第17講圖形運動中函數關系的確定

解決這類問題的關鍵是動中求靜，靈活運用有關數學知識解決問題，此類題目注重對兒

何圖形運動變化能力的考查.動態幾何問題是近年來各地常見的壓軸題，它能考查學生的多

種能力，有較強的選拔功能，解決這類問題的關鍵是“以靜制動”，把動態的問題，變為靜

態問題來觀察，結合特殊三角形的相關知識解決這類問題.

模塊一：動點求函數解析式

知識精講

動點問題反映的是一種函數思想，由于某一個點或某圖形又條件地運動變化，引起未知

量與已知量間的一種變化關系，這種變化關系就是動點問題中的函數關系，這部分壓軸題主

要是在圖形運動變化的過程中探求兩個變量之間的函數關系，并根據實際情況確定自變量的

取值范圍.

例題解析

例1.已知：在心中，ZJ=90°,力廬〃。是46邊上不與/點、6點重合的任意一

個動點，PQLBC于點Q,QR1AC于點R.

(1)求證：P8BQ；

(2)設於x,gy,求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；

(3)當x為何值時，PR//BC.

例2.如圖所示，已知：在七△4?。中，/e90°,戶是邊4?上的一個動點，PQLPC.交

線段面的延長線與點Q.

(1)當小宓時，求證：BeBP；

(2)當/片30°,4后4時，設小x,B午y,求了關于x的函數解析式，并寫出定義域.

例3.如圖所示，已知：在無△力必中，Z6=90",力用6,點。是斜邊4?中點，作施上4B,

交直線4c于點必

(1)若/片30°,求線段B的長；

(2)當點￡在線段4C上時，設於x,C拄y,求y關于x的函數解析式，并寫出定

義域；

(3)若/1,求8c的長.

例4.如圖，在梯形48(力中，AD//BC,N/6C=90°,AB=BC=8,點￡在邊四上，DEL

CE,膜的延長線與"的延長線相交于點人

(1)求證：DF=CE-,

(2)當點￡為期中點時，求切的長；

(3)設,CE=x、AD=y,試用x的代數式表示y.

例5.如圖，在正方形/版中，/8=4,點￡是邊切上的任意一點(不與C、〃重合)，

將應沿力￡翻折至△"石，延長EF交邊BC于點G,聯結4G.

(1)求證：MABGalXAFG；

(2)若設DE=x,BG=y,求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍;

(3)聯結5巖AG"CF,求然的長.

例6.如圖，正方形4?(力的邊長為6,點￡夕分別在邊1。、切上，NFEB=4EBC,

EF、a1的延長線相交于點G,設/￡=x,BG=y.

(1)求y與x之間函數解析式，并寫定義域;

(2)當點尸為切中點時，求四的長.

例7.如圖所示，己知：在△48C中，華90°,/片60°,403,點〃是邊46上的動點

(點〃與點/、8不重合)，過點〃作如垂直于交射線與￡,連接點尸是劭的中

點，連接歐CF、DF.

(1)當點￡在邊4C上(點后與點，不重合)時，設Cdy.

①直接寫出y關于x的函數解析式及定義域；

②求證：△W是等邊三角形；

(2)如果叱2將，求出力。的長.

例8.如圖，已知：在△/a'中，ZCE4=90°,ZJ=30°,BC=3,〃是邊/C上的一個動點，

DELAB,垂足為瓦點廠在W上，且止毋般FP'EF,交線段46于點產，交線段"的

延長線交于點G.

(1)求證：AF^FP-,

(2)設力介*,GP=y,求y關于*的函數解析式，并寫出它的定義域;

(3)若點P到4C的距離等于線段初的長，求線段4。的長.

例9.如圖，在直角△/比中，/斤90°,/伉30°,4,。是4c邊上的一個動點(不與

/、C點重合)，過點〃作/，邊的垂線，交線段8c于點笈點尸是線段疣的中點，作力/■￡

DF,交射線居于點從交射線。于點G.

(1)求證：G2DC；

(2)設/分X,HG^y.求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域;

(3)當小,時，求CG的長.

2

模塊二：圖形運動求函數解析式

知識精講

圖形的運動考查的是變化中的不變量，通過翻折或者旋轉后的圖形特點，結合全等三角

形性質及直角三角形中的勾股定理，求邊或角的關系.

例題解析

例1.如圖，等腰梯形四四中，AgBg5,48=20,5=12,DHVAB,￡是線段如上一動

點，在線段繆上取點下使力￡=跖，設/￡=x,DF=y.

