第03講異面直線所成的角（核心考點講與練）

Q方法技巧求異面

直線所成的角的三步曲

;即依據定義作平行線，作出異面直線所成的角?

：即證明服出的角是異面直線所應的角.....'：

異面直線所成角的概念及辨析

一、單選題

1.（2021.上海師范大學第二附屬中學高二期中）已知異面直線人所成角為80。，P為空間一定點，則過

尸點且與6所成角都是50。的直線有且僅有（）條.

A.2B.3C.4D.6

2.（2021?上海市延安中學高二期中）已知正方體A8CO-4BCQ,P為CG中點，對于下列兩個命題：（1）

過點P有且只有一條直線與直線A8,4。都相交；（2）過點P有且只有一條直線與直線AB,AR都成45。

角.則以下判斷正確的是（）

（1）為真命題；（2）為真命題B.（1）為真命題；（2）為假命題

C.（1）為假命題；（2）為真命題D.（1）為假命題；（2）為假命題

二、填空題

3.（2021?上海?位育中學高二階段練習）空間中三條直線“、氏c兩兩垂直，若直線d與直線。、b、c所成角

都為。，則8S”4.（2021.上海奉賢區致遠高級中學高二階段練習）已知直線”.如果直線6同時

滿足條件：①。與b異面；②。與6成定角；③。與b的距離為定值.那么這樣的直線b有..條.

5.（2021.上海奉賢區致遠高級中學高二階段練習）若兩異面直線。、6所成的角為60、過空間內一點P作

與直線。、b所成角均是60的直線/,則所作直線/的條數為.

證明異面直線垂直

一、單選題

1.（2017?上海交大附中高二期中）如圖，點E為正方形ABCD邊CD上異于點C,D的動點，將AADE沿

AE翻折成ASAE,使得平面SAEL平面ABCE,則下列說法中正確的有（）

D￡_____c

[7

//①存在點E使得直線SA_L平面

1f

B.4B

SBC；

②平面SBC內存在直線與SA平行

③平面ABCE內存在直線與平面SAE平行；

④存在點E使得SE1BA.

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題

2.（2022?上海長寧?高二期末）如圖是一個邊長為2的正方體的平面展開圖,在這個正方體中，則下列說法

中正確的序號是___________.

①直線"與直線C7V垂直；

F

②直線BM與直線CN相交；③直線ME與直線CN平行；

④直線A3與直線CN異面；

a向尾，求異面直線所成的角

1.（2022?上海?復旦附中高二期中）如圖所示，在三棱錐O-ABC中，AC=BD=2,E、/分別為AD與3C

的中點，EF=0，則異面直線AC與8。所成角的大小是

2.（2021?上海市徐匯中學高二期中）如圖,?是平行四邊形ABCD所在平面

外一點，分別是A及PC的中點，若MN=BC=2,PA=26則異面直線P4與MN所成角的大小為

（2021?上海市進才中學高二階段練習）在正方體上，a,人是兩條異面直線的面對角

線，則它們所成的角大小可能為

4.（2021?上海市南洋模范中學高二階段練習）正方體的面對角線中，與AQ所成角為60。的

有條■

5.（2021?上海?華東師范大學松江實驗高級中學高二階段練習）在正方體ABC。-ABCR中，與AR成&）

角的面對角線的條數是

6.（2021?上海師范大學第二附屬中學高二期末）空間內有三條直線，其中任意兩條都不相交但相互垂直,

若直線/與這三條直線所成的角的大小都是6,則tan8=

7.（2021?上海市建平中學高二期中）已知圓錐的軸截面P4B是等邊三角形，C為底面弧A3的中點，D為

母線總的中點，則異面直線R4和CO所成角的大小為

三、解答題

8.（2021.上海浦東新?高二期中）在三棱錐P-AfiC中，M,N分別是24,8c的中點，已知AC=PB=2,

MN=6,求異面直線AC,PB所成角的大小.

p

考向%>由異面直線所成的角求其他量

一、填空題

ir

1.（2021?上海市控江中學高二期中）異面直線〃、b所成角為直線c與〃、6垂直且分別交于A、B,點

C、。分別在直線a、b上，若AC=1,AB=2,80=3,則8=.

