等腰三角形直角三角形存在性問題典例1,如圖二次函數y="+^+c的圖象與x軸交于點A、B兩點，且A點坐標為(一‘0),與y軸交于點「(。⑶.(1)求出這個二次函數的解析式；⑵直接寫出點B的坐標為⑶在x軸是否存在一點P使△4CT是等腰三角形若存在，求出滿足條件的P點坐標;若不存在，請說明理由；⑷在第一象限中的拋物線上是否存在一點Q,使得四邊形ABQC的面積最大若存在,請求出Q點坐標及面積的最大值；若不存在，請說明理由.答案詳解泣0)TOC\o"1-5"\h\z~^~1'—A解:(1)”/+工|「的圖象經過 ,',1?(1= \c=3 4, ,? y=-/+￡+3“.所求解析式為：二 ,g=-；/+工+3答:這個二次函數的解析式是⑵解:m。｝,故答案為：.⑶解:在和△力「中，■.AO=2OC=311。=V13, , ,，①當PE=八。時出在x軸的負半軸）,HT-房刈；②當FM="（?時（巧在x軸的正半軸），瑪（452M；③當=H「時：尸在x軸的正半軸）戶懼⑴;④當PC=p」時（P,在x軸的正半軸），在2PQC中，設PQ一則-獷，+于5解得： ，，"?。?;答:在x軸存在一點P使卡是等腰三角形，滿足條件的P點坐標是（一05期5TOC\o"1-5"\h\z或3行彳-2_II：或:W.。）或（j,.>\i .>\i .I7 ,（ru） v=—彳療+f+3⑷解:如圖，設Q點坐標為 ”,因為點Q在4 上，（匕一；/+/+3）即:Q點坐標為 ，連接OQ,S四邊形=SaACC+S+SAOBQ,1 1rt=3-不了+式一+t-3]2 4J9一4 2,,.tr<0,75「苫川電凡士他二y,（3,當TOC\o"1-5"\h\zQ點坐標為 ，,答:在第一象限中的拋物線上存在一點Q,使得四邊形ABQC的面積最大,Q點坐標lb iD1是 ，面積的最大值是 .解析：2⑴因為"="曠+]+」的圖象經過用，代入求出c、a的值,即可得到答案；⑵把片"代入求出x的值，即可得到答案；⑶在舟△,”中根據勾股定理求出ac根據等腰三角形的性質求出，①當RAE。時?凸在x軸的負半軸），'"2回⑼;②當P±A=4時例在x軸的正半軸）,℃132叫③當==小時（馬在x軸的正半軸）W④當PQ=PM時（睛產痣⑼在x軸的正半軸），1 ，即可得出答案；（；】：,"） 11=-+H+3⑷設Q點坐標為'，,〃，因為點Q在? 上，得出Q點坐標為（J"7--X1"+-R3）^ ,連接OQ,根據

，代入求出即可.S四邊形=S/\A(Kr+ +，代入求出即可.本題主要考查對用待定系數法求二次函數的解析式，等腰三角形的判定，三角形的面積，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的最值等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵.題型較好，綜合性強.練習:如圖，已知拋物線"=+"+3("#。)與x軸交于點4L。)和點以-3.0),與丫軸交于點c.(1)求拋物線的解析式；(2)設拋物線的對稱軸與x軸交于點M,問在對稱軸上是否存在點P使為等腰三角形若存在，請求出符合條件的點P的坐標;若不存在，請說明理由答案詳解答案詳解Ja+b+3=0 n=—1［勵釉+H=Cl 'h=-2解：(1)由題知：【 解得：l

