2021-2022學年江蘇省南通市海安市高一下學期期末數(shù)學試

題

一、單選題

1.設(shè)集合A={x|-5姿2},B={x||x+3|<3},貝ijAuB=()

A.[-5,0)B.(-6,2]C.(一6,0)D.[-5,2)

B

【分析】解出集合B,由集合的并集運算求解即可.

【詳解】解：由次+3|<3可得-3<X+3<3,解得-6<X<0,

所以B={X|-6<X<0},

所以AUB=?-5Mx42}。{x|-6<x<0}={x|-6<x42},

故選:B.

2.若(-1+i)z=3+i,則團=()

A.2及B.8C.石D.5

C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運算求出z=-2+i,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義計算即可.

【詳解】由題意知，

3+i(3+i)(-l-i),大

z=-------=---------S-------=-1-21

-1+i(-l+i)(-l-i)

所以回='(-1)2+(-2)2=石

故選：C

Q=logI3」

3.已知2,b=ln),c=e2,則”，b,c的大小關(guān)系為()

A.b>c>aB.b>a>cc.c>b>aD.c>a>b

A

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論.

a=log13<log,1=0,1

【詳解】22,"=lni>lne=l,0<c=e2<eO=l>

所以a<c<b.

故選：A.

4.已知正三棱錐的底面邊長為4,高為2,則該三棱錐的表面積是()

A.46B.6也C.8行D.126

D

【分析】畫出圖形，求出底面積和側(cè)面積，即可求出三棱錐的表面積.

【詳解】如圖，正三棱錐0-18C中，

0M=2,取5c的中點，連接/M0N,

MN=-AN

則/在/N上，且3,

又AB=4,BN=2,所以4N=5/42-2?=2百,

MN=-AN=—ON=y/OM2+MN2=—

所以33,則3,

Sf)Rr=-BCxON=—,S.JBCXAN=4百

所以'°BC23"BC2

—x3+4>/3=12V3

故三棱錐的表面積為3

故選：D

a+b\=\a-b=---忖

5.已知向量￡3滿足3II

則萬+B,萬=()

5兀2717171

A.6B.3C.3D.6

D

【分析】對：+川=|1"兩邊平方求得75=0,進而利用

15+涓且,+5）』2+萬.』2+0"列出方程，求出

8s"+""=E,結(jié)合"尻屣［°，兀］,求出答案.

【詳解】\a+b\=\a-b\t兩邊平方得：-立

—?2-?—?-+2—?2—?—?—*2—?—?

即Q+2a「b+b=a-2a?btb,所以〃?/)=(),

(a+t>ya=B+斗同cos1+5,1=^y^-|a|2cos2+5,0

而伍+5>z=/+必5=/+0=/2

宜3|方「cos酉+5,萬=|請cosa+b,a=^-

所以3門?,所以2

a

因為G+尻5e[0,7i]；所以'"6

故選：D

6.已知於)是定義域在R上的奇函數(shù)，且滿足〃r+2)=/G+2),則下列結(jié)論不正

確的是()

A./(4)=0B.y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱

C./(x+8)=?x)D.若/(-3)=—1,則/(2021)

=一1

B

【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，令x=-2,即可判斷A的正誤；根據(jù)函數(shù)的對稱性，可判

斷B的正誤：根據(jù)奇函數(shù)及對稱性，整理可判錯C的正誤；根據(jù)函數(shù)周期性，可判斷

D的正誤，即可得答案.

