10/1111/11/§2.1數(shù)列的概念與簡單表示法(二)學(xué)習(xí)目標1.理解數(shù)列的幾種表示方法，能從函數(shù)的觀點研究數(shù)列；2.理解遞推公式的含義，能根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項(重、難點).預(yù)習(xí)教材P30－31完成下列問題：知識點一數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)1.數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})為定義域的函數(shù)an＝f(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值.2.在數(shù)列{an}中，若an＋1>an，則{an}是遞增數(shù)列；若an＋1<an，則{an}為遞減數(shù)列；若an＋1＝an，則{an}為常數(shù)列.【預(yù)習(xí)評價】1.從定義上看，數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此，表示數(shù)列除可以用通項公式外，還可以有哪些方法？提示還可以用列表法，圖象法.2.數(shù)列單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別和聯(lián)系是什么？提示聯(lián)系：若函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)，則數(shù)列f(n)也單調(diào).反之不正確，例如f(x)＝(x－eq\f(5,4))2，數(shù)列f(n)單調(diào)遞增，但函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上不是單調(diào)遞增.區(qū)別：二者定義不同，函數(shù)單調(diào)性的定義：函數(shù)f(x)的定義域為D，設(shè)D?I，對任意x1，x2∈I，當(dāng)x1<x2時，若f(x1)>f(x2)，則f(x)在I上單調(diào)遞減，若f(x1)<f(x2)，則f(x)在I上單調(diào)遞增，定義中的x1，x2不能用有限個數(shù)值來代替.數(shù)列單調(diào)性的定義：只需比較相鄰的an與an＋1的大小來確定單調(diào)性.知識點二數(shù)列的表示方法1.數(shù)列的遞推公式：如果數(shù)列{an}的第1項或前幾項已知，并且數(shù)列{an}的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數(shù)列的遞推公式.2.數(shù)列的表示方法：數(shù)列的表示方法有通項公式法、圖象法、列表法、遞推公式法.【預(yù)習(xí)評價】1.已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝2an＋1，則數(shù)列的第5項a5＝________，由此歸納出{an}的一個通項公式為________，可以求得a8＝________.解析∵a1＝3，∴a2＝2a1＋1＝7，a3＝2a2＋1＝15，a4＝2a3＋1＝31，a5＝2a4＋1＝63，∴a5＝63.可以看出an＝2n＋1－1，∴a8＝29－1＝511.答案63an＝2n＋1－15112.數(shù)列的通項公式與遞推公式有什么區(qū)別？提示不同點相同點通項公式要根據(jù)某項的序號，直接用代入法求出該項都可確定一個數(shù)列，都可求出數(shù)列的任何一項遞推公式可根據(jù)第1項或前幾項的值，通過一次或多次賦值逐項求出數(shù)列的項，直至求出所需的項都可確定一個數(shù)列，都可求出數(shù)列的任何一項題型一數(shù)列的函數(shù)特性【例1】已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up12(n)，試問該數(shù)列有沒有最大項？若有，求出最大項和最大項的序號；若沒有，請說明理由.解法一an＋1－an＝(n＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up12(n＋1)－(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up12(n)＝eq\f(（9－n）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n),11)，當(dāng)n＜9時，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；當(dāng)n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當(dāng)n＞9時，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.則a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…，故數(shù)列{an}有最大項，為第9項和第10項，且a9＝a10＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up12(9).法二根據(jù)題意，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an－1≤an,an≥an＋1))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n－1)≤（n＋1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n),（n＋1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n)≥（n＋2）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n＋1)))，解得9≤n≤10.