2.（2021.上海市洋涇中學高二期中）已知異面直線。力所成角為?，過空間一點P有且僅有2條直線與

所成角都是0,則。的取值范圍是.

3.（2021?上海市建平中學高二階段練習）在空間四邊形ABC。中，AB=CD=8,M、N分別是對角線AC

、3。的中點，若異面直線A3、8所成角的大小為30°,則的長為.

；AA/4.（2021?上海市行知中學高二階段練習）已知四面體A3CO中，AB=CD=4,E、F

TT

分別為5C、AD的中點，且異面直線AB與CD所成的角為則防=.

5.（2019?上海市嘉定區第二中學高二期中）空間四邊形AB=CD=S,區MP分別為BD、AC、8c的

中點，若異面直線AB和CQ所成的角為60。，則線段的長為.

6.（2021?上海?華師大二附中高二開學考試）如圖，空間四邊形A3C。的對角線AC=8￡>=8,M、N分別為

AB、CC的中點，且則MN等于

7.（2021?上海市徐匯中學高二期中）空間四邊形兩對角線的長分別為6和8,所成的

角為60。，連接各邊中點所得四邊形的面積是.

8.（2021.上海市寶山中學高二階段練習）若兩條異面直線所成的角為6（）',則稱這對異面直線為“黃金異面

直線對“，在連接正方體各頂點的所有直線中，”黃金異面直線對''共有時.

二、解答題

9.（2021?上海師范大學附屬外國語中學高二階段練習）已知四棱錐P-ABCZ）,底面ABC。為正方形，邊長

為3,POJ_平面A2CD

⑴若PC=5,求四棱錐P-ABC。的體積;

（2）若直線4。與BP的夾角為60。，求P。的長.

10.（2020?上海交大附中高二期中）如圖，圓錐的頂點是S,底面中心為。，OC是與底面直徑A8垂直的

一條半徑，O是母線SC的中點.

（1）求證：8c與&4不可能垂直;

（2）設圓錐的高為4,異面直線AD與8c所成角的余弦值為也，求圓錐的體積.

6

鞏固提升

一、單選題

1.（2021?上海市延安中學高二期中）如圖，已知正方體4BCO-A4GR中，尸為線段8G的中點，E為線

段AG上的動點，則下列四個結論正確的是（）

A.存在點E,使E尸〃

B.存在點E,使EFJ_平面A4G。

C.EF與AO,所成的角不可能等于60°

D.三棱錐4-ACE的體積隨動點E變化而變化

2.（2021.?高二階段練習）如圖，在正方體ABC。-44G。中，過點4作平面A3。的垂線，垂足為點H，

給出以下命題：①〃是AABD的垂心；②47垂直于平面CBQ；③AH的延長線過點G；④直線A”和叫

所成角的大小為45。，其中正確的命題個數為（）

C.3D.4

81y----------------&

3.（2021?上海市松江二中高二期中）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其內部）以AB

邊所在直線為旋轉軸旋轉120。得到的，G是。廠的中點，設P是CE上的一點，且則4G與BP所

成角的大小為（）

A.45°B.15°C.30°D.0°

4.（2021.上海市市西中學高二期中）如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，①8M與EO平行；②CN

與BE是異面直線；③CN與BM成60。；④0M與BN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是（）

CAf

A.①②③B.②④C.③④D.②③④

EA\

二、填空題

5.（2021?上海交大附中閔行分校高二階段練習）如圖甲，將三棱錐P-A8C沿三條側棱剪開后，展開成如

圖乙所示的形狀，其中點P/,4%共線，點B,B,尸2共線，點P2,C,P3共線，且P/PkP2P3,則在如

圖甲所示的三棱錐P-ABC中，%與8c所成角的大小為.

A

pPl

B6.（2021.上海外國語大學閔行外國語中學

P2

乙

高二期中）如圖已知4是△58所在平面外一點，AD=BC,反尸分別是A3、CD的中點，若異面直線AD

1T

與BC所成角的大小為?，則AO與所所成角的大小為.

7.（2021?上海交大附中高二期中）在長方體ABCC-4￡CQ中,

AA]=AD=1,他=2,則直線AC與A。所成的角的余弦值等于

8.（2021?上海師范大學第二附屬中學高二期中）在四面體ABC。中，AB=8,CD=6,M、N分別是BC、

A。的中點，且MN=5,則AB與C￡）所成角的大小是.