（2）,「拋物線解析式為中（2）,「拋物線解析式為中J所求拋物線解析式為2r+3H=T=]二其對稱軸為」?設P點坐標為「L，。,當工=0時,“一；’,①當"=時」」）、口小-J,解得“=0「產點坐標為"②當CM=PM時,—產十如=J解得小=ivOo二F點坐標為:"】，或囹T-國）；③當CU=C時,由勾股定理得卜廠”（-1）*3- ，解得,二戶點坐標為:招（-1期5綜上所述存在符合條件的點P淇坐標為門一.1或門>可）或"7期或"L匕解析：（1）已知拋物線過A、B兩點，可將兩點的坐標代入拋物線的解析式中 ，用待定系數法即可求出二次函數的解析式；（2）可根據（1）的函數解析式得出拋物線的對稱軸 ，也就得出了M點的坐標，由于C是拋物線與y軸的交點，因此C的坐標為“）,3）,根據M、C的坐標可求出CM的距離.然后分三種情況進行討論：①當CP=FA/時,p位于cm的垂直平分線上.求p點坐標關鍵是求p的縱坐標，過p作.軸于q,如果設PM=CF-,那么直角三角形cpq中1,om的長，可根據m的坐標得出CQ=3-1，因此可根據勾股定理求出 x的值，p點的橫坐標與M的橫坐標相同，縱坐標為x,由此可得出P的坐標.②當CM-ATP時，根據cm的長即可求出p的縱坐標也就得出了p的坐標（要注意分上下兩點）.③當。A/=C時，因為c的坐標為（°，3），那么直線y=i必垂直平分pm,因此p的縱坐標是6,由此可得出p的坐標；本題主要考查了二次函數的綜合知識 ，要注意的是（2）中,不確定等腰三角形哪條邊是底邊的情況下，要分類進行求解，不要漏解.典例2,?如圖,拋捌線yN-N—1工-3與.T軸交于A,X兩點在H的左邊人與y軸交于點口.在融物線上是否存在一點P,但得ZUJDF是直角三宿再？著存在,清求出點P的坐標;若不存在,清說明理由.

?由￥=-r+V-3=-Cf~丁一：口，肉U（0T一笳、*I,（U.由3*0）.所以$=￡JD=3,HU9電標軸的夾他為小:設點口的坐標為（X,一〉+4]-3）.△H1沖是直俏三條形分三種情況忖母，Q皿圖】*當/目與?M"時./P/HJ//所以PHBH.解方程―/+*1!■—3-3—姆t-2*或T-聯與“重合.魚去L此時P（2fI）.黃如圖Z.―/PHD=g時,NPfJM75:所映⑸=IJM.■方程*=-3一—節十打一33用1=5r或h0（與D術合,舍夫L此時P⑸一&LPJJ J獷①如圖孔當/APD■婚時*八尸EHs/J甲產"il ==-.tin Jr解方整一1一爐+'1）=-―一 .整理，得二—51卜5=.斛得「=*4一3 一X+4丁 /此時P（斗⑤._"1）或｛亙聲,與D練習:如圖，在平面直角坐標系中,拋物線M="/+m+e（]于0）與寸軸相交于以，日兩如圖，在平面直角坐標系中,點，與。軸相交于點C,直線，LM+n（而/Q）經過巴C兩點，已知丹。⑼，口也可，（1）分別求直線占U和拋物線的解析式（關系式）。（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得以日，口，產三點為頂點的三角形是直角三角形若存在，請求出點戶的坐標；若不存在，請說明理由。是直角三角形若存在，請求出點答案詳解(1)在?中，因為4%比一",所以,即點”的坐標為小。將點"和點L的坐標代入直線日C的解析式得｛；?一,解得忙［即直線mu的解析式為一*將點H、點B和點C的坐標代入拋物線的解析式得任三六，解得：￡匚即拋物線的解析式為，十》。(2)存在。如圖所示，記拋物線對稱軸與直線BC'的交點為點■，由拋物線的解析式可知其對稱軸為二"，所以點，的縱坐標為"?,?;，即點?■的坐標為七,因為因為-是直角三角形，所以按點P在拋物線的對稱軸上，故設點P的坐標為*直角頂點的不同進行分類討論。因為-是直角三角形，所以按①當點C為直角頂點時，記此時的點P為?在…小中，根據勾股定理可知而—,4T-T-MiC4T-T-MiCI?以所得解②當點。為直角頂點時，記此時的點尸為.:，在3―中，根據勾股定理可知—皿\所以I":I/L,解得一。③當點尸為直角頂點時，記此時的點P為…)，在■—中，根據勾股定理可知獷3-,所以,；『…1獷…,即」H1X-U,解得，_"，或，；--0綜上所述，點p的坐標為酉或小或儲?；?。4】一可解析本題主要考查二次函數的應用。(1)根據點C'的