又n∈N*，則n＝9或n＝10.故數(shù)列{an}有最大項，為第9項和第10項，且a9＝a10＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up12(9).規(guī)律方法1.由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以可以用研究函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，如單調(diào)性、最大值、最小值等，此時要注意數(shù)列的定義域為正整數(shù)集或其有限子集{1，2，…，n}這一條件.2.可以利用不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an－1≤an，,an≥an＋1，))找到數(shù)列的最大項；利用不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an－1≥an，,an≤an＋1，))找到數(shù)列的最小項.【訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\f(n,n2＋9)(n∈N*)，寫出其前5項，并判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性.解當(dāng)n＝1，2，3，4，5時，an依次為eq\f(1,10)，eq\f(2,13)，eq\f(1,6)，eq\f(4,25)，eq\f(5,34)，an＋1－an＝eq\f(n＋1,（n＋1）2＋9)－eq\f(n,n2＋9)＝eq\f(－n2－n＋9,[（n＋1）2＋9][n2＋9]).∵函數(shù)f(x)＝－x2－x＋9＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(37,4)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，又f(1)＝7>0，f(2)＝3>0，f(3)<0，∴當(dāng)n＝1，2時，an＋1>an，當(dāng)n≥3，n∈N*時，an＋1<an，即a1<a2<a3>a4>a5>….∴數(shù)列{an}的前3項是遞增的，從第3項往后是遞減的.方向1由遞推公式寫出數(shù)列的項【例2－1】已知數(shù)列{an}的第一項a1＝1，以后的各項由遞推公式an＋1＝eq\f(2an,an＋2)給出，試寫出這個數(shù)列的前5項.解∵a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，∴a2＝eq\f(2a1,a1＋2)＝eq\f(2,3)，a3＝eq\f(2a2,a2＋2)＝eq\f(2×\f(2,3),\f(2,3)＋2)＝eq\f(1,2)，a4＝eq\f(2a3,a3＋2)＝eq\f(2×\f(1,2),\f(1,2)＋2)＝eq\f(2,5)，a5＝eq\f(2a4,a4＋2)＝eq\f(2×\f(2,5),\f(2,5)＋2)＝eq\f(1,3).故該數(shù)列的前5項為1，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，eq\f(2,5)，eq\f(1,3).方向2由數(shù)列的遞推公式求通項公式【例2－2】已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,n（n－1）)(n≥2)，寫出該數(shù)列前5項，并歸納出它的一個通項公式.解∵a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,n（n－1）)(n≥2)，∴a2＝a1＋eq\f(1,2×1)＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，a3＝a2＋eq\f(1,3×2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,3)，a4＝a3＋eq\f(1,4×3)＝eq\f(5,3)＋eq\f(1,12)＝eq\f(7,4)，a5＝a4＋eq\f(1,5×4)＝eq\f(7,4)＋eq\f(1,20)＝eq\f(9,5).故數(shù)列的前5項分別為1，eq\f(3,2)，eq\f(5,3)，eq\f(7,4)，eq\f(9,5).由于1＝eq\f(2×1－1,1)，eq\f(3,2)＝eq\f(2×2－1,2)，eq\f(5,3)＝eq\f(2×3－1,3)，eq\f(7,4)＝eq\f(2×4－1,4)，eq\f(9,5)＝eq\f(2×5－1,5)，故數(shù)列{an}的一個通項公式為an＝eq\f(2n－1,n)＝2－eq\f(1,n).方向3構(gòu)造數(shù)列法求通項公式【例2－3】設(shè){an}是首項為1的正項數(shù)列，且(n＋1)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1an＝0(n∈N*)，則它的通項公式an＝________.解析法一(累乘法)：把(n＋1)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1an＝0分解因式，得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.∵an＞0，∴an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)，∴eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×…×eq\f(n－1,n)，∴eq\f(an,a1)＝eq\f(1,n).又∵a1＝1，∴an＝eq\f(1,n)a1＝eq\f(1,n).