9.（2022?上海?復旦附中高二期中）在長方體ABCO-ABC2中，AB=1,A￡>=2,M=4,E、F分別為

線段BC、CG上的點，且CE=1,CF=\.

（1）求證：EF〃平面A。。/；

（2）求異面直線EF與所成角的余弦值.

10.（2021.上海市洋涇中學高二階段練習）已知邊長為1的正方形A8CZ）繞8c邊旋轉一周得到圓柱體.

（1）求該圓柱體的表面積;

7T

（2）正方形A8CD繞BC邊逆時針旋轉,至A8CR,求證：A.DLAC.

11.（2021.上海市南洋模范中學高二期中）在長方體ABCD-ASGR中，AB=BC=2,過A、G、8三點

的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCO-AGQ,且這個幾何體的體積為10.

（2）若AC的中點為01,求異面直線與AR所成角的余弦值.

12.（2021?上海大學附屬南翔高級中學高二期中）如圖，在正方體中，E,尸分別為AA和

CG的中點.

（1）畫出由A,E,F確定的平面夕截正

方體所得的截面，（保留作圖痕跡，使用鉛筆作圖）；（2）求異面直線）'和AC所成角的大小.

13.（2021?上海浦東新.高二期中）在長方體ABC。-ABC2中（如圖），AB=2,AO=M=1,點E是棱

AB的中點.

(1)求異面直線AR與EC所成角的大小:

(2)《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉腌，試問四面體。COE是否為鱉膈？并說明

理由.

14.(2021?上海市行知中學高二階段練習)如圖，三棱柱48C-A旦G中，A-8C端是底面邊長為2的正三

棱錐.

(1)求證：ACJ.CG；

求三棱錐8-4CG的體積.

15.(2021?上海市奉賢區奉城高級中學高二期中)如圖所示，在長方體A8CO-ABGR中，AB=\,BC=2,

CC,=5,M為棱CG上一點.

3

(1)若G"=；,求異面直線AM和所成角的正切值;

(2)若GM=1.試證明：平面4聲加.

16.(2021?上海市進才中學高二期中)如圖，在三棱柱ABC-A8G中，側面ACG4_L底面ABC,BC1AC.

(1)求證:OG〃平面ABC；

A

(2)求證：平面ABC，平面ACGA.

(3)若A8=28C,求異面直線AB與8c所成角的大小.

第03講異面直線所成的角（核心考點講與練）

Q方法技巧

求異面直線所成的角的三步曲

QB）。!即依據定義作平行線，作出異面直線所成的角；

［即證明疝值的篇是異面直線所以的篇'：

一、單選題

1.（2021?上海師范大學第二附屬中學高二期中）已知異面直線“、b所成角為80。，P為空間一定點，則過

P點且與。、。所成角都是50。的直線有且僅有（）條.

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【分析】在空間取點P,經過點P分別作a〃"力〃"，分析直線PM滿足它的射影在"為’所成角的平

分線上時的情況可得出答案.

【詳解】在空間取一點P,經過點P分別作a//a',b//b',

設直線a',。'確定平面a,

當直線PM滿足它的射影PQ在a'M所成角的平分線上時，尸”與。'所成的角等于「“與匕,所成的角,

因為直線a、b所成角為80。，得所成銳角為80。，

所以當直線PM的射影PQ在乩加所成銳角的平分線上時，PM與所成角的范圍是［40。,90。）,

這種情況下，過P點有2條直線與a、b所成角都是50。；

當直線的射影P。在”,〃所成鈍角的平分線上時，尸河與必〃所成角的范圍是［5（）。,90。），

這種情況下，過P點有且僅有1條直線（即PMua時）與a、b所成角都是50。；

綜上所述，過P點且與。、〃所成角都是50。的直線有3條.

