專題4.1導(dǎo)數(shù)的概念、運算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義（知識點講解）

【知識框架】

導(dǎo)數(shù)的概念、運算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)（平均變化率、瞬時變化率）的概念

\,/（導(dǎo)數(shù)的運算

::'求曲殘的切統(tǒng)方程

常考題型廠’—標

'、、、.求參數(shù)的值施國）

'、、、I兩曲線的公切線問題

'、、、\導(dǎo)致幾何意義相關(guān)的應(yīng)用問題

【核心素養(yǎng)】

1.考查導(dǎo)數(shù)（平均變化率、瞬時變化率）的概念，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

2.與基本初等函數(shù)相結(jié)合考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算，凸顯數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

3.與函數(shù)、曲線方程相結(jié)合考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，凸顯數(shù)學(xué)運算、直觀想象的核心素養(yǎng).

【知識點展示】

（-）導(dǎo)數(shù)的概念

1.函數(shù)y=_/（x）在x=xo處的導(dǎo)數(shù)

定義：稱函數(shù)y=?x）在x=xo處的瞬時變化率

limhmAl為函數(shù)y=/（x）在x=xo處的導(dǎo)數(shù)，記作了（xo）或）3=如即

AsOAxAr->0Ax

/（x0）=lim竺=lim/（/+a）T（x。）.

&T0[\x'一。Ar

2.函數(shù)人x）的導(dǎo)函數(shù)

稱函數(shù)/（x）=lim4rL為人x）的導(dǎo)函數(shù).

-Ar

（-）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則

1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

/（x）=c（c為常數(shù)）f(x)=O

A%)=X"(?6Q*).尸(工)=帚?

/(x)=sinxf(x)=cosx

/(x)=cosxf(x)=~sinx

Xx)=a'f(x)=ax\na

/W=ev

,/(x)=logdf(x)~x\na

,/(x)=lnx

2.導(dǎo)數(shù)的運算法則

(1)用)士ga)]'=/a)±g3；

(2)L/(x)-g(x)1=fa)g(x)+；(x)g，(x)；

/(x)f\x)-g(x)-g\x)-f(x)

(3)

g(x)g2(x)

(4)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=7(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù))，=犬")，“=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx'=yu'-ux',即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對〃

的導(dǎo)數(shù)與〃對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

(三)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)人用在點X0處的導(dǎo)數(shù)/(X。)的幾何意義是在曲線y=/(x)上點(xo,_/Uo))處的切線的斜率(瞬時速度就是位移

函數(shù)s(f)對時間/的導(dǎo)數(shù)).相應(yīng)地，切線方程為y—/Uo)=/(xo)(x—xo).

(四)特別提醒

(3)曲線y=/(x)在點P(xo,2)處的切線是指P為切點，斜率為/'(xo)的切線，是唯一的一條切線.

(4)曲線y=/(x)過點P(xo，泗)的切線，點P不一定是切點，切線可能有多條.

(五)常用結(jié)論

1.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).

2.熟記以下結(jié)論：

(%=」

(1)

X廠

Q)(/W0)：

(3)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg\x).

【?？碱}型剖析】

題型一：導(dǎo)數(shù)(平均變化率、瞬時變化率)的概念例1.(2022?全國?高三專題練習(xí)(理))2020年5月1日,

北京市開始全面實施垃圾分類，家庭廚余垃圾的分出量不斷增加.已知甲、乙兩個小區(qū)在［0,4這段時間內(nèi)

的家庭廚余垃圾的分出量。與時間，的關(guān)系如圖所示.給出下列四個結(jié)論：

①在⑺，0這段時間內(nèi)，甲小區(qū)的平均分出量比乙小區(qū)的平均分出量大；

②在上2,冏這段時間內(nèi)，乙小區(qū)的平均分出量比甲小區(qū)的平均分出量大；

③在〃時刻，甲小區(qū)的分出量比乙小區(qū)的分出量增長的慢；

④甲小區(qū)在［0,川，［〃，力，上2,3這三段時間中，在［⑵制的平均分出量最大.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

B.②③C.①④D.③④

例2.（2020?北京?高考真題）為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理，排放未

達標的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間f的關(guān)系為W=/Q）,用的大小評價在

b-a

3,切這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如下

圖所示.