(1)當原〃相時，求4?的長；

(2)求y與x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)將△/(如沿"'所在直線翻折，點。落在平面上的〃處，當〃￡=1時，求熊

的長.

例2.如圖，已知：中，N〃B=90°,ZJ=30°,〃是邊4C上不與點/、C重合的任

意一點，DE1AB,垂足為點笈"是劭的中點.

(1)求證：C詼EM；

(2)如果叱石，設CWy,求y與x的函數解析式，并寫出函數的定義域：

(3)當點〃在線段4。上移動時，入欣蘇的大小是否發生變化?如果不變，求出"的大

??；如果發生變化，說明如何變化.

隨堂檢測

1.己知一直角三角形紙片OAB,NAOB=90°,0A=2,陟4,將該紙片放在，放置在平面直角

坐標系中，折疊該紙片，折痕與邊防交于點G與邊加交于點D.

(1)若折疊后使點6與點力重合，求點C的坐標;

（2）若折疊后點8落在邊力上的點為夕，設仍'=x,OOy,試寫出y關于x的

函數解析式，并確定y的取值范圍.

2.如圖所示，已知：在正方形4版中，點尸是射線式1上的任意一點（點8與點C除外）

聯接〃E分別過點C、4作直線分的垂線，垂足為樂F.

①點夕在6c的延長線上時，那么線段AF.C區"'之間有怎樣的數量關系?請證明你的結論；

②當點尸在邊花上時，正方形的邊長為2,設上x,44y.求y與x的函數解析式.并寫出

函數的定義域；

③在②的條件下，當產1時.求斯的長.

3.（2020?上海八年級月考）如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形AQ8C的頂點。的

坐標是（2石,6）,動點P從點A出發，沿線段A。向終點。運動，同時動點。從點3出

發，沿線段BC向終點。運動.點尸、Q的運動速度均為每秒1個單位，運動時間為

?0</<6）秒，過點尸作尸。交AB于點E.

（1）求直線AB的解析式；

（2）設APEQ的面積為S,求當0<1<3時，S與『時間的函數關系；

（3）在動點P、。運動的過程中，點H是矩形AQ8C內（包括邊界）一點，且以

B、Q、E、”為頂點的四邊形是菱形，直接寫出，值和與其對應的點，的坐標.

4.（2019?上海市市西初級中學八年級期中）如圖1,在菱形ABC。中，AB=S,

8。=8&，點P是上一點，點。在AB上，且？A=PQ,設。￡>=x.

.4

圖1

（1）當R4_LAB時，如圖2,求PO的長;

（2）設AQ=y,求>關于x的函數關系式及其定義域；

（3）若&3PQ是以8Q為腰的等腰三角形，求的長.

5.（2019?上海八年級期末）如圖，己知直角梯形ABC。，AD//BC,ZDCB=9O0,

過點A作AH_LBC,垂足為點“，8=4,BH=2,點尸是CO邊上的一動點，過

產作線段A3的垂直平分線，交A3于點￡，并交射線于點G.

(1)如圖1,當點尸與點。重合時，求8C的長；

(2)設AD=x,DF=y,求＞與x的函數關系式，并寫出定義域;

(3)如圖2,聯結。E，當△￡)所是等腰三角形時，求AO的長.

6.(2019?上海八年級期中)如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,ABA.BC,

AB=20E是邊AB的中點，聯結CE,且DELCE.設=

BC=y.

（1）如果N8CQ=60°,求C￡）的長；

（2）求>關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）聯結8D.如果△BC。是以邊CO為腰的等腰三角形，求了的值.

7.（2019?上海上外附中）如圖，矩形A5CO中，邊4?在>軸上，點A（0,3）,

BC=2AB,直線y=2x+l過點3且交邊AO于G,另有一條直線/與y=2x+l平行且

分別交AO，BC于E,F.

（1）求BC,AG的長；

（2）當BG痔為菱形時，求直線/解析式；

（3）當直線/將矩形A3CD分成兩個面積比例為1:2的梯形時，直接寫出此時直線/的解

析式.

8.（2020?上海八年級期末）已知：如圖，在AABC中，NC=90°，/8=30°,

AC=6,4〃平分NR4C,交比■邊于點〃.點￡1是邊48上一動點（與點/、6不重

合）.過點后作EEJ_AZ），垂足為點G,與射線/C交于點人

(1)當點尸在邊上時,

①求證：DE=DF；

②設=CF=y,求y與x之間的函數解析式并寫出定義域.

(2)當AA￡)尸是等腰三角形時，求跖的長.