法二(迭代法)：同法一，得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)，∴an＋1＝eq\f(n,n＋1)an，∴an＝eq\f(n－1,n)·an－1＝eq\f(n－1,n)·eq\f(n－2,n－1)·an－2＝eq\f(n－1,n)·eq\f(n－2,n－1)·eq\f(n－3,n－2)·an－3…＝eq\f(n－1,n)·eq\f(n－2,n－1)·eq\f(n－3,n－2)·…·eq\f(1,2)a1＝eq\f(1,n)a1.又∵a1＝1，∴an＝eq\f(1,n).法三(構(gòu)造特殊數(shù)列法)：同法一，得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)，∴(n＋1)an＋1＝nan，∴數(shù)列{nan}是常數(shù)列，∴nan＝1·a1＝1，∴an＝eq\f(1,n).答案eq\f(1,n)規(guī)律方法1.由遞推公式寫出通項公式的步驟(1)先根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(至少是前3項).(2)根據(jù)寫出的前幾項，觀察歸納其特點，并把每一項統(tǒng)一形式.(3)寫出一個通項公式并證明.2.遞推公式的常見類型及通項公式的求法(1)求形如an＋1＝an＋f(n)的通項公式.將原來的遞推公式轉(zhuǎn)化為an＋1－an＝f(n)，再用累加法(逐差相加法)求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1).(2)求形如an＋1＝f(n)an的通項公式.將原遞推公式轉(zhuǎn)化為eq\f(an＋1,an)＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由eq\f(a2,a1)＝f(1)，eq\f(a3,a2)＝f(2)，…，eq\f(an,an－1)＝f(n－1)，累乘可得eq\f(an,a1)＝f(1)f(2)…f(n－1).課堂達標1.下列四個命題：①如果已知一個數(shù)列的遞推公式及其首項，那么可以寫出這個數(shù)列的任何一項；②數(shù)列eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，eq\f(5,6)，…的通項公式是an＝eq\f(n,n＋1)；③數(shù)列的圖象是一群孤立的點；④數(shù)列1，－1，1，－1，…與數(shù)列－1，1，－1，1，…是同一數(shù)列.其中真命題的個數(shù)是()A.1 B.2C.3 D.4解析只有③正確.①中，如已知an＋2＝an＋1＋an，a1＝1，無法寫出除首項外的其他項.②中an＝eq\f(n＋1,n＋2)，④中－1和1排列的順序不同，即二者不是同一數(shù)列.答案A2.數(shù)列2，4，6，8，10，…的遞推公式是()A.an＝an－1＋2(n≥2)B.an＝2an－1(n≥2)C.a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)D.a1＝2，an＝2an－1(n≥2)解析A，B中沒有說明某一項，無法遞推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合題意.答案C3.數(shù)列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝eq\f(1,xn＋1)－1，則x2017等于()A.－1 B.－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.1解析∵x1＝1，∴x2＝－eq\f(1,2)，∴x3＝1，∴數(shù)列{xn}的周期為2，∴x2017＝x1＝1.答案D4.已知數(shù)列{an}，對于任意的p，q∈N*，都有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝eq\f(1,9)，則a36＝________.解析由已知得a1＋a1＝a1＋1＝a2，∴a2＝eq\f(2,9)，同理a4＝eq\f(4,9)，a8＝eq\f(8,9)，∴a9＝a8＋1＝a8＋a1＝eq\f(8,9)＋eq\f(1,9)＝1，∴a36＝2a18＝4a9＝4.答案45.求數(shù)列{－2n2＋29n＋3}中的最大項.解由已知，得an＝－2n2＋29n＋3＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(29,4)))eq\s\up12(2)＋108eq\f(1,8).由于n∈N*，故當(dāng)n取距離eq\f(29,4)最近的正整數(shù)7時，an取得最大值108，∴數(shù)列{－2n2＋29n＋3}中的最大項為a7＝108.課堂小結(jié)1.{an}與an是不同的兩種表示，{an}表示數(shù)列a1，a2，…，an，…，是數(shù)列的一種簡記形式.而an只表示數(shù)列{an}的第n項，an與{an}是“個體”與“整體”的從屬關(guān)系.2.數(shù)列的表示方法：①圖象法；②列表法；③通項公式法；④遞推公式法.3.通項公式和遞推公式的區(qū)別：通項公式直接反映an和n之間的關(guān)系，即an是n的函數(shù)，知道任意一個具體的n值，就可以求出該項的值an；而遞推公式則是間接反映數(shù)列的式子，它是數(shù)列任意兩個(或多個)相鄰項之間的推導(dǎo)關(guān)系，不能由n直接得出an.基礎(chǔ)過關(guān)1.已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，則此數(shù)列的通項an等于()A.n2＋1B.nB.n＋1C.1－n D.3－n解析an＋1－an＝－1，利用累加法可以求得an＝3－n.選D.答案D2.