給出下列四個結(jié)論:

①在，山］這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；

②在4時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；

③在與時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標；④甲企業(yè)在［（）,。,L，GILUJ這三段時間中，在［。歷］的

污水治理能力最強.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

例3.（2008?北京?高考真題（理））如圖，函數(shù)/（x）的圖象是折線段/（x）,其中A,B,C的坐標分別為

(0,4),(2,0),(64),則/(/(0))=

/(1+Z^)-/(1)

.(用數(shù)字作答)

Ax

【規(guī)律方法】

1.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=f(x)在點X。處導(dǎo)數(shù)的方法:

①求函數(shù)的增量Ay=/(x0+Ar)-/(x0)；

②求平均變化率包=/(/+?)；

AxAx

③得導(dǎo)數(shù)1f(Xo)=lim包，簡記作：一差、二比、三極限.

&r-*°AX

2.函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)廣⑴反映了函數(shù)/(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|「(犬)|反映

了變化的快慢，|廣(刈越大，曲線在這點處的切線越“陡

3.瞬時速度是位移函數(shù)S⑺對時間的導(dǎo)數(shù).

題型二：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則

例4.(2018?天津?高考真題(文))已知函數(shù)以尸r(x)為段)的導(dǎo)函數(shù)，則/'⑴的值為.

例5.(2013?江西,高考真題(理))設(shè)函數(shù)f(x)在(0,+8)內(nèi)可導(dǎo)，且f(ex)=x+ex,則/(1)=.

例6.(2020?全國,高考真題(文))設(shè)函數(shù)〃x)=￡.若(⑴=J,則的.

例7.(2019?全國高三月考(理))已知函數(shù)/(無)=丁+2/'⑴龍一3,則八2)=_

【總結(jié)提升】

1.求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一般原則如下：(1)連乘積的形式：先展開化為多項式的形式，再求導(dǎo)；

(2)根式形式：先化為分數(shù)指數(shù)幕，再求導(dǎo)；

(3)復(fù)雜公式：通過分子上湊分母，化為簡單分式的和、差，再求導(dǎo)；

(4)不能直接求導(dǎo)：適當恒等變形，轉(zhuǎn)化為能求導(dǎo)的形式再求導(dǎo).

2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法

求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般是運用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，將問題轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解決.

①分析清楚復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系是由哪些基本函數(shù)復(fù)合而成的，適當選定中間變量；

②分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導(dǎo)，而其中特別要注意的是中間變量；

③根據(jù)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則，求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)；

④復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練以后，中間步驟可以省略，不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過程.

3.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)值的區(qū)間與聯(lián)系：導(dǎo)數(shù)是原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，而導(dǎo)數(shù)值是導(dǎo)函數(shù)在某一點的函數(shù)值，導(dǎo)

數(shù)值是常數(shù).

題型三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義--求曲線的切線方程

例8.（2020?全國高考真題（理））函數(shù)〃x）=d-2V的圖像在點（1,/■⑴）處的切線方程為（）

A.y=-2x—1B.y——lx+1

C.y=2x-3D.y=2x4-1

例9.（2022?全國?高考真題）曲線y=ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為,.

例10.（2016?全國?高考真題（文））已知“X）為偶函數(shù)，當xwo時，/（x）=e*'-x,則曲線y=/（x）在

點（L2）處的切線方程是.

【總結(jié)提升】

導(dǎo)數(shù)運算及切線的理解應(yīng)注意的問題：

一是利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆.

二是直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，

同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點.

曲線切線方程的求法：

（1）以曲線上的點（揚，/Xx。））為切點的切線方程的求解步驟：

①求出函數(shù)/'（x）的導(dǎo)數(shù)（x）；②求切線的斜率F（揚）；

③寫出切線方程了一/1（蜀）=/?'（劉）5-荀），并化簡.

%=/（入0）

（2）如果已知點（為，％）不在曲線上，則設(shè)出切點（蜀，㈤，解方程組，乂一為_、得切點（蜀，％）,進

二J（入0）

"天

而確定切線方程.

題型四：導(dǎo)數(shù)的幾何意義--求切點坐標

例11.（2019?江蘇?高考真題）在平面直角坐標系X。），中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線

經(jīng)過點（-e,-l）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標是一.

例12.（2015?陜西?高考真題（理））設(shè)曲線y=，在點（0,1）處的切線與曲線y=L（x>0）上點P處的切線

垂直，則P的坐標為.