第1講一次函數的概念及圖像

模塊一：一次函數的概念

知識精講

1、一次函數的概念

（1）一般地，解析式形如y=+b（&,。是常數，且AHO）的函數叫做一次函

數；

（2）一次函數丫=履+6的定義域是一切實數；

（3）當6=0時，解析式y=履+6就成為y=丘（火是常數，且AHO）這時，y是x

的正比例函數，所以正比例函數是一次函數的特例；

（4）一般地，我們把函數y=c（為常數）叫做常值函數.它的自變量由所討論的問

題確定.

例題解析

例1.下列函數中，哪些是一次函數？

(1)y=3f-2；(2)y-\=2x；(3)y=m(x-5)(〃z。0)；

k

(4)y=or+L(awO)；(5)y=Ax+—(AwO)；(6))=一(&+3)x(左w—3).

aX

【難度】★

【答案】（2）、（3）、（4）、(6).

【解析】判斷是否是一次函數，要整理成？="+匕（女工0）的形式，一次函數有x要是一次,

人H0且是整式幾個注意點.（1）是二次函數，（5）是分式.

【總結】考查一次函數的基本概念，會判斷兩個量是否是一次函數關，一般要把關系式整

理成概念的標準形式，找出對應&,b.

例2.（1）己知函數丫=（公一2）x+l是一次函數，則衣的取值范圍是

（2）當爐時，函數y=/-"+（4一⑷是一次函數，且不是正比例函數.

【難度】★

【答案】（1）k手土④；（2）w=-4.

【解析】（1）一次函數》=履+伙無力0）,所以4二±0；（2）一次函數y=fcc+*t*O）其

中，x要是一次，所以加=±4,又因為是一次函數，不是正比例函數，所以（4-癡不能為0,

所以，〃=-4.

【總結】考查一次函數的基本概念中對于自變量一次的理解.

例3.已知一個一次函數，當自變量x=-2時，函數值為y=-l；當x=2時，y=ll.求這

個函數的解析式.

【難度】★★

【答案】y=3x+5.

【解析】設一次函數解析式為丁="+僅女/0）,將（-2,T）,（2,11）兩點代入解二元一次方

程組，解得：k=3,b=5,所以這個函數的解析式為：y=3x+5.

【總結】考察兩點代入法求一次函數解析式，即兩點代入轉而解二元一次方程組.

例4.已知一次函數），=（&-1）32/+3+7是一次函數，求實數4的值.

【難度】★★

【答案】k=2.

【解析】由一次函數的概念可知：*-1*0.且*_3"3=1,解得：4=1或左=2,又因為

k工1,所以女=2.

【總結】考察一次函數的基本概念，對于自變量一次的及自變量系數不為零同時要滿足的理

解.

例5.（2020?上海市格致初級中學）如圖，正方形的頂點從6落在x軸正半軸上，

點C落在正比例函數y=4x（尤＞0）上，點〃落在直線y=2x上，且點〃的橫坐標為a.

（1）直接寫出/1、B、a〃各點的坐標（用含a的代數式表示）；

（2）求出〃的值：

（3）將直線8繞點〃旋轉，旋轉后的直線將正方形4版的面積分成1：3兩個部分，求

旋轉后得到的新直線解析式.

【答案】（1）點/、&a〃的坐標分別為（&0）、（3，0）、（3a,2d）、（a,2a）；（2）k

2廠

—y；（3）y=（3±yJ5）x.

【分析】（1）點D的橫坐標為a,則點D（a,2a）,則AB=AD=2a,進而求解；

（2）將C點坐標代入y=kx即可求得k；

m2〃2

（3）根據題干，可求得直線OF的的解析式為y=-x,當y=2a時，可求出點￡（—,

cim

1

2a）,由S△加=1S正方形ABCD,可列方程進而求出m.

【詳解】解：（1）點，的橫坐標為a,則點〃（a,2a）,

則四=4?=2a,則點從B、C的坐標分別為（a,0）、（3a,0）、（3a,2a）,

故點/、B、C.。的坐標分別為（a,0）、（3a,0）、（3a,2a）、（a,2a）；

2

（2）將點C的坐標代入尸公得，2a=3ak,解得左=—；

3

（3）設AF=m,則點尸zz7）,設直線3旋轉后交力〃于點凡交.CD于點、E,

inm

則直線所的表達式為＞=—x,當尸2a時，尸=一x=2a

aaf

解得x二2，，故點后（,2a）,由題意得：SL=-S止〃彬他〃=：X（2Q）~=a2,

mm44

jI/2Q2\

即一xQExZ)/7=—x-----a(2。一解得：/〃

22{mJ

則函數的表達式為y='x=(3±J?)x.

a

【點睛】本題考查一次函數的性質、正方形的性質、面積的計算等，掌握一次函數的性質

是解題關鍵.

