高二數學第6頁高二數學單元試題（考試時間：120分鐘滿分：150分）一．選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1．已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且a＋b與2a－b互相垂直，則的值是（）A．1B．C．D．2．已知（）A．－15 B．－5 C．－3 D．－13．已知A、B、C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，下列條件中能確定點M與點A、B、C一定共面的是 （） A． B． C． D．4．已知向量a＝（0，2，1），b＝（－1，1，－2），則a與b的夾角為（）A．0°B．45°C．90°D．180°5．已知△ABC的三個頂點為A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），則BC邊上的中線長為 （）A．2 B．3 C．4 D．56．在下列命題中：①若a、b共線，則a、b所在的直線平行；②若a、b所在的直線是異面直線，則a、b一定不共面；③若a、b、c三向量兩兩共面，則a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，則空間任意一個向量p總可以唯一表示為p＝xa＋yb＋zc．其中正確命題的個數為（）A．0B．1C．2D．37．已知空間四邊形ABCD，M、G分別是BC、CD的中點，連結AM、AG、MG，則+等于（）A．B．C．D．8．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，，，則（）A．B．C．D．9．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（） A．有相同起點的向量 B．等長向量 C．共面向量 D．不共面向量10．已知點A（4，1，3），B（2，－5，1），C為線段AB上一點，且,則點的坐標是()A．B．C．D．11．設A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足，則△BCD是（）A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．不確定12．（文科）在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值是（） A．B．C．D．（理科）已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、AD的中點，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，則點B到平面EFG的距離為（）A．B．C．D．1二．填空題（本大題4小題，每小題4分，共16分）13．已知向量a=(+1,0,2)，b=(6,2-1,2),若a∥b,則與的值分別是．14．已知a,b,c是空間兩兩垂直且長度相等的基底，m=a+b,n=b-c,則m，n的夾角為．15．已知向量a和c不共線，向量b≠0，且，d＝a＋c，則＝．16．（如圖）一個結晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點為端點的三條棱長都等于1，且它們彼此的夾角都是，那么以這個頂點為端點的晶體的對角線的長為。三．解答題（本大題6小題，共74分）17．（本小題滿分12分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中點，取如圖所示的空間直角坐標系．（1）寫出A、B1、E、D1的坐標；（2）求AB1與D1E所成的角的余弦值．18．（本小題滿分12分）在正方體中，如圖Ｅ、Ｆ分別是，ＣＤ的中點，（1）求證：平面ADE；（2）cos．19．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側棱底面ABCD， ，E是PC的中點，作交PB于點F.（1）證明平面；（2）證明平面EFD．20．（本小題滿分12分）如圖，四邊形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝．（1）求SC與平面ASD所成的角余弦；（2）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦．21．（本小題滿分12分）如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,點E在PD上，且PE:ED=2:1.（1）證明PA⊥平面ABCD；（2）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的大小22．（本小題滿分14分）P是平面ABCD外的點，四邊形ABCD是平行四邊形，.（1）求證：PA平面ABCD.（2）對于向量，定義一種運算：，試計算的絕對值;說明其與幾何體P-ABCD的體積關系，并由此猜想向量這種運算的絕對值的幾何意義（幾何體P-ABCD叫四棱錐，錐體體積公式：V=）.空間向量答案一．選擇題題號123456789101112答案DADCBAADCCCB二．填空題13．、．14．60°15．90°16．三．解答題（本大題6小題，共74分）17．（本小題滿分12分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中點，取如圖所示的空間直角坐標系．（1）寫出A、B1、E、D1的坐標；（2）求AB1與D1E所成的角的余弦值．解：(1)A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2) (2)∵EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1＝(0,-2,2)，EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1＝(0,1,2)∴|EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1|＝2EQ\R(2)，|EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1|＝EQ\R(5)，EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1·EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1＝0－2＋4＝2,∴cosEQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1，EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1＝EQ\F(EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1·EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1,|EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1|·|EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1|)＝EQ\F(2,2\r(2)×\r(5))＝EQ\F(\r(10),10)．∴AB1與ED1所成的角的余弦值為EQ\F(\r(10),10)．18．（本小題滿分12分）在正方體中，如圖Ｅ、Ｆ分別是，ＣＤ的中點，（1）求證：平面ADE；（2）cos．解：建立如圖所示的直角坐標系，（1）不妨設正方體的棱長為1，則D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1）， E（1，1，），F（0，，0）， 則＝（0，，－1），＝（1，0，0）， ＝（0，1，），則＝0， ＝0，，. 平面ADE.（２）（1，1，1），C（0，1，0），故＝（1，0，1），＝（－1，－，－）， ＝－1＋0－＝－，，，則cos.19．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側棱底面ABCD， ，E是PC的中點，作交PB于點F.（1）證明平面；（2）證明平面EFD．解：解：如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點.設(1)證明：連結AC，AC交BD于G.連結EG. 依題意得 底面ABCD是正方形，是此正方形的中心， 故點G的坐標為且 .這表明. 而平面EDB且平面EDB，平面EDB。(2)證明：依題意得。又故 ,由已知，且所以平面EFD.20．（本小題滿分12分）如圖，四邊形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝．（1）求SC與平面ASD所成的角余弦；（2）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦．解：（1）（2）21．（本小題滿分12分）如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,點E在PD上，且PE:ED=2:1.（1）證明PA⊥平面ABCD；（2）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的大?。?）證明因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.（2）解作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，連結EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的平面角.又PE:ED=2:1，所以從而22．（本小題滿分14分）P是平面A