2.（2021?上海市延安中學高二期中）已知正方體ABCO-A/C。，尸為CG中點，對于下列兩個命題：⑴

過點P有且只有一條直線與直線A8,4。都相交；（2）過點P有且只有一條直線與直線AB,4。都成45。

角.則以下判斷正確的是（）

（1）為真命題；（2）為真命題B.（1）為真命題；（2）為假命題

C.（1）為假命題；（2）為真命題D.（1）為假命題；（2）為假命題

【答案】B

【分析】作出過戶與兩直線相交的直線所判斷①；通過平移直線AB,A2,結合異面直線所成角的概念

判斷②.

【詳解】解：直.線與AA是兩條互相垂直的異面直線，點尸不在這兩異面直線中的任何一條上，如圖

所示:

取的中點。，則PQ//AR,且PQ=AQ，設A。與A3交于E,則點A、？、Q、E、P共面,

直線即必與AA相交于某點尸，則過戶點有且只有一條直線E尸與AB、A烏都相交，故①為真命題;

分別平移A8,AR，使A8與AP均經過P，則有兩條互相垂直的直線尸M，PN與A8,AR，都成45。角,

故②為假命題.

①為真命題，②為假命題.

二、填空題

3.（2021?上海?位育中學高二階段練習）空間中三條直線a、b、c兩兩垂直，若直線d與直線a、b、c所成角

都為e,貝！jcose=

【答案】2

3

【分析】因三直線兩兩垂直，可以認為三直線就是正方體ABC。-A耳6。中同一頂點。的三條棱94,DC,

DDt,由此能夠求出cos。.

【詳解】因三直線兩兩垂直，可以認為三直線就是正方體ABCD-AB|GA中同一頂點。的三條棱D4,DC,

DD、,如圖：

直線d與這三條直線所成的角都為凡

:.0=NADB[=4B、DD\=ZCDB,,

從而cose=*=半.故答案為：立.

DB、33

DC

4.（2021?上海奉賢區致遠高級中學高二階段練習）已知直線如果直線6同

時滿足條件：①。與b異面；②。與6成定角；③。與b的距離為定值.那么這樣的直線b有條.

【答案】無數

【分析】作出兩個平行平面，兩條異面直線分別在兩個平面上判斷.

【詳解】如圖所示：

a!//3,aca,bcp,異面,

則平面夕內任意一條與〃平行的宜線都滿足要求，

故答案為：無數

5.（2021?上海奉賢區致遠高級中學高二階段練習）若兩異面直線。、匕所成的角為60,過空間內一點P作

與直線。、6所成角均是60的直線/,則所作直線/的條數為.

【答案】3

【分析】利用異面宜線所成的角的概念，平移兩宜線“、b,可知當/為120的角平分線符合題意，把60的

角平分線旋轉可得符合題意的兩條直線，即可求解.

如圖，將立線。平移與直線6相交于點P,

因為直線。、b所成的角為60。,則其補角為120,

當宜線/過點P且為其補角120二的角平分線時，宜線/與“、b所成角均是60,

設60。的角平分線為J把。繞點P旋轉，且在旋轉的過程中保持與。、b所成角均是。，

上下旋轉各能得到一個位置，使得與。、b所成角均是601

所以共有3條直線符合題意，

故答案為：3.

康可言＞證明異面直線垂直

一、單選題

1.（2017?上海交大附中高二期中）如圖，點E為正方形ABCD邊CD上異于點C,D的動點，將AADE沿

AE翻折成ASAE,使得平面SAE,平面ABCE,則下列說法中正確的有（）

①存在點E使得直線SAL平面

SBC；

②平面SBC內存在直線與SA平行

③平面ABCE內存在直線與平面SAE平行；

④存在點E使得SE1BA.

A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】A

【分析】本題考查空間中的折疊問題，涉及線面垂直，面面垂直，線面平行，線線平行垂直的判定與性質,

屬綜合性題目，難度中上.

【詳解】對于命題①,若直線SAL平面SBC,則SA1BC,

又?平面SAEX平面ABCE,

故在平面ABCE中作BH1AE與H,

則BHJ_平面SAE,

ABHISA,

又?.,BHCIBC=H,BH、BCu平面ABCE.