模塊二：一次函數的圖像

知識精講

1、一次函數的圖像：

一般地，一次函數y=fcv+h(3b是常數，且左片0)的圖像是一條直線.一次函數y=+b

的圖像也稱為直線y=fcv+6,這時，我們把一次函數的解析式y=fcr+。稱為這一直線的表

達式.

畫一次函數了=丘+匕的圖像時，只需描出圖像上的兩個點，然后過這兩點作一條直線.

2、一次函數的截距：

一條直線與y軸的交點的縱坐標叫做這條直線在y軸上的截距，簡稱直線的截距，

一般地，直線丫=丘+匕(ZrO)與y軸的交點坐標是(0,b),直線丫=履+5(左二0)的

截距是b.

3,一次函數圖像的平移：

一般地，一次函數卜=h+〃(6/0)的圖像可由正比例函數丫="的圖像平移得到.當匕＞0

時;向上平移回個單位；當。＜0時，向下平移例個單位.

(函數平移口訣簡記為：“上加下減，左加右減”)

4,直線位置關系：

如果白二打，那么直線y=Ax+々與直線y=Ax+8平行.

反過來，如果直線y=匕》+偽與直線y=&x+a平行，那么用=向，仇.

例題解析

例1.若一次函數y=(3-a)x+(〃-9)函數圖像過原點，求a的值，并在坐標系中畫出函數

的圖像.

【難度】★

【答案】y=6x.

【解析】?次函數y=(3-a)x+(/-9)的圖像過原點，即通過(0,0)點，且3-力0.把

這點坐標代入解析式求解可得a=-3,所以解析式是y=6x.

【總結】一次函數的解析式與圖像的關系，解析式中左不為0的前提條件，以及圖像過原點

的在解析式中的含義.

例2.若一次函數y=fcr+b,當年2時，*T,且函數圖像的截距為-3,求函數的解析式.

【難度】★

【答案】y-x-3.

【解析】截距是-3,則人=一3,又因為過（2,-1）點，代入求解，得解析式為y=x-3.

【總結】考查一次函數截距的意義，和待定系數法求一次函數解析式的方法.

例3.若一次函數尸-x+8的圖像的截距是-4,求將這個一次函數向左平移2個單位后的函

數解析式.

【難度】★

【答案】y=-x-6.

【解析】截距是-4,則6=-4,則解析式是y=-x-4,則平移后的解析式為：

y--x+2-4=—x—6.

【總結】考察一次函數截距的意義，及函數圖像平移與解析式變化的關系，即“上加下減,

左加右減”.

例4.將直線廠-夜廣1向右平移1個單位，相當于將直線產-夜戶1向上平移了多少個單

位？

【難度】★★

【答案】五個.

【解析】一次函數y=-&x+l右移一個單位，解析式變為>'=->/2（x-l）+l=->/2%+>/2+1,

則相當于>=-應x+1向上平移0個單位.

【總結】考察一次函數圖像平移與函數解析式變化的關系，即“上加下減，左加右減”.

例5.已知一次函數的圖像平行于直線尸士x,且當％=-3時，函數y的值是1,求這個函數

3

解析式.

【難度】★★

【答案】y=^x+3.

【解析】設這個一次函數解析式為丁二米+6,由題易知攵=；,把點（-3,1）代入，可得

b=3.

所以這個一次函數解析式為y=（x+3.

【總結】考察兩條直線平行與一次函數解析式的關系，即兩條直線平行，&相等.

例6.若直線y=("z2-3)x+(2/n+l)與直線y=-2x+3平行，求)的值.

【難度】★★

【答案】m=-l.

【解析】因為兩條直線平行，所以可知左相等且b不相等，即病一3=-2,解得：m=±l;

因為6不相等，所以〃z=-l.

【總結】考察兩條直線平行與一次函數解析式的關系，兩條直線平行，即無交點，而重合是

兩條直線有無數個交點，所以兩條直線平行的含義是k相等且b不相等.

例7.根據下列條件，求解相應的直線表達式.

(1)直線經過(3,2)以及(1,1)；

(2)直線經過(7,0)以及截距是14；

(3)直線經過(-3,0)以及截距是-0.

【難度】★★

【答案】(1)尸”；；⑵丫=-2犬+14：(3)y=-^-x-y/2.

【解析】(1)設直線的解析式為y=fcv+。，把(3,2)和(1,1)代入，可得：&=2，b=g,

所以直線的解析式為y='x+'；

22

(2)設直線的解析式為y=fcc+b,截距是14,則方=14,再把(7,0)代入,可得&=-2.

