斂性準(zhǔn)則

定義：當(dāng)單元尺寸趨于零時(shí)，有限元的解趨于真實(shí)解。

準(zhǔn)則1：完備性準(zhǔn)則（針對(duì)單元內(nèi)部）。如果在勢(shì)能泛函中所出現(xiàn)的位移函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是m階，則有限元解答收斂性的條件之一是選取單元內(nèi)的位移場(chǎng)函數(shù)至少是m階完全多項(xiàng)式。

準(zhǔn)則2：協(xié)調(diào)性準(zhǔn)則（針對(duì)單元之間）。如果在勢(shì)能泛函中位移函數(shù)所出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)是m階，那么位移函數(shù)在單元交界面上必須具有直至m-1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，即Cm-1連續(xù)性。第二十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日以一般的梁?jiǎn)栴}為例從上式可以看出，所出現(xiàn)的物理量是關(guān)于位移的最高階導(dǎo)數(shù)為2，因此假定形狀函數(shù)的時(shí)候，形函數(shù)至少應(yīng)該包含完整的二次多項(xiàng)式。由準(zhǔn)則2可知，位移函數(shù)為C1連續(xù)，即在單元之間的位移函數(shù)至少要求一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。第二十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日以一般的平面問題為例從上式可以看出，所出現(xiàn)的物理量是關(guān)于位移的最高階導(dǎo)數(shù)為1，因此假定形狀函數(shù)的時(shí)候，形函數(shù)至少應(yīng)該包含完整的一次多項(xiàng)式。由準(zhǔn)則2可知，位移函數(shù)為C0連續(xù)，即在單元之間的位移函數(shù)要求零階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。亦即函數(shù)的本身連續(xù)，而其一階導(dǎo)數(shù)可以不連續(xù)。第二十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日協(xié)調(diào)元與非協(xié)調(diào)元當(dāng)單元的位移函數(shù)滿足完備性要求時(shí)，稱單元是完備的（一般都比較容易滿足），當(dāng)單元的位移函數(shù)滿足協(xié)調(diào)性條件時(shí)，稱單元是協(xié)調(diào)的（在單元與單元之間的公共邊界上對(duì)于高階連續(xù)性要求較難滿足）。當(dāng)單元的位移函數(shù)即完備又協(xié)調(diào)時(shí)，則有限元分析的解答是收斂的，即當(dāng)單元尺寸趨于零時(shí)，有限元分析的解答趨于真實(shí)解。我們稱這種單元為協(xié)調(diào)單元。第二十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日一般情況下，當(dāng)泛函中的導(dǎo)數(shù)高于一階時(shí)，則要求許可函數(shù)在單元交界面上具有C1或更高的連續(xù)性，這時(shí)構(gòu)造單元的插值函數(shù)往往比較困難。如果在單元之間的交界面上位移或?qū)?shù)不連續(xù)，將在交界面上引起無(wú)限大的變形，這時(shí)必須產(chǎn)生附加應(yīng)變能，而我們建立泛函時(shí)，并沒有考慮這種情況。因此，基于最小勢(shì)能原理得到的有限元分析解答就不可能收斂于正確解。在某些情況下，可以放松對(duì)協(xié)調(diào)性的要求，只要這種單元能夠通過拼片試驗(yàn)，有限元分析的解答仍然可以收斂于正確的解答。這樣的單元稱為非協(xié)調(diào)性單元。第二十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日第三十頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日6.6C0和C1型單元C0型單元在泛函中位移函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)為1，在交界面上具有0階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，即節(jié)點(diǎn)上僅僅要求位移連續(xù)。桿單元、平面問題單元、空間問題單元等第三十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日6.6C0和C1型單元C1型單元在泛函中位移函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)為2，在交界面上具有1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，即節(jié)點(diǎn)上除要求位移連續(xù)外，還要求1階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。梁?jiǎn)卧?、板單元、殼單元等第三十二?yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日6.7單元的拼片試驗(yàn)由于非協(xié)調(diào)單元之間的位移不能保證位移協(xié)調(diào)，可以通過拼片試驗(yàn)來(lái)考證是否能描述常應(yīng)變和剛體位移，若能通過拼片試驗(yàn)，則解得收斂性就能得到保證。如圖所示的單元狀況，其中至少一個(gè)節(jié)點(diǎn)被單元所完全包圍，若節(jié)點(diǎn)i完全被單元所包圍，節(jié)點(diǎn)i的平衡方程為第三十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于非協(xié)調(diào)單元，需要考察它的收斂性，即考察它是否具有常應(yīng)變的能力，因此，我們?cè)O(shè)計(jì)這樣一個(gè)試驗(yàn)（拼片試驗(yàn)）：當(dāng)對(duì)單元片中的各個(gè)節(jié)點(diǎn)賦予對(duì)應(yīng)于常應(yīng)變狀態(tài)的位移和載荷值時(shí)，核對(duì)對(duì)i點(diǎn)平衡方程的正確性，如果能夠滿足，也就是單元滿足常應(yīng)變要求，因此當(dāng)單元尺寸不斷減小時(shí)，有限元解能夠收斂于真正解。第三十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日以平面問題為例由片面問題的平衡方程可知，當(dāng)單元內(nèi)的應(yīng)變或應(yīng)力都為常數(shù)時(shí)，則對(duì)應(yīng)的體積力為零。對(duì)應(yīng)于圖中的i點(diǎn)，它的邊界力也為零，因此。所以此時(shí)，通過拼片試驗(yàn)的前提是，當(dāng)賦予各節(jié)點(diǎn)以上位移模式的位移時(shí)，i點(diǎn)的平衡方程變?yōu)榧幢仨氃诠?jié)點(diǎn)i施加附加約束，該約束力所作的功等于單元交界面上位移不協(xié)調(diào)引起的附加應(yīng)變能。第三十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日仍以平面問題為例由片面問題的平衡方程可知，當(dāng)單元內(nèi)的應(yīng)變或應(yīng)力都為常數(shù)時(shí)，則對(duì)應(yīng)的體積力為零。對(duì)應(yīng)于圖中的i點(diǎn)，它的邊界力也為零，因此。所以i節(jié)點(diǎn)以外節(jié)點(diǎn)有以上位移模式的位移時(shí)，對(duì)于i點(diǎn)的平衡方程如果求解上式得到的位移值和常應(yīng)變狀態(tài)下的位移相一致，則認(rèn)為通過拼片試驗(yàn)。否則認(rèn)為不能通過拼片試驗(yàn)。第三十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日6.8有限元數(shù)值解的精度與性質(zhì)求解精度估計(jì)以平面問題為例，單元的位移場(chǎng)可以展開成以下形式如果單元尺寸為h，則上式中的Δx和Δy都是h量級(jí)，若單元的位移函數(shù)采用p階完全多項(xiàng)式，即它能逼近上述泰勒級(jí)數(shù)的前p階多項(xiàng)式，那么位移解u的誤差將是O（hp+1）量級(jí)。

