1/12第三章一階微分方程的解的存在定理1)求初值問題〈dx的第三次近似解；面求它們的近似解。0p(x)=jxxdx=x2，1022042020p(x)=jxxdx=x2-1，1122評注：逐次逼近函數序列y(x)=y，y(x)=y+jxf(x,y(x))dx，在實際中000n0xn-10解存在唯一，否則求出的結果可能并不是我們想要的近似解。2/12的解的存在區間，并求第二次近似解，給出在解的存在區間的誤差估計。以M44153153444設Q(x)是初值問題〈|(=x2-y2的解，Q2(x)是第二次近似解，則0-1336318394242?f取=-2y共2=L所以Q(x)-Q(x)共4.221=1。23!4324n0步逼近函數Q(x)。n3/12dy313-3討論方程=y3在怎樣的區域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過點dx2解設f(x,y)=y32?y2?y2?f故在y豐0的任何區域上又由方程3又由方程23所以通過點(0,0)所以通過點(0,0)y。lxC(x>C),C之0評注：尋找解的存在唯一性定理中的條件所滿足的區域，就是尋找f(x,y)連續和關于y滿足利普希茲條件的區域，困難在于利普希茲條件的驗證，除用定義外，還常用下面的結論：?f在D上存在且有界，則f(x,y)在D上關于y滿足利普希茲條件。?f在D上存在且無界，則f(x,y)在D上關于y不滿足利普希茲條件。其中D為某矩形區域。3-4證明格朗瓦耳(Gronwall)不等式：設K為非負常數，f(t)和g(t)為在區間4/12證1)K0時，令則w(t)f(t)g(t)g(t)w(t)。由w(t)0可得兩邊從到t積分得 所以f(t)w(t)Kexp(tg(s)ds),t。sfttfsgs)ds,由1)有述，不等式成立。設(t),(t)是初值問題xf(t,x),x(t)x的兩個解，則有005/12xx000t0于是0t0其中L為利普希茲常數，由上面的不等式可知0t0格朗瓦耳不等式證明微分方程初值問題解的唯一性是一個很好的方法。3-5假定函數f(x,y)于(x,y)的鄰域內是y的不增函數，試證初值問題0ly(xly(x)=y(1)0證設初值問題(2)存在兩個解x=Q(x),y=Q(x)，要證當x>x時，有12012101100001001ii0i0而Q(x)=Q(x)_Q(x)=jx[f(x,Q(x))_f(x,Q(x))]dx，其中x共x共x。1212010x0121212010x0106/12yyyxxyxx0000000000000000000證因函數f(x,y)在區域G內連續并滿足局部李普希茲條件，故方程y,=f(x,y)的xyyyxxyG0000100000000220000200000200020有y(x,x,y)<c，因為方程的解y=y(x,x,y)在G內連續依賴于初值(x,y)，0000001010000又過點(x,y)的解唯一且連續光滑，001010007/12y00fxyf區域G內連續，又y(x,x,y)是方程y00yf(x,y)0000yy滿足初始條件y(x,x,y0000yy0y(x,x,y)在它的存在范圍內對x,x,y連續。00002)設由初值(x,y)和(x,yy),y足夠小，所確定的解分別為000000y(x,x,y)0和y(x,x,yy)，00則這兩個解均滿足積分方程yyxf(x,y)dx。00x0即φyxf(x,φ)dx和ψyyxf(x,ψ)dx，00000x00以yx[f(x,)f(x,)]dx0xyf(x,())()dx00xy0yx[f(x,)r]()dx00xy10其中r是關于x,x,y,y的連續函數，且當y0時，r0于是有100001yxy1yyxy1y0008/12ydz[f(x,)r]zydxy1z(x0)1y000的解，因此z是x,x,y,y0000存在lime0[f(x,)y]dx，yy0y0000顯然，它是x,x,y的連續函數。00y(x,x,y)的解，一般來說，初值問題解的表達式很難得到，因此，偏導數公式0000pe0[f,p)]dx的實際應用并不廣泛，但理論上表明初值問題解對初值的連續可微性。03-7假設函數P(x)和Q(x)于區間[,]上連續，試證方程dyP(x)yQ(x)滿足初始條件y(x)y的解yy(x,x,y)，作為x,x,y的函數于區域00000000xxyx,x,y上存在連續偏導數y,y,y，并寫出其表達式。00xxy000dyP(x)yQ(x)滿足初始條件y(x)y的解，故有00dyP(x)y(x,x,y)Q(x)。dx0009/120000?y?x又P,Q,y關于x,x,?x0000000000x00000x-0[y+jx(P(x)y(x,x,y)+Q(x))dx]0000x0=Ay+jxP(x)(y-y)dx，00x0y-y=1+jxP(x)y-ydx，AyxAy0000Ay0|lz(x)=10y-y的解，因此z=是x,x,y,Ay的連續函數。解上方程得Ay00000m故存在ym故存在AyAy)00000000顯然，它在其存在范圍內連續。3。設由初值(x,y)和(x+Ax,y)所確定的解分別為y=y(x,x,y)和000000000則xdxx+Axx+Axxx+AxxdxxxPPxyxxyQxrAxjxPx(y-y)dx00000100x0/12yy其中r是關于x,x,y,編x的連續函數，且當編x)yy100001y-y=-[P(x)y(x,x,y)+Q(x)+r]+jxP(x)y-ydx，編x000001x編x000y-yy-y0|=PlzxPxlzxPxyxxyQxry-yy-y0000yy-={-[P(x)y+Q(x)]+r}ej0P(x)dxyy0=lim-=-[P(x)y+Q(x)]ej0P(x)dx，編x)0編x0000000?y=-[P?y=-[P(x)y+Q(x)]ej0P(x)dx0圍內連續。評注：本題也可直接用3-7題的結果得到證明。可以看到，對于線性方程，初值問題3-8求曲線族(x-C)2+(y-C)2=4的包絡，并繪出圖形。y解從l-2(x-C)-2(y-C)=0ox消去C，得C-判別曲線為(x-y)2=8。C判別曲線法求單參數曲線族的包絡必須進行檢驗。3-9求解方程x(dy)3y(dy)21=0。dxdx解將原方程變形為這是克萊羅方程，故其通解為y=Cx。2評注：一階隱式微分方程的解除過通解，有時還有奇解。一階微分方程的奇解(如果存在的話)是該方程通