所以直線的解析式為y=-2x+14：

(3)設直線的解析式為y=H+。，截距是-夜，則6=-啦，再把(-3,0)代入，

可得左=—g,所以直線的解析式為y=-*x-0.

【總結】考察兩點代入法求解一次函數解析式的方法及截距的含義，兩點代入法求解一次函

數的解析式可轉化為求解二元一次方程，從而求出對應的火和，.

例8.直線y=(l-3&?)x+(2k-2)與已知直線y=-2x+l平行，且不經過第三象限，求發的值.

【難度】★★

【答案】k=l.

【解析】兩條直線平行，則可知A相等，即1-3及2=—2,可得：欠=1或2=-1,則截距為

2%-2=0或2左-2=T.又因為圖像不經過第三象限，所以舍去〃—2=T,即舍去上=-1,

所以火=1.

【總結】考察一次函數的的基本概念以及4和。的符號與圖像所過象限的關系.

例9.設點P(3,m),Q(n,2)都在函數片行6的圖象上，求而〃的值.

【難度】★★

【答案】5.

【解析】把點戶(3,血，0(",2)代入解析式尸產人中，可得3+。=”?,”+〃=2,兩式子相減，

得3—〃=，〃一2，整理得"z+n=5.

【總結】考察一次函數的應用，一次函數圖像上的點的坐標都滿足函數解析式.

例10.設一次函數＞=去+6的圖像過點？(3,2),它與x軸、y軸的正半軸分別交于力、B

兩點，且曲+力＞12時，求一次函數的解析式.

【難度】★★

【答案】y=—2x+8或y=—3+3.

【解析】由題易知I,A點坐標為卜，，0),B點坐標為(0,b),且A、B兩點都在x軸、y軸

的正半軸上，所以"(-%=12,又點P(3,2)在此函數圖像上，代入可得3m，

兩個式子聯立求解，可得：35+7%+2=0,解得：Z=-2或」，對應的6=8或3.

3

所以該一次函數的解析式為y=-2x+8或y=-gx+3.

【總結】本題主要考查?次函數與兩坐標軸的交點問題，注意分類討論.

例11.已知一次函數丫=如里—2%與y=+'的圖像在第四象限內交于一點，求整數

44-33

m的值.

【難度】★★★

【答案】一L0,1.

【解析】將兩個解析式聯立求解可得：x=2色，"二二三所以交點坐標為償空口,吧］

因為交點在第四象限內，所以2叱＞o,—＜0,解不等式得：-3＜相＜2,

772

所以整數，"的值為一1,0,1.

【總結】考查對兩個一次函數的交點坐標問題，并且注意每個象限內的點的橫縱坐標的符號

特征.

例12.已知兩個一次函數y=-?x-4和必=-x+-；

4aa

(1)。、。為何值時，兩函數的圖像重合?

(2)。、匕滿足什么關系時，兩函數的圖像相互平行？

(3)a、。取何值時，兩函數圖像交于x軸上同一點，并求這一點的坐標.

【難度】★★★

【答案】(1)a=~,5=8；(2)ab=T且。片-1；(3)匕=8,。*0,坐標為(一2,

22

0).

【解析】(1)由題可知，兩個一次函數的比例系數和常數項都相等，即-2=JL,_4=2,

4aa

解得：a=—,Z?=8;

2

(2)兩個一次函數的圖像平行，則比例系數相等，常數不相等，所以一2=」，

4a

即QZ?=-4,且々工一工；

2

(3)兩個一次函數的圖像交于工軸上?點，即兩個?次函數與x軸的交點重合，先分

別求出與工軸的交點，令X=0,得大=-3，同理可得％=—2,由題可知％=/，-3=一2,

bb

即匕=8,交點坐標為(-2,0).

【總結】主要考查兩個一次函數圖像的平行、重:合的關系與區別以及兩條直線交點的含義.

例13.(1)一次函數y=3x+%的圖象與兩坐標軸圍成的三角形的面積為48,求匕的值；

(2)一次函數y=+b的圖像與兩坐標圍成的三角形的面積是10,截距是石，求一次函

數的解析式.

【難度】★★★

【答案】(1)Z?=±12\/2：(2)y=工+石或y=」/+石.

44

【解析】(1)一次函數丫=丘+優人工0)與兩軸圍成的三角形面積公式是$=與，所以

2網

12

48=」^,解得：。=±12夜；

2x|3|

(2)同理可知，10=蓑，b=^5,解得：《=土;，所以一次函數的解析式為y=；x+石

或y-——x+石.