，SA_L平面ABCE,

，SAJ_AE,即NSAE是直角，

但是/SAE即折疊之前的NDAE,在折疊前后保持不變，始終是銳角，

所以命題①不正確；

若SELBC,同樣由于BHJL平面SAE,可得BH1SE,

進而同上得到SE_L平而ABCE,得到NSEA為宜角，

ZSEA即為折疊之前的NDEA,在折疊過程中保持不變，始終是銳角,

命題④錯誤；

對于命題②，因為平面SBCI直線S4=S,

故平面SBC內的直線與弘相交或異面，

所以命題②不正確；

對于命題③,在平面ABCE中作CF〃AE,交AB于F,

S

如圖所示：C

由線面平行的判定定理可得CF〃平面SAE,

所以命題③正確，

綜上，正確的命題個數為I個，

故選A.

考點：1、線面垂直的判定定理；2、線面平行的判定；

考點：平面與平面垂直的性質

二、填空題

2.（2022?上海長寧?高二期末）如圖是一個邊長為2的正方體的平面展開圖，在這個正方體中，則下列說法

中正確的序號是.

②直線BM與直線CN相交；

③直線ME與直線CN平行；

④直線A3與直線CN異面；

【答案】①④

【分析】畫出正方體，CN//BE,AF±BE,故AFLCN,①正確，根據相交推出矛盾得到②錯誤，根

據CN//BE,8E與ME相交得到③錯誤，排除共面的情況得到④正確，得到答案.

【詳解】如圖所示的正方體中，CN//BE,AFYBE,故A尸，CN,①正確；

若宜線與百線CN相交，則四點大面，即3在平面CMN內，不成立，②錯誤；

CN//BE,BE與ME相交，故直線ME與直線CN不平行，③錯誤；

AB//MN,MN與CN不平行,故A3與CN不平行，若A3與CN相交，則48,C,N四點共面，N在平面43c

內，不成立，故直線A8勺直線CN異面，④正確；

故答案為：①④.

1.（2022?上海?復旦附中高二期中）如圖所示，在三棱錐O—ABC中，AC=BD=2,E、尸分別為AO與BC

的中點，EF=6,則異面直線4c與80所成角的大小是.

D

B

【分析】取A8的中點〃，分別連接ME,ME,把異面直線AC與8。所成的角即為直線ME與"尸所成的角,

在AMEF中，根據屈爐+加尸;后產，即可求解.

【詳解】如圖所示，取A8的中點M,分別連接ME,“下，

因為E、尸分別為AO與BC的中點，

可得ME//82MfV/AC,且ME=JBO=1,MF=；AC=1,

所以異面直線AC與8。所成的角即為宜線ME與所成的角，

在戶中，因為ME=1,MF=1,EF=&,所以ME?+ML=E尸,

■JT

所以尸，即直線與所成的角為萬，

ITTT

所以異面直線AC與8。所成的角1?.故答案為：y.

2.（2021?上海市徐匯中學高二期中）如圖，P是平行四邊形ABC。所在平

面外一點，用,可分別是4民尸（7的中點，若初7=8。=2,24=26，則異面直線24與削所成角的大小為

【分析】連接AC,取AC的中點G,連接MG,NG,根據例,N分別是AB,PC的中點，得到A/G〃BC,NG〃幺,

則NMNG是異面直線PA與MN所成的角，然后利用余弦定理求解.

【詳解】

如圖所示：

N

連接AC,取AC的中點G,連接MG,NG,

又因為分別是A8.PC的中點，

所以MG//BC,NG!IPA,

所以4WG是異面直線R4與MN所成的角，

因為MN=BC=2,PA=26,所以MG=l,NG=6,

22+⑼

則cosNMNGMN2+NG2-MG2

2-MN-NG2-2.V3-2

因為NAWGe（0,§,

所以NMNG=：,

6

故答案為：7

o

3.（2021?上海市進才中學高二階段練習）在正方體上，“，〃是兩條異面直線的面對角線，則它們所成的角

大小可能為___________

【答案】90或60

【分析】通過求異面宜線4A與B、C和異面直線AD,與AG所成角即可.

【詳解】解：正方體的面對角線成異面直線的，分平行的面和相交的面兩類

如圖找兩對代表進行計算：

1.異面直線AR與36,其所成的角即為直線A。與A。所成的角，90;

2.異面直線4R與AG，其所成的角即為直線A0與4c所成的角，60.

故答案為:90或60.