【總結(jié)提升】

已知斜率求切點：已知斜率上求切點（汨，/■（汨）），即解方程f（無）=上

題型五：導(dǎo)數(shù)的幾何意義--求參數(shù)的值（范圍）

例13.（2021?全國高考真題）若過點（。力）可以作曲線y=e'的兩條切線，則（）

A.eh<aB.<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

例14.（2019?全國?高考真題（理））已知曲線>=。-+*111》在點（1,四）處的切線方程為y=2x+Z>,則

A.a=e,b=-1B.a=e力=1C.a=e'',b=1D.a=e'',b=-1

例15.（2022?全國?高考真題）若曲線y=（x+a）e'有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是

【規(guī)律方法】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的兒何意義求參數(shù)的值時，一般是利用切點P（刖，%）既在曲線上又在切線上構(gòu)造方程組求解.

題型六：兩曲線的公切線問題

例16.（2020?全國?高考真題（理））若直線/與曲線廣石和都相切，貝II/的方程為（）

A.）=2x+lB.）=2x+gC.>-=yx+lD.尸gx+g

例17.（2016?全國?高考真題（理））若直線y=h+）是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln（x+l）的切線,

則人=.【總結(jié)提升】

解決此類問題通常有兩種方法

一是利用其中一曲線在某點處的切線與另一曲線相切，列出關(guān)系式求解；

二是設(shè)公切線/在y=/（x）上的切點Pi（M，/（xi））,在y=g（x）上的切點P2（X2,gg）,則r（xi）=g'（x2）=

玉f

題型七：導(dǎo)數(shù)幾何意義相關(guān)的應(yīng)用問題

2

e..f-x+2x,x<0

f（x）=j

例18.（2013?全國?高考真題（文））已知函數(shù)[3x+l）,x>°,若則。的取值范圍是（）

A.（y,0]B.（-<?/]C.[-2,1]D.[-2,0]

例19.（2021?全國?高考真題）已知函數(shù)/（幻=卜-也<0,馬〉0,函數(shù)/㈤的圖象在點和點

8卜2，/（々））的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于/w,N兩點，則晶J取值范圍是.

例20.（2019?江蘇?高考真題）在平面直角坐標系xOy中，P是曲線y=x+3x>0）上的一個動點，則點P到

x

直線x+）=0的距離的最小值是.

【規(guī)律方法】

求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時應(yīng)注意的兩點

（1）注意曲線上橫坐標的取值范圍.

（2）謹記切點既在切線上又在曲線上.

專題4.1導(dǎo)數(shù)的概念、運算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義（知識點講解）

【知識框架】

導(dǎo)數(shù)的概念、運算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)（平均變化率、瞬時變化率）的概念

導(dǎo)數(shù)的運算

求曲殘的切淺方程

常考題型-J求切點坐標

I求參數(shù)的值龐圍）

r兩曲線的公切線問題

\導(dǎo)致幾何意義相關(guān)的應(yīng)用問題【核心素養(yǎng)】

1.考查導(dǎo)數(shù)（平均變化率、瞬時變化率）的概念，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

2.與基本初等函數(shù)相結(jié)合考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算，凸顯數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

3.與函數(shù)、曲線方程相結(jié)合考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，凸顯數(shù)學(xué)運算、直觀想象的核心素養(yǎng).

【知識點展示】

（一）導(dǎo)數(shù)的概念

1.函數(shù)y=7U）在x=xo處的導(dǎo)數(shù)

定義：稱函數(shù)y=7U）在x=xo處的瞬時變化率

lim~=lim包為函數(shù)），=危）在亢=沏處的導(dǎo)數(shù)，記作了（刈）或yf\x=xo,即

△soAx-Ar

/（x0）=lim竺=lim/（/+a）T（x。）.

&T0.八―。Ar

2.函數(shù)人x）的導(dǎo)函數(shù)

稱函數(shù)/（x）=lim4rL為人x）的導(dǎo)函數(shù).

-Ar

（二）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則

1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

危）=c（c為常數(shù)）/w=o

./U)=V(〃eQ*)/(x)="1

?r)=sinx/(x)=cosx

fix)=cosX/(x)=-sinx

f(x)=ax\na

./U)=e*f(x)=ex

yu)=iog^f(x)~x\na

.%)=：

y(x)=lnx

2.導(dǎo)數(shù)的運算法則

(1)[/W土g(x)]'=F(x)土g'(x)；

(2)LAx>g(x)]'=/Q)g(x)+7U)g'(x);

/(x),_f\x)-g(x)-g\x)-f(x)

(3)

g(x)gXx)

(4)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=式g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/("),“=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx'=yu'-Ux，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對〃

的導(dǎo)數(shù)與〃對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

(三)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)人用在點xo處的導(dǎo)數(shù)/(xo)的幾何意義是在曲線y=/(x)上點(次，?ro))處的切線的斜率(瞬時速度就是位移

函數(shù)s(f)對時間/的導(dǎo)數(shù)).相應(yīng)地，切線方程為y—/Uo)=/(xo)(x—xo).

