第三章剛體力學基礎習題課1剛體的運動——平動和轉動.

定軸轉動——整個轉軸相對參考系靜止.

線量與角量的關系:

力矩

轉動定律轉動慣量的定義式:

平行軸定理轉動慣量取決于剛體的質量、質量分布以及轉軸的位置.2轉動動能重力勢能力矩的功力矩功率:剛體定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動的功能原理若剛體機械能守恒按選定的系統,確定機械能是否守恒.3質點的角動量剛體對定軸的角動量稱為dt時間內剛體所受合外力矩的沖量矩.剛體定軸轉動的角動量定理剛體的角動量守恒定律物體系的角動量守恒：4質點直線運動和剛體的定軸轉動物理量對比位移

x速度加速度功角位移

角速度角加速度質量m轉動慣量功動能轉動動能動量角動量功率角功率5例1:求一質量為m,長為l的勻整細棒的轉動慣量.(1)轉軸通過棒的中心并與棒垂直.(2)軸通過棒的一端并與棒垂直.解:dm對轉軸的轉動慣量為:在棒上取質量元,長為dx,離軸O

為x.棒的線密度為:(1)解為:(2)解為:(原點O在棒的左端點)6例2:一質量為m,半徑為R的勻整圓盤,求通過盤中心并與盤面垂直的軸的轉動慣量.解：ordrR7掛鐘擺錘的轉動慣量

(桿長為l,質量為m1,擺錘半徑為R,質量為m2):掛在光滑釘子上的勻質圓環搖擺的轉動慣量(圓環質量為m,半徑為R):8例3:如圖,一個質量為m的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯,繩子質量可以忽視,它與定滑輪之間無滑動.假設定滑輪的質量為m0,半徑為R,其轉動慣量為m0R2/2,滑輪軸光滑.試求該物體由靜止起先下落的過程中,下落速度與時間的關系.解:由牛頓其次定律和剛體定軸轉動定律:對m:(1)對m0:(2)(3)聯立(1),(2),(3)解得:恒矢量,與時間無關.由初始條件,得9例4:一半徑為R,質量為m的勻整圓盤平放在粗糙的水平面上.若它的初始角速度為0,繞中心O旋轉,問經過多長時間圓盤才停止.(設摩擦系數為)oRdrr解：10例5:一質量為m,長為l的均質細桿,轉軸在O點,距A端l/3.今使棒從靜止起先由水平位置繞O點轉動,求:(1)水平位置的角速度和角加速度.(2)垂直位置時的角速度和角加速度.解:平行軸定理(1)轉動慣量:OBAC質心11例5:一質量為m,長為l的均質細桿,轉軸在O點,距A端l/3.今使棒從靜止起先由水平位置繞O點轉動,求:(1)水平位置的角速度和角加速度.(2)垂直位置時的角速度和角加速度.解:(2)OBAC質心12例6:

一質量為M,半徑R的圓盤,盤上繞由細繩,一端掛有質量為m的物體.問物體由靜止下落高度h時,其速度為多大？mgTMm解1:解得：由動能定理:13將地球、圓盤、物體作為一個系統.解2:機械能守恒mgTMm解得：14例7:

已知:如圖滑塊質量為m,滑輪半徑為R,轉動慣量為J,彈簧勁度系數為k,斜面角度為.不計摩擦.當彈簧無形變時將滑塊由靜止釋放.求(1)滑塊下滑x時的加速度;(2)下滑的最大距離.解:(能量微分法)以A,B,C,地球,斜面為系統,機械能守恒.對t求導:可得:A下滑x時:沿斜面建立坐標,以A的初始位置為原點.(1)設原點為勢能零點.OxRmk15得OxRmk例7:

已知:如圖滑塊質量為m,滑輪半徑為R,轉動慣量為J,彈簧勁度系數為k,斜面角度為.不計摩擦.當彈簧無形變時將滑塊由靜止釋放.求(1)滑塊下滑x時的加速度;(2)下滑的最大距離.解:(2)設滑塊由靜止釋放沿斜面下滑的最大距離為S,則以A,B,C為系統,其機械能守恒.原點為勢能零點.16例8:一質量為M,半徑為R的轉臺,可繞中心軸轉動.設質量為m的人站在臺的邊緣上.初始時人、臺都靜止.若人相對于臺沿邊緣奔跑一周,問:相對于地面而言,人和臺各轉過了多少角度?解:人和盤組成系統.人走動時系統對軸的合外力矩為0,因此系統角動量守恒.17例8:一質量為M,半徑為R的轉臺,可繞中心軸轉動.設質量為m的人站在臺的邊緣上.初始時人、臺都靜止.若人相對于臺沿邊緣奔跑一周,問:相對于地面而言,人和臺各轉過了多少角度?18例9:一半徑為R,質量為M的實心橡膠輪以角速度0繞軸轉動,另一半徑為r,質量為m的小橡膠輪靜止.現使小輪與大輪接觸.問:兩個輪子最終的角速度為多少?FF′MRmr解:

由角動量定理:留意:此題兩圓柱分別繞自身軸轉動,不滿足角動量守恒定律.19例10:已知m=20g,M=980g,v0=400m/s,繩不行伸長.求m射入M后共同的v=?分析哪些物理量守恒.m、M系統水平方向Fx=0,所以水平方向動量守恒.而豎直方向繩子的沖力不能忽視,動量不守恒.OmM解:

m、M系統,對O軸角動量守恒(外力矩和為零),有繩換為棒,狀況如何?20留意:區分兩類沖擊擺質點

定軸剛體（不能簡化為質點）olmMFyFx(2)軸作用力不能忽略,動量不守恒,但對o

軸合力矩為零,角動量守恒水平方向:Fx=0，px

守恒

mv0=(m+M)v

對o

點:,守恒mv0l=(m+M)vl(1)olmM質點質點柔繩無切向力21探討:當兩個力作用在一個有固定轉軸的剛體上下列說法正確嗎?(1)這兩個力都平行于軸作用時它們對軸的合力矩確定為零;(2)這兩個力都垂直于軸作用時它們對軸的合力矩可能為零;(4)這兩個力對軸的合力矩為零時,它們的矢量和確定為零;(3)這兩個力矢量和為零時,它們對軸的合力矩確定為零;

(正確)

(正確)

(不正確)

(不正確)22探討:一圓盤可繞垂直于盤面且通過盤心的中心軸OO’以角速度沿順時針方向轉動.(1)在同一水平直線以相反方向同時射入兩顆質量相同,速率相等的子彈,并留在盤中,盤的角速度如何變更?vvOO'答:盤的角速度減小,因為角動量L=J不變,但轉動慣量J加大了.(2)兩大小相等,方向相反但不在同始終線上的力沿盤面同時作用在盤上,盤的角速度如何變更?答:盤的角速度增大,因為轉盤受到同向的力矩.M與同方向OO'FF'23探討:如圖,已知A:m,l,質量勻整,起先時水安靜止.B:m,,A豎直時被碰,然后滑行距離S.mOABlm問:

碰后A的質心可達高度h.答:A由水平下擺至垂直,機械能守恒.以地面為零勢點A與B碰撞對O點角動量守恒:B向右滑動,依據動能定理:A向上搖擺機械能守恒:可解得:思索:幾個過程,各有何特點?24解:麥稈、甲蟲系統角動量守恒.麥稈的角速度為碰撞t時刻甲蟲沿桿爬行速度例題:25解:角動量守恒:求:小環脫離桿時環的速度大小和方向？例題:質量為m的小圓環套在一長為l質量為M的光滑勻整桿上,桿可以繞過其A端的固定軸在水平面上自由旋轉.起先時桿旋轉的角速度為0而小環位于A處,當小環受到一微小擾動后,即沿桿向外滑行.相對運動:機械能守恒:26解:桿與球的系統對軸的角動量守恒例題:桿(m,l)與球(m‘,v0)彈性碰撞,求碰撞后球和桿的速度、角速度.彈性碰撞機械能守恒解上二式l,m27例題:均質細桿長2l,以垂直于桿的速度v在瞬時與支點A碰撞.求:(1)碰撞后桿的角速度.(2)碰撞后機械能損失多少?vl/22lA解:桿對A支點的轉動慣量由角動量守恒28一.選擇題C大作業題解29CA30D合外力矩矢量和為0合外力可以不為0J不變B31C32B33A34二、填空題1．一物體作定軸轉動的運動方程為（SI），則物體在t=0時的角速度

；物體在改變轉動方向時的角加速度為

。400rad·s-18000rad·s-23520.15m·s-21.26m·s-2363．一根質量為

M，長為

l的勻質細桿，一端連接一個質量為

m的小球，細桿可繞另一端

O無摩擦地在豎直平面內轉動。現將小球從水平位置

A向下拋射，使球恰好能通過最高點C，如圖所示。則下拋初速度v0=

，在最低點

B時，細桿對球的作用力為

。填空題3圖373839407．設有一勻整圓盤形轉臺，其質量為M，半徑為R，可繞豎直中心軸轉動，初始時角速度為0。然后，有一質量也為M的人以相對園盤轉臺以恒速率u沿半徑方向從轉臺中心軸處向邊緣走去，則轉臺的角速度與時間t的函數關系為。4142三、計算題1．如圖所示，兩個勻質圓盤，一大一小，同軸地粘結在一起，構成一個組合輪，小圓盤的半徑為r，質量為m；大圓盤的半徑為r1=2r，質量m1=2m。組合輪可繞通過其中心且垂直于盤面的水平固定軸O轉動，整個組合輪對O軸的轉動慣量為J=9mr2/2。兩圓盤邊緣上分別繞有輕質細繩，細繩的下端分別懸掛質量皆為m的物體A和B，這一系統從靜止起先運動，繩與盤無相對滑動，繩的長度不變，且不計一切摩擦。已知r=10cm。求：（1）組合輪的角加速度；（2）當物體A上升h=40cm時，組合輪的角速度。計算題1圖解：（1）4