面對角線中，與AR所成角為60。的有條.

【答案】8

【分析】根據AA"C，AAD國,VA^BC,,是等邊三角形判斷.

A\

【詳解】如圖所示：

AB

因為AAC>C，AA。片是等邊三角形，

所以AC,RC,D島ABJJAD,所成角為60。，

又VABG，A￡）BG是等邊三角形，

所以AG,A民￡?G,08LJBC1所成角為60°,

因為AD、HBC、,

所以AG，A及。G，與AR所成角為60°,

所以與所成角為60。的面對交線有8條，

故答案為：8

5.（2021.上海.華東師范大學松江實驗高級中學高二階段練習）在正方體A8C0-ABCR中，與AR成60

角的面對角線的條數是

【答案】4

【分析】分別連接結合正方體的結構特征和異面直線所成角的定義，即可求解.

【詳解】如圖所示，連接D向,可得D,為等邊三角形,

所以ZD4B1=NA￡>4=60,所以人穌已與與所成的角為&T,

連接3DCQ,可得BD"BRCD〃ABi，則3DCQ與所成的角為60,

綜上可得，與A。成60角的面對角線的條數為4條.

故答案為:

6.（2021?上海師范大學第二附屬中學高二期末）空間內有三條直線，其中任意兩條都不相交但相互垂直，

若直線/與這三條直線所成的角的大小都是6,貝ljtan6=.

【答案】夜

【分析】在空間任取一點。，分別作三條直線的平行線。4，OB,OC,構造一個正方體，則直線/即直線

。。與。4、OB、OC所成的角相等均為6,由此即可求出tan?.

【詳解】解：在空間任取一點。，

分別作三條直線的平行線04，OB,OC,

構造一個正方體如右圖所示，

則直線/即直線0。與。4、OB、OC所成的角相等均為，，

即0=ZCOD,設正方體的棱長為1,則CD=g，

則tane=tanNCOD=0=夜.

OC

故答案為：應.

7.（2021?上海市建平中學高二期中）已知圓錐的軸截面RW是等邊三角形，C

為底面弧A8的中點,D為母線尸B的中點，則異面直線PA和C￡）所成角的大小為

【答案I:

【分析】如下圖所示，連接OP,OC,過點力作底面于H,連接CH,根據中位線定理得OZJ//R4,

所以N8C（或其補角）就是異面宜線R4和CO所成的角，設R4=PB=Z1B=2,解三角形可求得答案.

【詳解】如下圖所示，連接OP，OC,過點Q作。〃_L底面于H,連接CH,

因為O為母線的中點，所以。＞〃%，所以NODC（或其補角）就是異面直線必和8所成的角,

設%=P3=AB=2,則PO=道,。〃=走,0"=，,所以CH=d0C、0lP=旦，

222

所以DC=加斤+5==&,又OD=OC=l,所以滿足0。2+0。2,

TT1T

所以N8c=1所以異面直線必和8所成角為「

8.（2021?上海浦東新?高二期中）在三棱錐P-A3C中，M,N分別是B4,BC的中點，已知AC=P3=2,

MN=&求異面直線AC,PB所成角的大小.

【答案】60°

【分析】取中點Q,連接Q",QN,可得QMHBP,QN//AC,從而可得NMQV就是異面直線AC,

心所成的角或其補角，從而可的答案.

【詳解】解：取A8中點Q,連接。“，QN,

。是A8中點，N是8C中點，=>QN//AC,QN=；AC=1,

同理，=>QM//BP,QM=gpB=l,

所以

在△MQN中，QM=QN=1,MN=6,

i2+12_//o\2I

cos/MQN=——。；；'）=--=>/MQN=120°,

???異面直線AC,總所成的角的大小為60。.

。（銬?向里J由異面直線所成的角求其他量

QB

一、填空題

1.（2021?上海市控江中學高二期中）異面直線。、人所成角為直線c與八6垂直且分別交于A、B,點

C、。分別在直線a、b上，若AC=1,AB=2,30=3,則CD=.【答案】JTT或后

【分析】過8作8E//AC且過。作OE_L8E于E,連接BE、CE,要注意E、C在A8的同側或異側兩種情況,

TT

結合已知有=再過C作于凡求出。瓜EC的長度，在&△OEC中應用勾股定理求CD.

