17/172018北京清華附中初二（上）期中數學（平行班）一、選擇題（每題3分，共24分）1.下列四個圖案中，不是軸對稱圖案的是（）A.B.C.D.2.下列運算正確的是（）A.（2a2）3＝6a6B.2a2+4a2＝6a4C.a3?a2＝a5D.（a+2b）2＝a2+4b23.如圖，在3×3的正方形網格中有四個格點A，B，C，D，以其中一個點為原點，網格線所在直線為坐標軸，建立平面直角坐標系，使其余三個點中存在兩個點關于一條坐標軸對稱，則原點可能是（）A.點AB.點BC.點CD.點D4.如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交AC，BC于點D，E．若△ABC的周長為22，BE＝4，則△ABD的周長為（）A.14B.18C.20D.265.下列式子從左到右變形是因式分解的是（）A.12xy2＝3xy?4yB.（x+1）（x+2）＝x2﹣2x﹣3C.x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1D.x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）6.用一條長為16cm的細繩圍成一個等腰三角形，若其中有一邊的長為4cm，則該等腰三角形的腰長為（）A.4cmB.6cmC.4cm或6cmD.4cm或8cm7.若a+b＝3，則a2﹣b2+6b的值為（）A.3B.6C.9D.128.已知如圖：△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，則∠EDF＝（）A.2∠AB.90°﹣2∠AC.90°﹣∠AD.90°﹣∠A二.填空題侮題3分共24分9.計算（﹣3a2b）3的結果是_____．10.在邊長為1的正方形網格中，如圖所示，△ABC中，AB＝AC，若點A的坐標為（0，﹣2），點B的坐標為（1，1），則點C的坐標為_____．11.若關于x的二次三項式x2+（m+1）x+9能用完全平方公式進行因式分解，則m的值為_____．12.如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分線交于O點，過點O作BC的平行線交AB于M點，交AC于N點，則△AMN的周長為_____．13.如果（2x+m）（x﹣5）展開后的結果中不含x的一次項，那么m＝_____．14.如圖，若∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，則∠DEF等于_____．15.設x﹣＝1，則x2+＝_____．16.如圖，∠AOB＝30°，點P為∠AOB內一點，OP＝8．點M、N分別在OA、OB上，則△PMN周長的最小值為_____．三、解答題（共52分）17.計算：（1）（x4y+6x3y2﹣x2y3）÷3x2y（2）（x+2）（x﹣2）﹣（x+）2（3）（x+2y﹣3）（x+2y+3）18.因式分解：（1）x2﹣5x﹣6（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）（3）y2﹣x2+6x﹣9（4）（a2+4b2）2﹣16a2b219.如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，點E分別是BC，AC上一點，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度數．20.已知x+y＝8，xy＝12，求：①x2y+xy2；②x2﹣xy+y2；③x﹣y的值．21.已知x2+x﹣1＝0，求2x3﹣x2﹣5x+7的值．22.如圖，已知：E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，連接CD，且交OE于點F．（1）求證：OE是CD的垂直平分線．（2）若∠AOB＝60°，請你探究OE，EF之間有什么數量關系？并證明你的結論．23.如圖，CN是等邊△ABC的外角∠ACM內部的一條射線，點A關于CN的對稱點為D，連接AD，BD，CD，其中AD，BD分別交射線CN于點E，P．（1）依題意補全圖形；（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示線段PB，PC與PE之間的數量關系，并證明．24.閱讀以下材料：利用整式的乘法知識，我們可以證明以下有趣的結論：“將兩個有理數的平方和與另兩個有理數的平方和相乘，得到的乘積仍然可以表示成兩個有理數的平方和”設a，b，c，d為有理數，則（a2+b2）（c2+d2）＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2＝（a2c2+2abcd+b2d2）+（a2d2﹣2abcd+b2c2）＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2請你解決以下問題（1）填空：（a2+b2）（c2+d2）＝（ac﹣bd）2+（）2（2）根據閱讀材料，130＝13×10＝（22+32）（12+32）＝（2×1+3×3）2+（2×3﹣3×1）2＝112+32仿照這個過程將650寫成兩個正整數的平方和（3）將20182018表示成兩個正整數的平方和（直接寫出一種答案即可）．