(四)特別提醒

(3)曲線y=/(x)在點P(xo,2)處的切線是指P為切點，斜率為/'(xo)的切線，是唯一的一條切線.

(4)曲線y=/(x)過點P(xo，泗)的切線，點P不一定是切點，切線可能有多條.

(五)常用結(jié)論

1.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).

2.熟記以下結(jié)論：

(%=」

(1)

X廠

Q)(/W0)：

(3)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg\x).

【常考題型剖析】

題型一：導(dǎo)數(shù)(平均變化率、瞬時變化率)的概念例1.(2022?全國?高三專題練習(xí)(理))2020年5月1日,

北京市開始全面實施垃圾分類，家庭廚余垃圾的分出量不斷增加.已知甲、乙兩個小區(qū)在［0,4這段時間內(nèi)

的家庭廚余垃圾的分出量。與時間，的關(guān)系如圖所示.給出下列四個結(jié)論：

①在⑺，0這段時間內(nèi)，甲小區(qū)的平均分出量比乙小區(qū)的平均分出量大；

②在上2,冏這段時間內(nèi)，乙小區(qū)的平均分出量比甲小區(qū)的平均分出量大；

③在〃時刻，甲小區(qū)的分出量比乙小區(qū)的分出量增長的慢；

④甲小區(qū)在［0,川，［〃，力，上2,3這三段時間中，在［⑵制的平均分出量最大.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.②③C.①④D.③④

【答案】B

【解析】

【分析】

利用平均變化率的含義，即看這段時間內(nèi)的變化量，由此判斷①②④的正誤：根據(jù)瞬時變化率的含義，判

斷出③的正誤，可得答案.

【詳解】

①在L，4］這段時間內(nèi)，甲的增長量小于乙的增長量，所以甲的平均分出量小于乙，說法錯誤.

②在L，41這段時間內(nèi)，甲的增長量小于乙的增長量，所以乙的平均分出量大于甲，說法正確.

③在％時刻，乙的圖象比甲的圖象陡，瞬時增長率大，說法正確.

④甲的圖象大致為一條直線，所以三個時間段的平均分出量相等，說法錯誤.

故選：B.

例2.（2020?北京?高考真題）為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理，排放未

達標的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間f的關(guān)系為w=.f（/）,用-要"曳的大小評價在

b-a

他，回這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如下

圖所示.

給出下列四個結(jié)論:

①在，山］這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強;

②在〃時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；

③在4時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標；

④甲企業(yè)在［。，4口出］，［小八］這三段時間中，在［0，乙］的污水治理能力最強.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②③

【解析】

【分析】

根據(jù)定義逐一判斷，即可得到結(jié)果

【詳解】

_/(/7-/(〃)表示區(qū)間端點連線斜率的負數(shù),

b-a

在［必］這段時間內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的污水治理能力比

乙企業(yè)強；①正確；

甲企業(yè)在［0,q］，L，司這三段時間中，甲企業(yè)在,冉］這段時間內(nèi)，甲的斜率最小，其相反數(shù)最大，即

在，,4］的污水治理能力最強.④錯誤；

在，2時刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)

強；②正確；

在G時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水打標排放量以下，所以都已達標；③正確；

故答案為：①②③例3.(2008?北京?高考真題(理))如圖，函數(shù)/(X)的圖象是折線段“X),其中A,B,C

的坐標分別為(0,4)，(2,0),(6,4),則.f(f(0))=；

4

/(l+ZVr)-/(l)

3.(用數(shù)字作答)

2

01123456

【答案】2-2

【解析】

【詳解】

f(0)=4,f(4)=2：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知)一,⑴=—2.

-Ax

【規(guī)律方法】

1.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=/(x)在點與處導(dǎo)數(shù)的方法：

①求函數(shù)的增量Ay=/(Xo+Ax)-/(x())：

②求平均變化率"="4+'''-0).