【詳解】對于A：因為人制是定義域在R上的奇函數(shù)，

所以"0)=。，又/(-x+2)=/(x+2),

令x=-2代入可得〃4)=/(0)=0,故A正確；

對于B：因為"T+2)=/(X+2),

所以〃x)圖象關(guān)于x=2對稱，無法確定是否關(guān)于直線x=l對稱，故B錯誤；

對于C：因為“X)為奇函數(shù)，

所以/(x+2)=f(-x+2)=-f(x-2),

所以/(x+4)=貝”(x+8)=-/(x+4)=/(x),故c正確；

對于D：由C選項可得，/(X)的周期為8,

所以/(2021)=/(253x8-3)=/(-3)=-1,故D正確；

故選：B

7.一個表面被涂上紅色的棱長為〃cm(/7>3,〃WN)的立方體，將其適當分割成棱長

為1cm的小立方體，從中任取一塊，則恰好有兩個面是紅色的概率是()

812(〃-2)6(〃-2)2(“-2)3

A.B./C./D.

B

【分析】首先確定共分割的塊數(shù)，以及滿足條件的塊數(shù)，再求概率.

【詳解】由條件可知，共有/塊，兩個面的交界處的中間部分是兩個面是紅色，每一

個交界處有〃-2塊，共有12個交界，則兩個面是紅色的有12（〃-2）塊，所以概率

「「2（丁）

故選：B

8.在中，角力,B,C所對應(yīng)的邊分別為。，b,c,若

"=8,sin8+2sinCcos/=0,則A/8C面積的最大值為（）

A.1B.3C.2D.4

C

［分析】根據(jù)sinB+2sinCeosA=0利用三角恒等變換和正余弦定理得到2b2=a2-c\

再根據(jù)余弦定理和基本不等式可得cosB的范圍，由此得8的范圍，從而得到sinS的

SARC=—cicsinB

最大值，從而根據(jù)"2可求△48C面積的最大值.

【詳解】???sinB+2sinCcosN=0,

,sin（4+C）+2sinCcos4=0

即sinAcosC+cosJsinC+2sinCcosA=0f

即sirt4cosC+3cos^sinC=0,

/+/_,2/+c2_/

a---------------+3x---------------xc=0

則2ab2bc

整理得2〃=/-/,

22

222a"-c

a+c-b1+/2

D2_a2'+3c2y/3ac_y/3

cosB=---------=------，—

laclac4ac4ac2,

當且僅當"=3c2QC=知=府時、取等號,

fJII1

..BE0,—,sin84—

1622

S,Rr=-acsirLS^—x8x—=2

則222

故選：C.

二、多選題

9.按先后順序拋三枚質(zhì)地均勻的硬幣，則（）

A.第一枚正面朝上的概率是§

B.“第一枚正面朝上”與“三枚硬幣朝上的同”是相互獨立的

C.“至少一枚正面朝上”與“三枚硬幣正面都朝上”是互斥的

D.“至少一枚正面朝上”與“三枚硬幣反面都朝上”是對立的

BD

【分析】對A,根據(jù)單獨一枚硬幣正面朝上的概率判斷即可；

對B,根據(jù)相互獨立事件公式判斷即可：

對C,根據(jù)兩事件是否能同時發(fā)生判斷即可；

對D,根據(jù)對立事件的定義判定即可；

【詳解】對A,第一枚正面朝上的概率是萬，故A錯誤；

對B,第一枚正面朝上的概率2,三枚硬幣朝上的同的概率

-1111“小1111

W=2x-x-x-=-^又尸（居）=5*/5=1因為尸（48）=P（N）尸（8）,故“第

一枚正面朝上”與“三枚硬幣朝上的同”是相互獨立的，故B正確;

對C,“至少一枚正面朝上”與“三枚硬幣正面都朝上“可能同時發(fā)生，不是互斥的，故C

錯誤；

對D,“至少一枚正面朝上”與“三枚硬幣反面都朝上”是對立的，故D正確；

故選：BD

10.下列說法正確的是（）

A.用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為5的樣本，則個

體用被抽到的概率是0.1

B.數(shù)據(jù)27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位數(shù)是23

C.一組數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的眾數(shù)大于中位數(shù)

D.甲、乙、丙三種個體按3：1：2的比例分層抽樣調(diào)查，若抽取的甲種個體數(shù)為9,

則樣本容量為18

ABD

【分析】對于A：統(tǒng)計抽樣中每個個體被抽到的概率為樣本容量與總體容

量的比值；

對于B：將8個數(shù)據(jù)按從小到大順序排列，找到第70百分位數(shù)的位置，再利用

第p百分位數(shù)的定義可得；

對于C：易知本組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)均3,則C錯誤；

對于D：根據(jù)甲種個體在樣本中的比例和被抽到的個數(shù)不難得到樣本容量.