4

【總結】一次函數與兩軸圍成的面積公式s=g,注意雙解的情況.

例14.(1)求直線y=4和y=2x+2與y軸所圍成的三角形的面積；

(2)求直線y=2x-4與直線y=-3x+l與x軸所圍成的三角形的面積.

【難度】★★★

【答案】⑴12；(2)

3

【解析】(1)聯立y=；x-4和y=2x+2,解得交點坐標為(-4,-6),又因為兩條直線與y

軸的交點坐標分別為(0,-4)和(0,2),所以這兩條直線與y軸圍成的三角形面積

為gx[2_(f]x|T=12；

(2)聯立y=2x-4與y=-3x+l,解得交點坐標為(1,-2),又因為兩條直線與x軸的交點

坐標分別為(2,0)和([0),所以這兩條直線與x軸圍成的面積為gx(2-9x|_2|=g.

【總結】考查一次函數與坐標軸所圍成的三角形的面積的綜合應用.

例15.如圖，已知由x軸、一次函數y=fcc+4a<0)的圖像及分別過點6(1,0)、。(4,0)

兩點作平行于y軸的兩條直線所圍成的圖形的面積為7,試求這個一次函數的解析式.

【難度】★★★

【答案】y=-++4.

【解析】由題易知A的坐標為(1,Z+4),3的坐標為(4,4A+4)所圍成的梯形他8的

面積為Lx(AC+8D)xa>」x(Z+4+4Z+4)x(4-l)=7,

22

解得：k=-2,所以一次函數的解析式是y=-Zx+4.

33

【總結】考查一次函數與面積的綜合應用.

模塊三：一次函數的性質

知識精講

1、一次函數的增減性:

一般地，一次函數y=H+6（火力為常數，AHO）具有以下性質：

當4>0時，函數值y隨自變量x的值增大而增大，圖像為上升；

當左<0時，函數值y隨自變量x的值增大而減小，圖像為下降.

2、一次函數圖像的位置情況：

直線丫="+力（左片0,〃片0）過（0,A）且與直線y=近平行，由直線y=丘在平面直角坐標

系內的位置情況可知：（要用圖像的平移推導可得）

當%>0,且6>0時，直線y=+6經過一、二、三象限；

當％>0,且。<0時，直線y=區+〃經過一、三、四象限；

當后<（）,且。>0時，直線y=fcr+6經過一、二、四象限；

當％<0,且匕<0時，直線y=H+6經過二、三、四象限.

例題解析

例1.如果一次函數片Mb的圖象經過第一象限，且與y軸負半軸相交，那么（）

A.Z>0,b>0B.k>0,伙0C.k<0,b>0D.k<0,b<0

【難度】★

【答案】B

【解析】一次函數丫=丘+6的圖像經過第一象限，且與y軸負半軸相交，通過畫圖可知

k>0,b<0.所以答案選8.

【總結】考察一次函數的基本概念以及A、b的符號對一次函數圖像所過象限的決定作用.

例2.一次函數片一2廣3的圖象不經過的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【難度】★

【答案】C.

【解析】一次函數y=-2x+3中，k<0,b>0,通過畫圖，可知該一次函數的圖像不經過

第三象限，答案選C

【總結】考察一次函數的基本概念*、8的符號對-次函數圖像所過象限的決定作用.

例3.根據下列條件填空：

（1）已知函數y=（，〃-1）/—+5+（川-3）,當機等于時，它是一次函數，此時它的

圖象經過象限，y隨x的增大而；

（2）如果一次函數y=2x和），=x+k的圖象的交點在第一象限，則k的取值范圍是

（3）己知關于x的一次函數y=（20-7）*+“-2的圖象與y軸的交點在1軸的上方，且y

隨X的增大而減小，則。的取值范圍是.

【難度】★★

7

【答案】（1）“2=2；一、三、四；增大；（2）女>（）；（3）2<a<-.

2

【解析】⑴由題可知，要是一次函數則要滿足旭-1=0，且布-4加+5=1,解得：加=2.此

時函數解析式為y=x-l,它的圖像經過第一、三、四象限，且y隨x的增大而增大；

（2）聯立y=2x與y=x+A:,可得交點坐標為（324），因為交點在第一象限，則

女>0且2左>0,所以大的取值范圍是％>0.

（3）由題易知，一次函數與y軸的交點坐標為（0,”-2）,且。-2>0,又y隨x的增大而

7

減小，所以2a—7<0,從而可得2<a<-.

2

【總結】考查一次函數的基本概念及&、b對一次函數圖像所過象限及變化趨勢的影響.