ArAx

③得導(dǎo)數(shù)/'(%)=口//，簡記作：一差、二比、三極限.

2.函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)/⑴反映了函數(shù)/(尤)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f(x)|反映

了變化的快慢，，'(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡

3.瞬時速度是位移函數(shù)S⑺對時間的導(dǎo)數(shù).

題型二：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則

例4.(2018?天津?高考真題(文))已知函數(shù)尸(可為危)的導(dǎo)函數(shù)，則/⑴的值為.

【答案】e

【解析】

【分析】

首先求導(dǎo)函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果.

【詳解】由函數(shù)的解析式可得：/(x)=e*xlnx+/xLedlnx+」，

則/⑴=3x

即尸(1)的值為e,故答案為e.

例5.(2013?江西?高考真題(理))設(shè)函數(shù)f(x)在(0,+oo)內(nèi)可導(dǎo)，且f(ex)=x+ex,則:(1)=

【答案】2

【解析】

【詳解】

試題分析：令r=e*,/(0=r+lnr(r>0),所以/(x)=x+lnx,(x>0),r(x)=l+1,/'。)=2,所以答案應(yīng)

填：2.

例6.(2020?全國?高考真題(文))設(shè)函數(shù)/(》)=工.若/(1)=；,貝1］。=.

【答案】I

【解析】

【分析】

由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后得到關(guān)于實數(shù)。的方程，解方程即可確定實數(shù)”的值

【詳解】

由函數(shù)的解析式可得：r(x)=T~~AT~~2」，

(%+〃)(X+Q)

z.,/\e1x(l+a-l)aeaee

則：尸⑴=/\2=7~涓，據(jù)此可得：

(1+4)(〃+1)(。+1)4

整理可得：/—2a+1=0,解得：a=\.

故答案為：L

例7.(2019?全國高三月考(理))已知函數(shù)，(>)=丁+2/⑴x—3,則八2)=

【答案】6

【解析】

由/(X)=、+2f'(y)x—3,得f'(x)=3x2+2/z(l)，

令x=l,得/'⑴=3+2/'(1),解得八1)=—3.

所以尸(x)=3/一6.

所以『'(2)=6.

故答案為：6

【點評】賦值法是求解此類問題的關(guān)鍵，求解時先視尸(1)為常數(shù)，然后借助導(dǎo)數(shù)運算法則計算/'(X),最后

分別令x=l,x=0代入r(x)求解即可.

【總結(jié)提升】

1.求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一般原則如下：

（1）連乘積的形式：先展開化為多項式的形式，再求導(dǎo)；

（2）根式形式：先化為分數(shù)指數(shù)累，再求導(dǎo)；

（3）復(fù)雜公式：通過分子上湊分母，化為簡單分式的和、差，再求導(dǎo)；

（4）不能直接求導(dǎo)：適當恒等變形，轉(zhuǎn)化為能求導(dǎo)的形式再求導(dǎo).

2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法

求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般是運用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，將問題轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解決.

①分析清楚復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系是由哪些基本函數(shù)復(fù)合而成的，適當選定中間變量；

②分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導(dǎo)，而其中特別要注意的是中間變量；

③根據(jù)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則，求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù);

④復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練以后，中間步驟可以省略，不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過程.

3.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)值的區(qū)間與聯(lián)系：導(dǎo)數(shù)是原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，而導(dǎo)數(shù)值是導(dǎo)函數(shù)在某一點的函數(shù)值，導(dǎo)

數(shù)值是常數(shù).

題型三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義--求曲線的切線方程

例8.（2020?全國高考真題（理））函數(shù)〃x）=f-2d的圖像在點（1,7（I））處的切線方程為（）

A.y=-2x-lB.y--2x+\

C.y=2x-3D.y=2x+\

【答案】B

【解析】

V/（X）=X4-2X3,.-.7,（X）=4X3-6X2,=⑴=一2,因此，所求切線的方程為

y+l=—2（x—1）,即y=-2x+l.

故選：B.

例9.（2022?全國?高考真題）曲線y=ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為,.