四、附加題（1-3每小題3分，第4題5分，第5題6分共20分25.若實數x，y滿足（x2+y2）（x2+y2﹣4）＝5，則x2+y2＝．26.等腰三角形兩腰上的高所在直線相交所成的銳角為80°，則頂角的度數為．27.（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）（28+1）+1＝．28.已知在△ABC中，三邊長a，b，c滿足等式a2﹣21b2﹣c2+4ab+10bc＝0，請你探究a，b，c之間滿足的等量關系，并說明理由．29.在等邊△ABC外側作直線AP，點B關于直線AP的對稱點為D，連結BD，CD，其中CD交直線AP與點E．（1）如圖1，若∠PAB＝30°，則∠ACE＝；（2）如圖2，若60°＜∠PAB＜120°，請補全圖形，判斷由線段AB，CE，ED可以構成一個含有多少度角的三角形，并說明理由．

參考答案一、選擇題（每題3分，共24分）1.【答案】B【解析】【分析】根據軸對稱的概念求解.【詳解】A項，是軸對稱圖形，B項，不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，C項，是軸對稱圖形，D項，是軸對稱圖形，故答案選B.【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的概念，解本題的關鍵在于尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后重合.2.【答案】C【解析】【分析】直接利用積的乘方運算法則以及同底數冪的乘法運算法則和完全平方公式分別化簡得出答案．【詳解】A、（2a2）3＝8a6，故此選項錯誤；B、2a2+4a2＝6a2，故此選項錯誤；C、a3?a2＝a5，故此選項正確；D、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故此選項錯誤；故選：C．【點睛】此題主要考查了積的乘方運算以及同底數冪的乘法運算和完全平方公式，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．3.【答案】D【解析】【分析】直接利用已知網格結合三個點中存在兩個點關于一條坐標軸對稱，可得出原點位置．【詳解】如圖所示：原點可能是D點．故選D．【點睛】此題主要考查了關于坐標軸對稱點的性質，正確建立坐標系是解題關鍵．4.【答案】A【解析】【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到DB＝DC，BC＝2BE＝8，根據三角形的周長公式計算即可．【詳解】∵DE是BC的垂直平分線，∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，∵△ABC的周長為22，∴AB+BC+AC＝22，∴AB+AC＝14，∴△ABD的周長＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14，故選：A．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．5.【答案】D【解析】【分析】根據因式分解的定義：就是把整式變形成整式的積的形式，即可作出判斷．【詳解】A選項：不是因式分解，故是錯誤的；B選項：結果不是乘積形式，故是錯誤的；C選項：結果不是乘積形式，故是錯誤的；D選項：乘積形式，故是正解的；故選D.【點睛】考查了因式分解的定義，因式分解是整式的變形，變形前后都是整式，并且結果是積的形式．6.【答案】B【解析】試題分析：分已知邊4cm是腰長和底邊兩種情況討論求解．4cm是腰長時，底邊為16-4×2=8，∵4+4=8，∴4cm、4cm、8cm不能組成三角形；4cm是底邊時，腰長為×（16-4）=6cm，4cm、6cm、6cm能夠組成三角形；綜上所述，它的腰長為6cm．故選：B．考點:1.等腰三角形的性質；2.三角形三邊關系.7.【答案】C【解析】∵a+b=3，∴a2-b2+6b=(a+b)(a-b)+6b=3(a-b)+6b=3a-3b+6b=3a+3b=3(a+b)=9，故選C.8.【答案】D【解析】【分析】由題中條件可得△BDE≌△CFD，即∠BDE＝∠CFD，∠EDF可由180°與∠BDE、∠CDF的差表示，進而求解即可．