【詳解】對于A：統(tǒng)計抽樣中每個個體被抽到的概率為樣本容量與總體容

量的比值，易知A正確；

對于B：將8個數(shù)據(jù)按從小到大順序排列12,14,15,17,19,23,27,30,第70百

分位數(shù)的位置為8'70%=5.6,則第70百分位數(shù)為第6個數(shù)23,則B正確;

對于C：本組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)均為3,所以C錯誤；

對于D：根據(jù)統(tǒng)計知識可知甲種個體在樣本中所占比例為3+1+22,所以樣

94-1=18

本容量為2,則D正確.

故選：ABD.

U己知向量Q=(sinGX,0),函數(shù)

/㈤從電則（）

PM

A.若人x）的最小正周期為乃，則人》）的圖象關(guān)于點I8J對稱

/1

B.若的圖象關(guān)于直線”一5稱，則/可能為萬

C.若/⑶在L56」上單調(diào)遞增，則I2J

D.若負x）的圖象向左平移3個單位長度后得到一個偶函數(shù)的圖象，則a）的最小值為2

BC

【分析】首先化簡函數(shù)/（X）,再根據(jù)三角函數(shù)的周期，對稱，單調(diào)性，以及圖象平移,

即可判斷選項.

+COS69X-COS2

1+COS(OX

smcox+COSCDX

l+sin69x1+coscox

sincox--------+coscox■

JyA）=SinZ.Xnix=

A.若函數(shù)的最小正周期為乃，則。=2,即'2I4J2,當“8時,

341

2x—+—=7tf(x)=—

84，此時、,2,所以函數(shù)關(guān)于8'2對稱，故A錯誤;

n7C7T7tf1?

CO-----1—=——+k兀co=-+2k

B.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線2對稱，則242kwZ,得2

keZ,所以。的可能為5,故B正確;

2萬兀、冗

------O+——N-----

542

7171,71

642

2乃兀兀27r7C47Ta)>0

XGa)x+—e------G+—,—G+一

C.當56」時,45---464」，則,解得:

3

0<69<—

2,故C正確;

717T1

718（X）=冬皿X+—+—+—

D.函數(shù)/G）的圖象向左平移§個單位長度后得到42

7T7TTV3

co~+-=-+k7r,k^Za)=-+3k

函數(shù)g(3是偶函數(shù)，則當X=°時，342，得4,keZ,

3

且。＞0,所以。的最小值是4,故D錯誤.

故選：BC

12.如圖1所示，在邊長為4的正方形N8CZ）中，E,尸分別為8C,8的中點，將

和△EFC分別沿/E,/戶及EF所在的直線折起，使8,C,。三點重合

于點P,得到三棱錐P-ZE尸如圖2所示），設(shè)M為底面4E尸內(nèi)的動點，則（）

2

B.二面角P-EF-A的余弦值為3

2&

C.直線總與EW所成的角中最小角的余弦值為3

D.三棱錐P-/EF的外接球的表面積為24兀

ACD

【分析】根據(jù)線面垂直可判斷線線垂直，故可判斷A,根據(jù)二面角的幾何求法即可求解,

根據(jù)線面角是直線與平面內(nèi)的直線所成角的的最小角即可求解C,三棱錐的外接球與

長方體的外接球相同，根據(jù)長方體的外接球半徑即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，APVPF,APLPE,PECPF=P,PE,PFu平面PEF,故