【詳解】由題意，過B作8E//AC且過。作/）EJ_8E于E,連接8E、CE,如下示意圖，

.??由題設知：面ABEC為直角梯形且

ZDBE=-,

3

o/o3

過C作CF_LBE于F,plijCF=AB=2,BD=3,可得DE=王，BE=一,

22

如圖I,易得EF=；，則EC=J^~,

在R/AOEC中，CD=yjDE2+EC2=VH-

如圖2,易得EF=",則EC="，

在RtuDEC中，CD=yjDE2+EC2=JF7-

故答案為：拒或拒

2.（2021?上海市洋涇中學高二期中）已知異面直線凡。所成角為（，過空間一點P有且僅有2條宜線與。力

所成角都是0,則6的取值范圍是.

【答案】

【分析】將直線。力平移交于點P，并作NaW及其外角的角平分線：根據過空間一點P有且僅有2條直線

與〃力所成角都是。，可知4方向上有兩條，4方向上不存在，由此可得范圍.

【詳解】將直線％平移交于點尸，設平移后的直線為。'力',

過點P作Na'Pb’及其外角的角平分線則Na'Pb'

在4方向，要使過空間一點P的直線，且與所成角都是。的直線有兩條，則e>￡：

6

在4方向，要使過空間一點P的直線，且與匕所成角都是。的直線不存在，則。<與；

綜上所述：

故答案為:

3.（2021?上海市建平中學高二階段練習）在空間四邊形A3CD中，AB=CD=8,M、N分別是對角線AC

、80的中點，若異面直線AB、C￡）所成角的大小為3伊，則MN的長為.

【答案］732±16N/3

【分析】取3c的中點尸，連接NRMP,利用三角形中位線定理可得NP〃CDMP〃A3,由異面直線所成

角的定義，異面直線A8,CD所成的角即為NMPN或其補角，在△M/W中，利用余弦定理求解即可

【詳解】解：取BC的中點P,連接NP,MP,

因為AB=CO=8,"、N分別是對角線4C、30的中點，

所以N尸〃C￡>.MP〃AB，NP=-CD=4,MP=-AB=4,

22

所以，異面直線A3,CD所成的角即為NMPN或其補角，

因為異面直線A3、CO所成角的大小為30°,

所以NMPN=30。或150。，當/用PN=30。時，在△MPN中，由余弦定理可得

MN=>lNP-+MP--2NP-MPCOS30°=42-2x4x4x^-=,32-166力ZMPN=150。時,在△MPN

中，由余弦定理可得

MN=yjNP2+MP2-2NP-MPcos150°=^42+42+2x4x4x^-=532+16>/5綜上，MN的長為432+16^3，

故答案為：）32土16&

（2021?上海市行知中學高二階段練習）已知四面體ABC。中，AB=CD=4,

且異面直線A8與CO所成的角為（，則EF=

【答案】2或2石

【分析】取AC中點例，先通過平行關系分析異面直線A8與CD所成的角為N￡MF或其補角，然后通過分

類討論結合角度以及長度、余弦定理求解出EF的長度.

【詳解】取AC中點/，連接因為E,F分別為的中點，

所以ME〃A8,ME=1A8=2,MF//CD,MF=-CD=2,

22

所以異面直線A8與CD所成的角即為NEA2或其補角，

TT

當異面直線AB與8所成的角為N￡M尸時，ZEMF=且ME=MF=2,所以AM防為等邊三角形，所

以EF=2；

當異面直線43勺CO所成的角為NEMF的補角時?，

ZEMF=-y,&.ME=MF=2,所以EF?=+加尸2一2例尸?M￡cosN￡A/F,

miU￡F=^22+22-2x2x2xcos^=2x/3,

綜上可知，所長為2或26，

故答案為：2或2G.

05.（2019?上海市嘉定區第二中學高二期中）空間四邊形ABC。，AB=CL>=8,M、N、P

分別為B。、AC、BC的中點，若異面直線AB和CD所成的角為60。，則線段MN的長為.

【答案】4或4g

【分析】先根據異面直線A8和C"成60。的角，則NMPN=60。或120。，然后利用余弦定理求出MN的長即

可.