【詳解】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵BD＝CF，BE＝CD∴△BDE≌△CFD，∴∠BDE＝∠CFD，∠EDF＝180°﹣（∠BDE+∠CDF）＝180°﹣（∠CFD+∠CDF）＝180°﹣（180°﹣∠C）＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°．∴∠A+2∠EDF＝180°，∴∠EDF＝90°﹣∠A．故選：D．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形的內角和定理及全等三角形的判定及性質問題，能夠熟練掌握是解題關鍵．二.填空題侮題3分共24分9.【答案】﹣27a6b3【解析】【分析】根據積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘；冪的乘方，底數不變指數相乘，求解即可．【詳解】（﹣3a2b）3，＝（﹣3）3×（a2）3×b3，＝﹣27×a6×b3，＝﹣27a6b3．故答案為：﹣27a6b3．【點睛】本題主要考查積的乘方的性質，冪的乘方的性質，熟練掌握運算方法是解題的關鍵．10.【答案】(3，-1).【解析】分析：根據圖形和點A、B的坐標畫出符合題意的坐標系，根據所畫坐標系結合已知條件即可求得點C的坐標.詳解：如下圖，由點A、B的坐標分別為（0，-2），（1，1），建立如圖所示的坐標系，由圖可得：點C的坐標為（3，-1）.故答案為：（3，-1）.點睛：“根據點A、B的坐標分別為（0，-2），（1，1），建立如圖所示的坐標系”是正確解答本題的關鍵.11.【答案】或．【解析】【分析】根據完全平方公式，第一個數為x，第二個數為3，中間應加上或減去這兩個數積的兩倍．【詳解】依題意，得

(m+1)x=±2×3x，

解得(m+1)=±6．所以m=5或－7.

故答案為：或．【點睛】考查了公式法分解因式，熟練掌握完全平方公式的結構特點(第一個數為x，第二個數為3，中間應加上或減去這兩個數積的兩倍)是解題的關鍵．12.【答案】10【解析】∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∵MN//BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，∴∠ABO=∠MOB，∠ACO=∠NOC，∴MO=MB，ON=NC，∴AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN=AB+AC=4+6=10，故答案為：10.13.【答案】10【解析】(2x+m)(x?5)=2x2?10x+mx?5m=2x2+(m?10)x?5m，∵結果中不含有x的一次項，∴m?10=0，即m=10.故答案為：10點睛：本題考查了多項式乘以多項式法則，解一元一次方程的應用，等得出關于m的方程是解決此題的關鍵.應用法則時注意：相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數應等于原多項式的項數之積.14.【答案】60°【解析】試題解析：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，∴∠BCA=∠A=15°，∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，∴∠BCD=180°-（∠CBD+∠BDC）=180°-60°=120°，∴∠ECD=∠CED=180°-∠BCD-∠BCA=180°-120°-15°=45°，∴∠CDE=180°-（∠ECD+∠CED）=180°-90°=90°，∴∠EDF=∠EFD=180°-∠CDE-∠BDC=180°-90°-30°=60°，∴∠DEF=180°-（∠EDF+∠EFD）=180°-120°=60°．點睛：三角形的內角和是180度．求角的度數常常要用到“三角形的內角和是180°這一隱含的條件．15.【答案】3【解析】【分析】把x2+配方，根據x﹣＝1，可以求得x2+的值，本題得以解決．【詳解】∵x﹣＝1，∴x2+＝(x﹣)2+2＝12+2＝1+2＝3，故答案為：3．【點睛】本題考查完全平方式，解題的關鍵是可以將所求式子與已知式子建立關系．16.【答案】8【解析】【分析】分別作點P關于OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1P2交OA于M，交OB于N，△PMN的周長＝P1P2，然后證明△OP1P2是等邊三角形，即可求解．【詳解】分別作點P關于OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1P2交OA于M，交OB于N．連接OP，則OP1＝OP＝OP2，∠P1OA＝∠POA，∠POB＝∠P2OB，MP＝P1M，PN＝P2N，則△PMN的周長的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴△OP1P2是等邊三角形．