/尸，平面尸E尸，EFu平面PE尸，故故A正確；

取N為EF中點、,又AF=AE=2亞，所以/NLE尸

又PF=PE=2,故三角形PEF為等腰三角形，連接尸N,則尸NLEF,

根據(jù)二面角的定義，顯然/"N尸即為所求二面角,

PN=-EF=>/2

在三角形尸附中，2

AN=NAF^-FN2=3五,又/尸=4,

,,、，cAN2+NP2-AP21

cos乙ANP=-------------=-

故2AN-NP3,

故二面角N-EF-尸的余弦值為3,則B錯誤；

設(shè)點尸到平面4EF的距離為〃，PA與平面AEF所成的角為。,由平面尸EF,

1

x2x2x4

4

272x3723sin0=—^~

^P-AEF=匕-PEF=S“￡F〃=?所-PA,故)因此P43,因

為EMu平面AEF，故8是PA與平面AEF內(nèi)的所有直線所成的最小的角，故

cos0=V1-sin20=

3,故C正確

因為/M,PE,尸尸兩兩垂直，

故三棱錐P-/E尸的外接球半徑和長寬高分別為2,2,4的長方體的外接球半徑相等,

i+2"3

故其外接球半徑2,

故外接球表面積$=4兀叱=24幾，故D正確

故選：ACD

三、填空題

13.若數(shù)據(jù)3x/—2,3x2—2,…，3x”一2的方差為18,則數(shù)據(jù)x”為，…，制。的方差

為.

2

【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)公式，即可求解.

【詳解】設(shè)數(shù)據(jù),，到，…，，o的方差為s~,則數(shù)據(jù)3,—2,3X2—2,...?3%/。-2的

方差為9s，根據(jù)條件可知9s2=18,得『=2.

故2

14.如圖，已知菱形Z8CD的邊長為1,NDAB=60°,DE=EC,DF=2FB則

13

12

【分析】根據(jù)已知建立直角坐標系，求出相關(guān)點的坐標，再利用向量的數(shù)量積的坐標

運算公式即可求解.

【詳解】以A為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系，

DF=9=（1,一），）

設(shè)尸GM,則I22）,

=2（I,_y）

因為而=2而，所以

5G百13

AE-AF=\x—H------x-----=一

所以62612

13

故答案為.12

15.如圖是古希臘數(shù)學家希波克拉底研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，直徑分

別為直角三角形"8C的斜邊N8,直角邊8C、/C,點。在以/C為直徑的半圓

4

cos/.DAB=-

上.已知以直角邊NC、8c為直徑的兩個半圓的面積之比為3,5,則

cosZ.DAC=

4>/3+3

10

AC_

【分析】由以直角邊“C、8c為直徑的兩個半圓的面積之比為3,可得正一-，進

ZBAC=-

而可得6,從而利用兩角差的余弦公式即可求解.

【詳解】解：因為以直角邊4C、8c為直徑的兩個半圓的面積之比為3,所以

八ZBAC=-

所以在直角三角形"SC中6,

43

cosZ.DAB--sinZ.DAB=—

因為5,所以5,

所以

cosADAC=cosfNDAB--"|=cosZDABcos-+sinZDABsin-=-x—+-x-=4^3+3

I6)66525210

4G+3

故答案為.io

16.有如下解法求棱長為及的正四面體8D4/G的體積：構(gòu)造一個棱長為1的正方體

ABCD-ABGDi，我們稱之為該正四面體的”生成正方體”（如圖一），正四面體

BDAQ的體積/四面體鵬=V

ABCD-A^C^―^A^-ABD-一%-^D-A^DX一個

對棱長都相等的四面體，通常稱之為等腰四面體，已知一個等腰四面體的對棱長分別

4屈，屈（如圖二），則該四面體的體積為.

【分析】根據(jù)條件，結(jié)合“生成長方體”的特征，即可求解.