第三十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日3節(jié)點(diǎn)3角形單元(p次多項(xiàng)式)：量級(jí)位移應(yīng)變應(yīng)變能誤差收斂速度誤差誤差h/1量級(jí):O（h2）O（h2）O（h）O（h2）h/2量級(jí):O（h2/4）。。。。。。。。。h/3量級(jí):O（h2/9）。。。。。。。。。h/4量級(jí):O（h2/16）。。。。。。。。。第三十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日這里討論的都是僅僅局限于網(wǎng)格的離散誤差，即當(dāng)一個(gè)連續(xù)的求解域被離散成有限個(gè)子域，由單元的試函數(shù)來(lái)逼近整體的域的場(chǎng)函數(shù)所引起的誤差。另外，實(shí)際誤差還應(yīng)該包括計(jì)算機(jī)的數(shù)值運(yùn)算誤差。精確解與不同網(wǎng)格計(jì)算結(jié)果之間的關(guān)系第三十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日有限元分析的下限性質(zhì)有限元是把結(jié)構(gòu)無(wú)限多的自由度簡(jiǎn)化為有限多的自由度，結(jié)構(gòu)的剛度被夸大了，即使是用無(wú)限多個(gè)自由度來(lái)描述，也必然使得原系統(tǒng)剛度增加，變得更加剛硬，即剛度矩陣的總體數(shù)值變大，由剛度方程知，計(jì)算出的位移結(jié)果偏小。由于位移函數(shù)的收斂性準(zhǔn)則包含完備性和協(xié)調(diào)性兩方面的要求，而完備性要求比較容易滿足，而協(xié)調(diào)性則較難滿足，因此這往往是研究的重點(diǎn)。第四十頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日位移解的下限性質(zhì)是基于協(xié)調(diào)單元單調(diào)收斂的前提得到的，在有些情況下，使用非協(xié)調(diào)單元也可以得到工程上的滿意解答，有時(shí)甚至更好，這是由于位移不協(xié)調(diào)引所造成的誤差與其它誤差相抵消的緣故。第四十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日6.9單元應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的誤差和平均應(yīng)力結(jié)果的誤差性質(zhì)對(duì)于彈性問題，其三大變量對(duì)于一個(gè)具體問題，成了求δ2П關(guān)于的極值問題。它是一個(gè)誤差泛函。第四十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日可見，對(duì)于求近似解極值的問題從力學(xué)上看，是求位移變分引起的總勢(shì)能為極小值的問題。從數(shù)學(xué)上看，是求應(yīng)變差和應(yīng)力差在彈性矩陣加權(quán)意義下的最小二乘問題。因此，應(yīng)變和應(yīng)力的近似解的性質(zhì)，是在加權(quán)殘值最小二乘意義上對(duì)真實(shí)應(yīng)變和真實(shí)應(yīng)力的逼近。第四十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日高斯點(diǎn)上的應(yīng)力性質(zhì)高斯積分點(diǎn)上的應(yīng)力和應(yīng)變的近似解將具有比其它位置高得多的精度，這可以從圖中看出。第四十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日公共節(jié)點(diǎn)上的應(yīng)力平均①繞節(jié)點(diǎn)直接平均法②繞節(jié)點(diǎn)加權(quán)平均法，可以按體積或面積加權(quán)平均③二單元平均法第四十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日6.10控制誤差和提高精度的h方法和p方法h方法：不改變