△PMN的周長＝P1P2，∴P1P2＝OP1＝OP2＝OP＝8．故答案為：8．【點睛】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，正確作出輔助線，證明△OP1P2是等邊三角形是關鍵．三、解答題（共52分）17.【答案】（1）x2+2xy﹣y2；（2）﹣6﹣；（3）x2+4xy+4y2﹣9．【解析】【分析】（1）原式利用多項式除以單項式法則計算即可求出值；（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化簡，去括號合并即可得到結果；（3）原式利用平方差公式及完全平方公式化簡即可求出值．【詳解】解：（1）原式＝x2+2xy﹣y2；（2）原式＝x2﹣4﹣x2﹣2﹣＝﹣6﹣；（3）原式＝（x+2y）2﹣9＝x2+4xy+4y2﹣9．【點睛】此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．18.【答案】（1）（x﹣6）（x+1）；（2）（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）；（3）（y+x﹣3）（y﹣x+3）；（4）（a+2b）2（a﹣2b）2．【解析】【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；（2）直接提取公因式（x﹣y），進而利用平方差公式分解因式即可；（3）直接將后三項分組進而利用公式法分解因式即可；（4）直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式得出答案．【詳解】解：（1）x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）；（3）y2﹣x2+6x﹣9＝y2﹣（x2﹣6x+9）＝y2﹣（x﹣3）2＝（y+x﹣3）（y﹣x+3）；（4）（a2+4b2）2﹣16a2b2＝（a2+4b2+4ab）（a2+4b2﹣4ab）＝（a+2b）2（a﹣2b）2．【點睛】此題主要考查了公式法以及分組分解法和十字相乘法分解因式，正確應用公式是解題關鍵，因式分解要分解到每個因式都不能再分解為止.19.【答案】∠DEC=115°．【解析】【分析】根據等腰三角形的性質和三角形的內角和得到∠C=50°，進而得到∠BAC=80°，由∠BAD=55°，得到∠DAE=25°，由DE⊥AD，進而求出結論．【詳解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=50°，∴∠C=50°，∴∠BAC=180°﹣50°﹣50°=80°，∵∠BAD=55°，∴∠DAE=25°，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=115°．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，垂直定義，熟練應用等腰三角形的性質是解題的關鍵．20.【答案】①96；②28；③±4.【解析】【分析】①原式提取公因式，將已知等式代入計算即可求出值；②原式利用完全平方公式變形后，將各自的值代入計算即可求出值；③原式利用完全平方公式變形后，將各自的值代入計算即可求出值．【詳解】解：①∵x+y＝8，xy＝12，∴原式＝xy（x+y）＝96；②∵x+y＝8，xy＝12，∴原式＝（x+y）2﹣3xy＝64﹣36＝28；③（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝64﹣48＝16，∴x﹣y＝±4．【點睛】此題考查了因式分解﹣提公因式法，完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．21.【答案】4.【解析】【分析】在x2+x﹣1＝0的兩邊同時乘以2x，得到2x3﹣2x＝﹣2x2，然后將其整體代入所求的代數式進行解答．【詳解】解：由x2+x﹣1＝0得到：2x3+2x2﹣2x＝0，x2+x＝1，∴2x3﹣2x＝﹣2x2，∴2x3﹣x2﹣5x+7＝2x3﹣2x﹣3x﹣x2+7＝﹣2x2﹣3x﹣x2+7＝﹣3（x2+x）+7＝﹣3×1+7＝4．即2x3﹣x2﹣5x+7＝4．【點睛】本題考查了整體代入法求代數式的值，等式的性質及單項式與多項式的乘法運算，難度不大，難點在于對已知等式進行變形處理．22.【答案】（1）證明崢解析；（2）OE=4EF.【解析】試題分析：（1）先證△ODE≌△OCE，得出△DOC是等腰三角形，再根據等腰三角形三線合一得出OE是CD的垂直平分線；（2）分別求出∠AOE=30°，∠EDF=30°，根據直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半求解.