【詳解】解：???45=8=8,M、N、P分別為3。、AC、BC的中點，連接MN,MP,NP

：.NP=MP=4,NP//AB,MP!/CD,所以NMPN為異面直線AB和CO所成的角或補角，

因為異面直線A8和CD成60°的角，.?.ZMPN=60°或120°

當NMPN=60。時，MN=4

22

當ZMPN=120°時，MN=PN+PM-2PN-PMCOSZMPN=443

故答案為：4或4G

6.（2021.上海?華師大二附中高二開學考試）如圖，空間四邊形ABC。的對角線4c=BD=8,M、N分別為

AB.CD的中點，且AC_LBE>,則MN等于

【答案】4拒

【分析】取BC中點凡連接MP,NP,由中位線的性質及ACJ_BD,利用直角二角形求解.

【詳解】取8c中點P,連接M尸，NP,

又因為AC=8,8。=8,M,N分別為48,CD的中點,

所以PA7〃AC,PM=-AC=4,

2

PN//BD,PN=LBD=4.

2

又因為異面直線AC與8。所成的角為90。，

所以NMPN=90。，

所以MN?=PM、PN2=42+42=32,

所以MV=4后.

故答案為：4近

7.（2021?上海市徐匯中學高二期中）空間四邊形兩對角線的長分別為6和8,所成的角為60。，連接各邊中

點所得四邊形的面積是.

【答案】6石

【分析】空間四邊形A-BCD中，分別取AB、BC、CD、D4的中點E、F、G、H,連接E尸、FG、GH、

〃￡，則連接各邊中點所得四邊形的面積是$則彩￡皿=23?，由此能求出結果.

【詳解】如圖，空間四邊形A-3CD中，

兩對角線的長AC、BO的長分別為6和8,所成的角為60。，

分別取AB、BC、CD、D4的中點E、F、G、H,連接EF、FG、GH、HE,

則EF//GH//AC.且EF=GH=；AC=3,

EH//GF//BD,且E”=GF=；8￡>=4,

NHEF=60°或ZHEF=120°,

???連接各邊中點所得四邊形的面積是:

=2x］；x3x4xsinNHEF

S四邊形EFC"=2ScFEH=65/3.

故答案為：6>/3.

（2021?上海市寶山中學高二階段練習）若兩條異面直線所成的角為60"則稱這對

異面直線為“黃金異面直線對“，在連接正方體各頂點的所有直線中，“黃金異面直線對''共有對.

【答案】24

【分析】由異面直線的定義和正方體的對稱性，以AC為例，與之構成黃金異面直線的直線有4條，從而計

算得到答案.

【詳解】正方體如圖所示，若要出現所成角為60,的異面直線，則直線需為面對角線，

以AC為例，與之構成黃金異面直線對的直線有AB,BC,A'D,BC'這4條,

而正方體的面對角線有12條，

所以所求的黃金異面直線對共有等=24對（每--對被計算兩次，所以要除以2）,故答案為：24.

【點睛】本題主要考查異面直線及其所成的角，考查學生分析轉化問題的能力，屬于

基礎題.

二、解答題

9.（2021?上海師范大學附屬外國語中學高二階段練習）已知四棱錐尸-ABCD,底面ABC。為正方形，邊長

為3,P￡>_L平面ABCD

⑴若PC=5,求四棱錐尸-A3CD的體積;

（2）若直線與BP的夾角為60。，求的長.

【答案】（1）12（2）3亞

【分析】（1）由錐體體積求四棱錐P-ABCD的體積；（2）由直線A。與8P的夾角為60。可得NP8C=60,由此

可求尸8,再解三角形求PZ）的長.

（1）；平面A8CO,8u平面A88,

.??點尸到平面48CQ的距離為PD,PDLCD,

：PC=5,CD=3、

二PD=4,

底面ABCO為正方形，邊長為3,

二底面A8CO的面積為9,

，四棱錐尸-48CO的體積V=；x9x4=12,

(2)VAD//BC,

二直線AC與8P的夾角的平面角為NP8C,：直線A。與BP的夾角為60。，

二NPBC=60；設PO=x,則PC=的+f，PB={￡+18，

在中，PC=>/977>PB