已知數(shù)列{an}中的首項a1＝1，且滿足an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2n)，此數(shù)列的第3項是()A.1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(5,8)解析a1＝1，a2＝eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,2)＝1，a3＝eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2×2)＝eq\f(3,4).答案C3.數(shù)列{an}中，an＝eq\f(n－\r(2011),n－\r(2012))，則該數(shù)列前100項中的最大項與最小項分別是()A.a1，a50 B.a1，a44C.a45，a44 D.a45，a50解析an＝eq\f(n－\r(2011),n－\r(2012))＝1＋eq\f(\r(2012)－\r(2011),n－\r(2012)).∴當(dāng)n∈[1，44]且n∈N*時，{an}單調(diào)遞減，當(dāng)n∈[45，＋∞)且n∈N*時，{an}單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(2012)－\r(2011),x－\r(2012))的圖象，可知(an)max＝a45，(an)min＝a44.答案C4.數(shù)列{an}中，a1＝2，an＝an＋1－3，則14是{an}的第________項.解析a1＝2，a2＝a1＋3＝5，a3＝a2＋3＝8，a4＝a3＋3＝11，a5＝a4＋3＝14.答案55.數(shù)列{an}中，a1＝2，an＝2an－1(n∈N*，2≤n≤10)，則數(shù)列{an}的最大項為________.解析∵a1＝2，an＝2an－1，∴an≠0，∴eq\f(an,an－1)＝2>1，∴an>an－1，即{an}單調(diào)遞增，∴{an}的最大項為a10＝2a9＝4a8＝…＝29·a1＝29·2＝210＝1024.答案10246.已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝eq\f(2,3)，eq\f(1,an－2)＋eq\f(1,an)＝eq\f(2,an－1)(n∈N*，n≥3)，求a3，a4.解由a1＝1，a2＝eq\f(2,3)且eq\f(1,an－2)＋eq\f(1,an)＝eq\f(2,an－1)，知當(dāng)n＝3時，eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a3)＝eq\f(2,a2)，∴eq\f(1,a3)＝eq\f(2,a2)－eq\f(1,a1)＝3－1＝2，∴a3＝eq\f(1,2).當(dāng)n＝4時，eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a4)＝eq\f(2,a3)，∴eq\f(1,a4)＝eq\f(2,a3)－eq\f(1,a2)＝4－eq\f(3,2)＝eq\f(5,2)，∴a4＝eq\f(2,5).7.根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列的前四項，并歸納猜想它的通項公式.(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)；(2)a1＝1，an＋1＝an＋eq\f(an,n＋1)(n∈N*)；(3)a1＝－1，an＋1＝an＋eq\f(1,n（n＋1）)(n∈N*).解(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.猜想an＝(n－1)2(n∈N*).(2)a1＝1，a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(4,2)＝2，a4＝eq\f(5,2).猜想an＝eq\f(n＋1,2)(n∈N*).(3)a1＝－1，a2＝－eq\f(1,2)，a3＝－eq\f(1,3)，a4＝－eq\f(1,4).猜想an＝－eq\f(1,n)(n∈N*).能力提升8.已知數(shù)列{xn}滿足x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2)，設(shè)Sn＝x1＋x2＋…＋xn，則下列結(jié)論正確的是()A.x100＝－a，S100＝2b－aB.x100＝－b，S100＝2b－aC.x100＝－b，S100＝b－aD.x100＝－a，S100＝b－a解析x1＝a，x2＝b，x3＝x2－x1＝b－a，x4＝x3－x2＝－a，x5＝x4－x3＝－b，x6＝x5－x4＝a－b，x7＝x6－x5＝a＝x1，x8＝x7－x6＝b＝x2，∴{xn}是周期數(shù)列，周期為6，∴x100＝x4＝－a，∵x1＋x2＋…＋x6＝0，∴S100＝x1＋x2＋x3＋x4＝2b－a.答案A9.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2an，n為正奇數(shù)，,an＋1，n為正偶數(shù)，))則其前6項之和是()A.16 B.20C.33 D.120解析a1＝1，a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，∴前6項之和為33.答案C10.已知數(shù)列{an}滿足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，則a2010＝________，a2015＝________.解析依題意，得a2010＝a2×1005＝a1005＝a4×252－3＝1，a2015＝a4×504－1＝0.答案1011.在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(an,1＋an)(n∈N*)，試歸納出這個數(shù)列的通項公式an＝________.解