【詳解】設(shè)等腰四面體的“生成長方體”的長，寬，高，分別是a，""由條件可知，

a2+b2=5

<a2+c2=10

從+。2=13,解得：a=i力=2,C=3,

K=l-2-3---4--l-2-3=2

所以該四面體的體積32

故2

四、解答題

17.如圖，在四棱鏈中，底面/8CD為矩形，ABCD,M,N分別

為棱4B,PC的中點，求證：

(1)MN〃平面PAD.

Q)MNLCD.

(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)要證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為證明線線平行，取PD的中點E,證明四邊

形是平行四邊形；(2)根據(jù)平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明CC/IE,即證明CO,平面

PAD.

【詳解】(1)取尸。的中點及連接AE,EN.

DCnc〃EN=-CD

因為￡N分別是尸。，尸C的中點，所以EN〃CD且2,

，/*?〃-c4M=—CD

又因為加是月8中點，所以且2,

所以4M〃EN且4M=EN,

所以四邊形/MNE是平行四邊形，所以MN〃AE.

因為MN0平面尸4。，/石匚平面4。，

所以〃平面尸4)

Q因為產(chǎn)工，平面48CZ),所以「/,CZ),又CD,且尸Zc/O=N,

所以。。工平面4〃，/Eu平面尸/。，所以CO_LZE,

又因為MN〃AE,所以CO,MN.

asinS=/>sinjA+—jbsin+(~=asinB

18.在①2asm8=btan/,②13九③2這三個條

件中任選一個，補充在下面問題中，并進行解答.

問題：在A/8C中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且.

(1)求角A；

(2)若角A的平分線長為1,且6c=4,求A/BC外接圓的面積.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

71

（1）5

⑵12萬

【分析】（1）若選①：根據(jù)題意邊角轉(zhuǎn)化得：2sin/sin3cosZ=sin/sin8,再求解即

1..?G?

一sinNsinBD='-cossin5

可；若選②：根據(jù)題意邊角轉(zhuǎn)化得：22,再求解即可；若選

冗一44

bsin-----=。sin5sinBcos—=sin4sinB

③：根據(jù)題意得：2，即2，即

力AA

sin8cos—=2sin—cos—sinB

222再求解即可；（2）根據(jù)題意得：

1016卜

_bH—c=—be

+S”CD=S".c,即444，再利用余弦定理求出“，再利用正弦定理求

出外接圓半徑即可求解.

【詳解】⑴若選①：在"8C中，因2asin8=6tanZ,

._sin/

2asmB=b-------

所以cosA,即2Qsin8cosZ=bsin4,

由正弦定理可得，2sin4sin8cos4=sin力sin8,

又因為A,8w（0㈤，所以sinQO,sin5>0,

,1.7t

cosA=-A=—

所以2,則3,

asin8=bsin]?1+—|

若選②：在“8C中，因V3；,

asi?nB…=bn—si?n/lH〃-----c百os?!/

所以一22

I5/^

sin4sinB=—sin為sinB+——cosAsinB

由正弦定理可得，22,

—sinJsinB=—cos/（sin5

所以22

又因為8e（0，%）,所以sin8>0,所以tan/二百，則一3,

bsin'+'=asin8fesin—~—=asin3

若選③：在A/8C中，因為2，所以2

/A

hcos—=asin8sinSeos—=sinsin5

所以2,由正弦定理可得，2,

A.AA

n。、cos-=sinJsinJ=2sin—cos—

又因為2e（°Z）,所以sin8>0,所以2，又22,

c"=2si"c"一。、4

（0,一）cos—>0

即222,又“CO"）,所以22,所以2

sinW-L—A=-

所以澗萬一2,又因為工€（°，萬），所以5一彳，則3,

(2)因為角A的平分線為，又％伸,+S“s=S“Be,所以

；x6xxsin30"+；xcx|/必xsin30"=；xbxcxsin60"

