【知識要點】一、函數值域的定義函數值的集合叫做函數的值域.二、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采用什么方法求函數的值域，都要考慮定義域，函數的問題必須遵循“定義域優先”的原則.三、常見函數的值域1、一次函數的值域為.2、二次函數，當時的值域為，時的值域為.3、反比例函數的值域為.4、指數函數的值域為.5、對數函數的值域為.6、冪函數的值域為，冪函數的值域為.7、正弦函數、余弦函數的值域為，正切函數的值域為.四、求函數的值域常用的方法求函數的值域常用的方法有觀察法、分離常數法、配方法、反函數法、換元法、判別式法、基本不等式法、單調性法、數形結合法、導數法、絕對值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三數（函數、數形結合、導數）”和“三不（基本不等式、絕對值不等式、柯西不等式）”.五、函數的值域一定要用集合或區間來表示.六、函數的值域、取值范圍和函數的最值實際上是同一范疇的問題，所以求函數值域的方法適用于求函數的最值和取值范圍等.【方法講評】方法六判別式法使用情景形如的函數.解題步驟一般先將函數化成二次方程，再利用判別式來求函數的值域.【例1】求函數的值域.【點評】（1）分子、分母中含有二次項的函數類型，此函數經過變形后可以化為的形式，再利用判別式加以判斷.（2）函數經過變形后可以化為的形式后，要注意對是否為零進行分類討論，因為它不一定是一元二次方程.（3）判別式法解出值域后一定要將端點值（本題是）代回方程檢驗，把不滿足題意的舍去.【反饋檢測1】求函數的值域.方法七基本不等式法使用情景一般變量是正數，變量的和或積是定值.解題步驟一般先進行配湊，再利用基本不等式求函數的最值，從而得到函數的值域.【例2】已知，求函數的最小值.【解析】.=當且僅當，即時，上式等號成立.因為在定義域內，所以最小值為.【點評】（1）本題不能直接使用基本不等式，本題在利用基本不等式前，要對函數化簡，要用到分離函數的方法對函數進行化簡，再使用基本不等式.（2）很多函數在使用基本不等式之前都要進行化簡和配湊，所以要注意觀察函數的結構,再進行變形，再使用基本不等式.(3)利用基本不等式求最值時，要注意“一正二定三相等”，三個條件缺一不可.學科.網【例3】已知，求函數的最大值.【點評】（1）基本不等式有二元基本不等式(和三元不等式.（2）基本不等式不僅適用于一般函數，也適用三角函數和其它所有函數，只要滿足條件，就可以利用“一正二定三相等”來分析解答.【反饋檢測2】已知，，且，則的最小值為.【反饋檢測3】【2022浙江，17】已知αR，函數在區間[1，4]上的最大值是5，則的取值范圍是___________．方法八單調性法使用情景函數的單調性容易判斷.解題步驟先判斷函數的單調性，再利用函數的單調性得到函數的值域.【例4】求函數的值域.【點評】（1）本題先利用復合函數的單調性確定了函數的單調區間，從而得到函數的最大值和最小值，得到函數的值域.（2）判定函數的單調性常用的有定義法、圖像法、復合函數分析法和導數法,注意靈活使用.【例5】求函數的值域.【解析】令，則在上都是增函數，所以在上是增函數當時，當時，故所求函數的值域為。【點評】（1）如果能確定函數的單調性時，可以使用函數的單調性求函數的值域.（2）本題中利用了這樣一個性質：增（減）函數+增（減）函數=增（減）函數.（3）本題，都是增函數，利用到了復合函數的單調性,所以要對函數單調性的判定方法比較熟練，才能做到游刃有余.【反饋檢測4】求函數的值域.方法九數形結合法使用情景函數有明顯的幾何意義.解題步驟先找到“數”對應的“形”，再利用數形結合分析解答.【例6】求函數的值域.【點評】(1)畫函數的圖像，要先化簡解析式，再畫出函數的圖像.(2)本題也可以利用重要的絕對值不等式得到函數的最值，，所以函數的最小值為5.（3）對于絕對值函數，一般利用零點討論法把函數化成分段函數，再作圖.【例7】如果函數定義在區間上，求的最小值.圖1如圖2所示，若頂點橫坐標在區間上時，有，即.當時，函數取得最小值.圖2如圖3所示，若頂點橫坐標在區間右側時，有，即.當時，函數取得最小值圖3綜上討論，【點評】二次函數在閉區間上的最值問題，是一種較典型的問題.如果對稱軸和區間的位置關系不能確定，常利用分類討論和數形結合分析解答.【例8】求函數的值域.因為直線和圓相切，所以所以函數的值域為【點評】（1）對于某些具有明顯幾何意義的函數，我們可以利用數形結合的方法求該函數的值域.先找到函數對應的形態特征，再求該函數的值域.（2）由于對應著兩點之間的斜率（差之比對應直線的斜率），所以本題可以利用斜率分析解答.【例9】設是上的偶函數，對任意，都有且當時，內關于的方程恰有3個不同的實數根，則的取值范圍是（）A．（1，2） B． C．D．

若在區間內關于的方程恰有3個不同的實數解所以恰有3個不同的實數解.