【答案】y=-xy=--x

ee

【解析】

【分析】

分x>0和x<0兩種情況，當x>0時設(shè)切點為(天,lnx°),求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而

表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出方,即可求出切線方程，當x<0時同理可得；

【詳解】

解：因為y=ln|x|,

當x>0時y=lnx,設(shè)切點為(毛,In%),由y'=L所以川個,=一,所以切線方程為)Tn%='(x-%),

X天)冗0

又切線過坐標原點，所以Tn%=’(-%),解得x0=e,所以切線方程為=e),即y=L；

X。ee

當x<0時y=ln(—x),設(shè)切點為(x』n(f)),由y'=L所以"『=工，所以切線方程為

xx\

y-ln(-xj=—(x-x,),

再

又切線過坐標原點，所以Tn(F)=,(f),解得為=-e,所以切線方程為y-1=」-(x+e),即y=」x；

X-ee

故答案為：y=-x；y=--x

ee

例10.(2016?全國?高考真題(文))已知“X)為偶函數(shù)，當X40時，/(x)=e-x-'-x,則曲線y=/(x)在

點(L2)處的切線方程是.

【答案】—x

【解析】

【詳解】

試題分析：當x>0時，-x<0,則/(—)=—+》.又因為為偶函數(shù)，所以/(x)=/(—)=e1+x,所

以尸(x)=ei+l,貝廳'(1)=2,所以切線方程為y-2=2(x-l),即y=2x.

【總結(jié)提升】導(dǎo)數(shù)運算及切線的理解應(yīng)注意的問題：

一是利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆.

二是直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，

同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點.

曲線切線方程的求法：

(1)以曲線上的點(荀，f(x。))為切點的切線方程的求解步驟：

①求出函數(shù)『00的導(dǎo)數(shù)/(x)；

②求切線的斜率6U)；

③寫出切線方程y-f(為)=/'(揚)(*一荀)，并化簡.

%=/（%）

⑵如果已知點（矛1，必）不在曲線上，則設(shè)出切點（蜀，必），解方程組＜＞］一為_、得切點（刖，%），進

口-%

而確定切線方程.

題型四：導(dǎo)數(shù)的幾何意義--求切點坐標

例11.（2019,江蘇?高考真題）在平面直角坐標系X。），中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線

經(jīng)過點（-e,-l）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標是一.

【答案】（e,1）.

【解析】

【分析】

設(shè)出切點坐標，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標的值可得切點坐標.

【詳解】

設(shè)點4（毛,%）,則%=始%.又了=卜

,1

當工=%時，y=一,

xo

點A在曲線y=lnx上的切線為y—%=’（x—Xo）,

.x.

g|jy-lnxo=---1,

%

代入點（一6-1）,得一l-lnxo='-1,

玉）

即毛皿%=e,

考查函數(shù)"（x）=xlnx,當xe（O,l）時，W（x）＜0,當時，H（x）＞0,且"。）=lnx+l,當x＞l

時,H〈x）＞0,H（x）單調(diào)遞增,

注意到H（e）=e,故=6存在唯一的實數(shù)根與=e,此時%=1,

故點A的坐標為4?1）.

例12.（2015?陜西?高考真題（理））設(shè)曲線y=e，在點（0,1）處的切線與曲線y=」（x＞0）上點P處的切線

X

垂直，則P的坐標為.

【答案】（L1）

【解析】

【詳解】

設(shè)P(Xo，%).

對丫=5求導(dǎo)得y=ex,令x=0,得曲線y=ex在點(0,1)處的切線斜率為1,故曲線y=’(x>0)上點P處

X

的切線斜率為-1,由>'二=-3=-1,得%=1,則%=1,所以P的坐標為(1,1).

xo

【總結(jié)提升】

己知斜率求切點：已知斜率上求切點(小，『(汨))，即解方程/U)=k.

題型五：導(dǎo)數(shù)的幾何意義--求參數(shù)的值(范圍)

例13.(2021?全國高考真題)若過點(。力)可以作曲線y=e'的兩條切線，貝ij()

A.eh<aB.e"<b

C.0<a<ehD.0<b<e"

【答案】D

【分析】

解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)兒何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；

解法二：畫出曲線丫=?、的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(。,與在曲線下方和x軸上方時才可以作出兩條切線.

【詳解】

在曲線y=e*上任取一點29/),對函數(shù)y=e"求導(dǎo)得y，=e*,

所以，曲線y=靖在點尸處的切線方程為y-e'=e'(xT),即y=e'x+(l-f)e',

由題意可知，點(。力)在直線y=e'x+(l-f)d上，可得6=ae'+(lT)d=(a+l-f)d,令=+,

則r(f)=(a-f)d.