例4.設》>a,將一次函數y=6x+a與y=ox+6的圖像畫在同一平面直角坐標系內，則有

一組a,b取值，使得下列四幅圖中的一個為正確的是（）

ABCD

【難度】★★

【答案】D

【解析】A選項中，由圖像可知8>0,且圖像過一、二、三象限，可知a>0,而另一條直

線的解析式為y=fer+a與y軸的交點為（0,a）在x軸下方，則a<0與上面那條直線a>0

矛盾，所以A錯誤；8選項中，兩條直線與y軸的交點坐標都在x軸上方，可知a>0,b>0,

且6<a,這與題目中的矛盾，所以6錯誤；C選項中，由題易知，上面那條直線解析

式為y=ar+b,下面那條直線解析式為y=bx+a,且“<0,b>0.與x軸交點都為（2,

0）,分別代入可得力+a=0,2a+b=0,解得：a=0,b=0,與已知不符，所以錯誤；

。選項中，由圖可知a<0,人>0,而兩條直線有一條是y隨x的增大而減小即作為k,a,b

中有一個小于0,正好相符，且滿足題目中的條件，故選項D正確.

【總結】本題主要考查?次函數的性質及左、〃對一次函數圖像所過象限的影響.

例5.若左、。是一元二次方程x?+px-|q|=0的兩個實根(妨/0),在一次函數丫=履+/>

中，y隨x的增大而減小，則一次函數的圖像一定經過()

A、第一、二、四象限B、第一、二、三象限

C、第二、三、四象限D、第一、三、四象限

【難度】★★

【答案】A

【解析】由題易知=<0,乂在--次函數y=+b中，y隨x的增大而減小，可知

k<0,所以6>0,所以一次函數的圖像經過第一、二、四象限.故選A

【總結】一次函數的基本概念，k,b對一次函數圖像所過象限及變化趨勢的影響.

例6.已知次七#0,而且土心=處￡=*=0,那么直線了=0犬+。一定經過()

cab

A、第一、二象限；B、第二、三象限；C、第三、四象限；D、第一、四象限

【難度】★★★

【答案】B

【解析】由題可得a+b=pc,b+c=pa,c+a=向三式相力「得2(〃+/?+c)=〃(〃+/?+(?),

2(a+0+c)-p(a+b+c)=O,(a+/?+c)(2-p)=0,可得〃=2或4+匕+。=0，

當〃+b+c=O時，a+b=-c,p=a+^=—=-l,所以p=2或T.

cc

當p=2時，y=2x+2經過第一、二、三象限，當〃=一1時，y=-x-\,

圖像經過第二、三、四象限.兩種情況下，圖像第一定經過第二、三象限.故選B

【總結】考察一次函數的圖像特征及左、b對一次函數圖像所過象限的影響.

例7.在式子y="+h(k,〃為常數)中，當-時,14”9,求她的值.

【難度】★★★

【答案】14或一6.

【解析】由題可知存在如下幾種種情況，

J3&+0=][k-2

⑴當左>0時，x=-3,y=l或x=l,y=9，貝叫0,解得：\,,則幼二14；

[k+b=9[b1=7

—「一3攵+b=9A,依=一2

(2)當&<。時，x=-3,y=9或x=l,y=l,則匕],，解得：〈，嗔，則他=-6；

(3)當k=0時,y=b,是個常值函數，不隨工的變化而變化，與題目不符.

【總結】本題主要考查一次函數的性質的運用，注意分類討論.

例8.已知一次函數y=$x+l中y隨x的增大而增大，它的圖像與兩坐標軸構成的直角

三角形的面積不超過T，反比例函數y=三竺的圖像在第二、四象限，求滿足以上條件

的女的整數值.

【難度】★★★

【答案】整數值為1或2.

【解析】一次函數）=—!—X+1中y隨］的增大而增大，可知」—>0,它的圖像與兩坐

2k-12k-\

標軸構的直角三角形面積不超過3,可知一^43；又反比例函數迎的圖像在第

2212x

21

7

二、四象限，可知2-3女<（）,解不等式可得：-<k<2,故整數解為1或者2.

3

【總結】考查一次函數與反比例函數的性質及一次函數與坐標軸所圍成的三角形的面積問

題.

例9.如圖，已知函數y=x+l的圖象與y軸交于點4一次函數y=fcv+b的圖象經過點父0,

-1）,并且與x軸以及y=x+l的圖象分別交于點GD；

（1）若點〃的橫坐標為1,求四邊形｛施）的面積（即圖中陰影部分的面積）；

（2）在第（1）小題的條件下，在y軸上是否存在這樣的點只使得以點AB、。為頂點的

三角形是等腰三角形；如果存在，求出點尸坐標；如果不存在，說明理由；

（3）若一次函數丫=依+匕的圖象與函數y=x+l的圖象的交點〃始終在第一象限，則系數

火的取值范圍是（請直接寫出結果）.