則解得：＜a＜2.故選D【點評】(1)本題涉及到函數的奇偶性、周期性和零點問題，利用數形結合再好不過了.所以要先根據已知條件作出函數的圖像，再作出函數的圖像，數形結合分析解答.(2)對于函數的問題，大家要比較敏感，隨時想到利用函數的圖像來分析.【例10】點為拋物線：上一動點，定點，則與到軸的距離之和的最小值為（）.10C【解析】如圖所示，焦點過點作垂直于準線交軸與點，到軸的距離,當三點共線時，取最小值，,所以與到軸的距離之和的最小值.【點評】圓錐曲線中，涉及到焦半徑時，要想到圓錐曲線的定義，把問題轉化，優化解題.【例11】已知x，y滿足約束條件(1)求目標函數的最大值和最小值；(2)若目標函數取得最大值的最優解有無窮多個，求的值；(3)求的取值范圍．【解析】(1)作出不等式組表示的可行域如圖：作直線：，并平行移動使它過可行域內的點，此時有最大值；過可行域內的點，此時有最小值，解，得．解，得．解，得．∴，.(2)一般情況下，當取得最大值時，直線所經過的點都是唯一的，但若直線平行于邊界直線，即直線平行于直線時，線段上的任意一點均使取得最大值，此時滿足條件的點即最優解，有無數個．又，∴.【點評】線性規劃的問題，就是數形結合研究問題的典型.線性規劃解答問題的一般步驟是（1）根據題意，設出變量；（2）列出線性約束條件；（3）確定線性目標函數；（4）畫出可行域（即各約束條件所示區域的公共區域）；（5）利用線性目標函數作平行直線系；（6）觀察圖形，找到直線在可行域上使取得欲求最值的位置，以確定最優解，給出答案.【反饋檢測5】若點的坐標為（3，2），為拋物線的焦點，點是拋物線上的一動點，則取得最小值時，點的坐標是.AVCB【例12】如圖，圓錐的底面直徑，母線長，點在母線上，且，有一只螞蟻沿圓錐的側面從點到達點，則這只螞蟻爬行的最短距離是（）AVCBA．B．C． D．【點評】（1）由于螞蟻在沿著曲面爬行，所以螞蟻走過的路線時曲線，要直接求，比較困難，怎么辦？我們這時可以把曲面展開，變成平面，再利用解三角形的知識來分析解答，問題迎刃而解.（2）本題利用了轉化化歸的思想，把空間的問題化成平面的問題，問題迎刃而解.【反饋檢測6】如圖，圓錐的底面圓直徑為2，母線長為4，若小蟲從點開始繞著圓錐表面爬行一圈到的中點，則小蟲爬行的最短距離為______．方法十導數法使用情景函數的結構比較復雜，利用導數可以方便地求出函數的單調性.解題步驟先利用導數求出函數的單調性，再根據函數的單調性得到函數的值域.【例12】已知函數，（1）當時，求函數在處的切線方程；（2）求在區間上的最小值．【解析】（1）當時，又故切線的斜率為所以切線方程為：即（2）函數的定義域為當x變化時，的變化情況如下表：－0＋單調遞減極小值單調遞增【點評】對于結構較復雜或高次的函數，一般利用導數法來研究函數的值域.先利用導數研究函數的單調性，再利用該函數的單調性畫出函數的草圖分析函數的值域.【例13】兩縣城和相距20，現計劃在兩縣城外以為直徑的半圓弧上選擇一點建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關，對城和城的總影響度為城與城的影響度之和，記點到城的距離為，建在處的垃圾處理廠對城和城的總影響度為,統計調查表明：垃圾處理廠對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比，比例系數為4；對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比，比例系數為k,當垃圾處理廠建在的中點時，對城和城的總影響度為.（1）將表示成的函數；（11）討論（1）中函數的單調性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城和城的總影響度最小？若存在，求出該點到城的距離;若不存在，說明理由.【解析】（1）如圖,由題意知,,其中當時，,所以.所以表示成的函數為【點評】對于應用題，先要建立函數的模型，通過函數的模型，把一個實際問題轉化成一個數學問題，再利用導數來研究函數的最值，最后再回到實際問題中去.【反饋檢測7】已知函數，求函數在上的最大值．

高中數學常見題型解法歸納及反饋檢測第03講：函數值域（最值）的常見求法（2）（判別式法、基本不等式法、單調性法、數形結合法和導數法）參考答案【反饋檢測1答案】【反饋檢測2答案】【反饋檢測2詳細解析】【反饋檢測3答案】【反饋檢測3詳細解析】，分類討論：①當時，，函數的最大值，舍去；②當時，，此時命題成立；③當時，，則：或，解得：或綜上可得，