當時，r(r)>0,此時函數(shù)單調(diào)遞增，

當時，尸。)<0,此時函數(shù)單調(diào)遞減，

所以，/(')網(wǎng)=〃")=6"，

由題意可知，直線丫=匕與曲線y=/(f)的圖象有兩個交點，則b</(f)nBX=e"，

當，<a+l時，/(/)>0,當>4+1時，/(r)<0,作出函數(shù)/⑺的圖象如下圖所示：

JJI

0aa+ip

1由圖可知當時，宜線y=b與曲線y=f（。的圖象有兩個交

同

點.

故選：D.

解法二：畫出函數(shù)曲線y=e'的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點（。力）在曲線下方和x軸上方時才可以

作出兩條切線.由此可知0<b<e".

r1

1故選:

D.

/少P（aJ>）

0

例14.（2019?全國?高考真題（理））已知曲線、=肥，+*1門在點（1,閑處的切線方程為y=2x+b,則

A.a=e,b--\B.a=e,b=lC.a=e',b=1D.a=e"',b=-1

【答案】D

【解析】

通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達式，求得明將點的坐標代入直線方程，求得匕.

【詳解】

詳解：y'=ae'+lnx+l,

&=)'1=1=四+1=2,a=e'

將(1,1)代入y=2x+b得2+b=l,6=-l,故選D.

例15.(2022?全國?高考真題)若曲線y=(x+a)e、有兩條過坐標原點的切線，則”的取值范圍是

【答案】(—,-4)5°，+◎

【解析】

【分析】

設(shè)出切點橫坐標與,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關(guān)于％的方程，根據(jù)此方

程應(yīng)有兩個不同的實數(shù)根，求得。的取值范圍.

【詳解】

Vy-(x+a)ex,二y'=(x+l+a)e*,

設(shè)切點為(%,%),則%=(』+a)e&，切線斜率4=&+l+a)e”,

切線方程為:y-(為+a)e~=(x0+l+a)e*(x-$),

?.?切線過原點，(％+a)e*=(/+1+。》”(—天)，

整理得：XQ+—a=0,

切線有兩條，解得"-4或a>0.

。的取值范圍是(-T)U(O,”).

故答案為：(75,7)11(0,-8)

【規(guī)律方法】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的值時，一般是利用切點㈤既在曲線上又在切線上構(gòu)造方程組求解.

題型六：兩曲線的公切線問題

例16.（2020.全國.高考真題（理））若直線/與曲線產(chǎn)五和/+）'2=1都相切，貝U/的方程為（）

A.產(chǎn)2x+lB.產(chǎn)2x+gC.y-^x+\D.產(chǎn)

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線/的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.

【詳解】

設(shè)直線/在曲線y=石上的切點為伍,人），則%>0,

,1

函數(shù)y=?的導(dǎo)數(shù)為y'=在則直線/的斜率左二彳「，

設(shè)直線/的方程為y—J京=加（苫一%）,即％-2k丫+々=0,由于直線/與圓x2+y2=?目切，則

4_]

Jl+氣一亞,

兩邊平方并整理得5X；-4X0-1=0,解得％=1,x0=-g（舍），

則直線/的方程為x-2y+l=0,即尸;*+；.

故選：D.

例17.（2016?全國?高考真題（理））若直線丫=依+）是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln（x+1）的切線，

則6=.

【答案】l-ln2

【解析】

【詳解】

試題分析：對函數(shù)y=lnx+2求導(dǎo)得y=L,對y=ln（x+l）求導(dǎo)得y，=—設(shè)直線y=H+b與曲線

XX+1

y=lnx+2相切于點耳（％,y）,與曲線y=ln（x+l）相切于點￡（七,%），則％=lnx,+2,%=ln（*2+1）,由點

勺（現(xiàn),必）在切線上得丫一（111西+2）=’（》一%），由點￡（七,丫2）在切線上得打111（々+1）=—^572）,這兩

；占

條直線表示同--條直線，所以《X+1，解得々=彳1"/=一1=2,匕=lnx|+27=]7n2.

小+D=m玉+汽2西

“+1

【總結(jié)提升】

解決此類問題通常有兩種方法

一是利用其中一曲線在某點處的切線與另一曲線相切，列出關(guān)系式求解；

二是設(shè)公切線/在y=/(x)上的切點P18,7(X1)),在丫=8(、)上的切點P2(X2,g(X2)),貝lJ/'(X|)=g<X2)=

/(X|)