解：(1)∵E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE=CE，又∵OE=OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD=OC，∴△DOC是等腰三角形，又∵OE是∠AOB的平分線，∴OE是CD的垂直平分線；(2)∵OE是∠AOB的平分線,∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=30°，∵ED⊥OA，CD⊥OE，∴OE=2DE,∠ODF=∠OED=60°，∴∠EDF=30°，∴DE=2EF，∴OE=4EF.23.【答案】（1）圖形見解析（2）∠BDC=60°-α（3）PB=PC+2PE【解析】試題分析：（1）按題意補全圖形即可；（2）由點A與點D關于CN對稱可得CA=CD，再由∠ACN=α得到∠ACD=2α，由等邊△ABC可推得∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+2α，從而可得；（3）PB=PC+2PE．在PB上截取PF使PF=PC，連接CF，通過推導可證明△BFC≌△DPC，再利用全等三角形的對應邊相等即可得.試題解析：（1）如圖所示；（2）∵點A與點D關于CN對稱，∴CN是AD的垂直平分線，∴CA=CD，∵，∴∠ACD=2，∵等邊△ABC，∴CA=CB=CD，∠ACB=60°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+，∴∠BDC=∠DBC=（180°∠BCD）=60°；（3）結論：PB=PC+2PE．本題證法不唯一，如：在PB上截取PF使PF=PC，連接CF．∵CA=CD，∠ACD=∴∠CDA=∠CAD=90°．∵∠BDC=60°，∴∠PDE=∠CDA∠BDC=30°∴PD=2PE．∵∠CPF=∠DPE=90°∠PDE=60°．∴△CPF是等邊三角形．∴∠CPF=∠CFP=60°．∴∠BFC=∠DPC=120°．∴在△BFC和△DPC中，，∴△BFC≌△DPC．∴BF=PD=2PE．∴PB=PF+BF=PC+2PE．24.【答案】（1）ad+bc；（2）650＝112+232；（3）20182018＝43132+12572．【解析】【分析】（1）根據材料可得結論；（2）（3）根據（2）中材料的形式多次計算可得結論．【詳解】解：（1）設a，b，c，d為有理數，則（a2+b2）（c2+d2）＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2＝（a2c2﹣2abcd+b2d2）+（a2d2+2abcd+b2c2）＝（ac﹣bd）2+（ad+bc）2故答案為：ad+bc；（2）650＝65×10＝（64+1）（1+9）＝（82+12）（12+32）＝（8×1+1×3）2+（8×3﹣1×1）2＝112+232；（3）20282018＝2018×10001＝（432+132）（1002+12）＝（43×100+1×13）2+（43×1﹣13×100）2＝43132+12572．【點睛】本題考查多項式乘以多項式和完全平方公式的計算，解答本題的關鍵是明確題意，找出題目中的式子的規律，寫出相應的結論并進行驗證．四、附加題（1-3每小題3分，第4題5分，第5題6分共20分25.【答案】5【解析】【分析】設x2+y2＝z，則原方程左邊變為：z（z﹣4）＝5，解方程可得z的值即可．【詳解】解：設x2+y2＝z，則原方程左邊變為：z（z﹣4）＝5，整理得，z2﹣4z﹣5＝0，∴（z﹣5）（z+1）＝0，解得z＝5或z＝﹣1，∵x2+y2＝z≥0，∴x2+y2＝5，故答案為5．【點睛】本題主要考查了換元法解一元二次方程，即把某個式子看作一個整體，用一個字母去代替它，實行等量替換．26.【答案】100°或80°．【解析】【分析】分兩種情形畫出圖形分別求解即可解決問題．【詳解】解：①如圖，當∠BAC是鈍角時，由題意：AB＝AC，∠AEH＝∠ADH＝90°，∠EHD＝80°，∴∠BAC＝∠EAD＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°．②當∠A是銳角時，由題意：AB＝AC，∠CDA＝∠BEA＝90°，∠CHE＝80°，∴∠DHE＝100°，∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°，故答案為100°或80°．【點睛】本題考查等腰三角形的性質，四邊形內角和定理等知識，解題的關鍵是用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．27.【答案】9×216-8【解析】【分析】原式補上一個因式（2﹣1），利用平方差公式計算即可求出值．【詳解】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（23+1）