1，,1=儲

即4」4'-4C,即(b+c)=?c=4VJ,

乂=〃+。2-2bccosA=(b+c)2-3bc=36,

2R=—=二=4百

sinAy/3

所以”=6,所以2，即氏=26，

故A/8C外接圓的面積S=7r*=12萬，

19.北京時間2022年6月5日，搭載神舟十四號載人飛船的長征二號廠遙十四運載火

箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，約577秒后，神舟十四號載人飛船與火箭成功分

離，進入預(yù)定軌道，順利將陳冬、劉洋、蔡旭哲3名航天員送入太空，順利進入天和

核心艙.為激發(fā)廣大學生努力學習科學文化知識的熱情，某校團委舉行了一場名為''學

習航天精神，致航空英雄”的航天航空科普知識競賽，滿分100分，共有100名同學參

賽，經(jīng)過評判，這100名參賽者的得分都在［40,90］之間，其得分的頻率分布直方圖如

圖所示.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名同學得分的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間

的中點值代表)；

(2)用分層抽樣的方法從得分在［60,70),［70,80),［80,90］這三組中選6名學生，再

從這6名學生中隨機選取2名作為代表參加團委座談會，求這2名學生的得分不在同

一組的概率.

(1)64.5

11

⑵15

【分析】(1)首先根據(jù)頻率和為1,求“，再根據(jù)平均數(shù)公式，即可求解；

(2)首先確定各組抽取的人數(shù)，再通過列舉的方法求古典概型的概率.

［詳解］⑴根據(jù)題意知(“+°85+°30+°°20+°01吵10=1,解得a=0.005,

所以這100名同學得分的平均數(shù)是

45x0.005x10+55x0.035x10+65x0.030x10+75x0.020x10+85x0.010x10=64.5

平均數(shù)是64.5.

（2）由條件知從［6°，7°）抽取3名，從［7°，80）中抽取2名，從即，%］抽取］名，分別記

為％,%,%，々，“，,，

因此樣本空間可記為

。=｛（?i，，）（％，%）,（?i,4）（%也）,（q，c）,Q，%），（?2，4），（?2也）,（%,。）,Q,4）,（%,&），3，。）,（4,4）,魚,°）,他

用力表示“這2名同學的得分不在同一組”，則

Z=｛（q,4）,（q,）,（?pc）,Q，幻，3也）,（七,c）,（%,4）,（%，H），（％，。），（可，c），（4，c）｝

N包含樣本點的個數(shù)為11,

尸（/）=口

所以,15

11

答：這2名同學的成績分別在［6°，7°），［80,90］各一名的概率是百

20.某產(chǎn)品在出廠前需要經(jīng)過質(zhì)檢，質(zhì)檢分為2個過程.第1個過程，將產(chǎn)品交給3

位質(zhì)檢員分別進行檢驗，若3位質(zhì)檢員檢驗結(jié)果均為合格，則產(chǎn)品不需要進行第2個

過程，可以出廠；若3位質(zhì)檢員檢驗結(jié)果均為不合格，則產(chǎn)品視為不合格產(chǎn)品，不可

以出廠；若只有1位或2位質(zhì)檢員檢驗結(jié)果為合格，則需要進行第2個過程.第2個

過程，將產(chǎn)品交給第4位和第5位質(zhì)檢員檢驗，若這2位質(zhì)檢員檢驗結(jié)果均為合格，

則可以出廠，否則視為不合格產(chǎn)品，不可以出廠.設(shè)每位質(zhì)檢員檢驗結(jié)果為合格的概

2

率均為？，且每位質(zhì)檢員的檢驗結(jié)果相互獨立.

（1）求產(chǎn)品需要進行第2個過程的概率；

（2）求產(chǎn)品不可以出廠的概率.

2

（1）3

11

⑵萬

【分析】（1）分在第1個過程中，1或2位質(zhì)檢員檢驗結(jié)果為合格兩種情況討論，根

據(jù)相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算可得；

（2）首先求出在第1個過程中，3位質(zhì)檢員檢驗結(jié)果均為不合格的概率，再求出產(chǎn)品

需要進行第2個過程，在第2個過程中，產(chǎn)品不可以出廠的概率，最后根據(jù)互斥事件

的概率公式計算可得；

【詳解】（1）解：記事件/為“產(chǎn)品需要進行第2個過程”.

在第1個過程中，1位質(zhì)檢員檢驗結(jié)果為合格的概率

2111211122

—X—X—+—X—X—+—X—X—

4=3333333339

在第1個過程中，2位質(zhì)檢員檢驗結(jié)果為合格的概率

c2212121224

23333333339,

2

P（A）=Pt+P2=-

故3.

（2）解：記事件8為“產(chǎn)品不可以出廠”.

H=-x-x-=—

在第1個過程中，3位質(zhì)檢員檢驗結(jié)果均為不合格的概率33327,

產(chǎn)品需要進行第2個過程，在第2個過程中，產(chǎn)品不可以出廠的概率

222510

2=尸（辦1—X——X—

333927

P（a）"+64

故

21.如圖，是圓。的直徑，C是圓上異于B一點、,直線PCL平面

ABC,”=PC=4,/C=2.

⑴求點C到平面PAB的距離；

（2）求二面角B-PA-C的正切值.

4炳

（1尸

后

⑵2

【分析】（1）利用垂直關(guān)系，以及等體積轉(zhuǎn)化求點到平面的距離；

（2）因為平面尸/c,再根據(jù)垂直關(guān)系，構(gòu)造二面角的平面角，即可求得二面角

的正切值.

【詳解】（1）因為PC，平面/8C,AC,8Cu平面p/c,

所以PCJ.NC,尸CJ.8C.

因為點C在以月8為直徑的圓上，所以IC，8c.

因為N8=4,/C=2,所以BC=26,

所以BP=2行,AP=2布.

因為PCJ?平面/8C,

1111Q

V=—x—xABxACxCP=—x—x2y[3x2x4=-----

所以三棱錐產(chǎn)一48C的體積32323.

在尸中，因為AB=4，BP=25，AP=2下,

由余弦定理AB2=AP2+BP2-2xAPxBPxcos乙4PB得

4

2x277x26

sinNAPB=Vl-cos2/APB=膽

因為0〈乙1尸8〈幾，所以V35

S&APB=』x/PxBPxsinZ.APB=—x2>/7x2\f5x—^=2V19

所以△NS尸的面積22V35

記點C到平面PAB的距離為h,

4757

v=~^S^xh=-h

則3PB3,解得19

⑵由（1）知，PCLBCACLBC,

又因為PC,4Cu平面「4C,PCcAC=C,所以8C_L平面P4C,

因為"u平面4G所以8c,21.

在平面PNC中，過。作8,尸"，垂足為。，

連接8。，因為

所以平面BCD,

所以N8OC即為二面角B-PA-C的平面角.

因為N8=PC=4,/C=2,

所以8C=>]AB2-AC2=2?PA=>JAC2+PC2=2后

iACPC2x4475

CZJ=------------=—產(chǎn)=-----

PA2755

tan?C=/=^=巫

CD4加2

在Rt^BCD中,5

叵

所以二面角8-7M-C的正切值為2.

f(X)=2sin—cos—+2百cos2-->/3

22.已知函數(shù)222

（1）求函數(shù)/G）的最小正周期;

.TXV€7V_____

（2）若不等式〃（x）7”歸3對任意L6'3」恒成立，求整數(shù)機的最大值；

g（x）=/■修）1

（3）若函數(shù)12人將函數(shù)&口）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的2倍

71

（縱坐標不變），再向右平移五個單位，得到函數(shù)y="（x）的圖象，若關(guān)于x的方程

1/\/\冗5萬

一〃（x）一女（sinx+cosx）=0%￡

2,在L1212」上有解，求實數(shù)％的取值范圍.

(1)27

(2)4

_7|交

⑶L

/(x)=2sinLr+1

【分析】（1）由二倍角公式及輔助角公式求得,從而可求周期;

（2）先求函數(shù)/