【難度】★★★

【答案】⑴*：（2）+（0,5）,（。，［；⑶k>T.

【解析】（1）由題易知A的坐標為（0,1）,點。的橫坐標為1,代入y=x+l,得y=l+l=2,

即￡）（1,2）；因為點8的坐標為（0,-1）,且卜=履+6經過點。和點3,

k+b=2b=-\

代入得:,解得:

0+力=—1k=3

則一次函數的解析式為y=3x-l,繼而可求出點C的坐標為（g,0）.

故陰影部分的面積為：

S陰=S^BD-5AOBC=^xABxDt-lxOBxOC^x[l-（-l）]xl-lxlxl=|.

（2）假設P點的坐標為（0,ni）,則80==g

分三類情況討論：①當時，以點8為圓心，為半徑畫圓，與y軸的交點即為所

求P點.所以P的坐標為（0,-1+V1O）或者（0,-1一?）；②當七出=DP時，以點￡）為圓心,

為半徑畫圓，與y軸的交點即為所求P點，所以點P的坐標為（0,5）；③當尸B=P￡）時,

點P即為線段的的中垂線與y軸的交點，則*（T）=J（l_0y+（2_%）2,解得：機=，,

即P的坐標（0,|）,綜上，點P的坐標為（0,-1+亞）或者（0,-1-布）或（0,5）或（0,：）；

（3）因為點5的坐標為（0,-1）,可知y=fcr+b中的b=l,可得了=履-1.

聯立y=x+l,y=kx-\,可得交點D坐標為（含,合），因為點D在第一象限內，

所以二-＞0且但＞0,解不等式組，得

k-\k-\

【總結】本題綜合性較強，主要考查一次函數的形式與面積的綜合應用.

例10.（2018?上海崇明區?八年級期中）已知：如圖，在直角坐標平面中，點A在％軸

的負半軸上，直線y=?r+G經過點A，與丁軸相交于點M，點5是點A關于原點的

對稱點，過點5的直線8C_Lx軸，交直線＞=日+百于點C,如果NMAO=60°.

（1）求直線AC的表達式；

（2）如果點。在直線AC上，且AABD是等腰三角形，請求出點。的坐標.

【答案】（1））=底+內；⑵（0,6）或（—2,—G）.

【分析】(1)先求出點M的坐標，從而可得0M的長，再根據直角三角形的性質可得0A的

長，從而可得點A的坐標，然后利用待定系數法求解即可；

(2)先根據時稱性得出點B的坐標，再根據兩點之間的距離公式可得A3,80,的長,

然后根據等腰三角形的定義分三種情況建立等式求解即可.

【詳解】(1)對于y=+當x=0時，y=￡，則點M的坐標為(0,6)

:.0M=/，設04="，,??/046=60。。N0M4=90°-NCAB=30°

在Rt^OAM中，AM=20A=2a，OM=\JAM2-OA1=6a

則有6a=百，解得a=l，即。4=1,??.點A的坐標為(T,0)

?.,直線y=+6經過點A。，0=—攵+百，解得出=百

故直線AC的表達式為y=0x+8.

(2)?.?點B是點A關于原點的對稱點，二點5的坐標為(1,0)

設直線AC上的點。坐標為(加,島i+塔,則AB=1-(-1)=2

BD=7(m-l)2+(V3w+V3)2-AD=7(m+l)2+(V3m+73)2=+

由等腰三角形的定義，分以下三種情況：

①當AB=AZ)時，八鉆￡>是等腰三角形，則2而〃+1)2=2,解得〃2=0或加=一2

x/3m+百=百或V3m+#)=百x(-2)+百-->/3

此時，點D的坐標為(0,6)或卜2,一6)

②當=時，AA8D是等腰三角形

則《(m-1)?+(6m+=2>解得〃z=0或相=T

百加+Ji=6或?+6=6x(—1)+6=()

此時，點D的坐標為((),百)或(一1,0)(與點A重合，不能構成三角形，舍去)

③當8D=A。時，AABO是等腰三角形

則7(W-1)2+(V3^+^)2=2j(m+l)2，解得機=0

V3m+V3=73.此時，點O的坐標為(0,6)

綜上，點。的坐標為點倒,或卜2,一6).

【點睛】本題考查了一次函數的幾何應用、直角三角形的性質、等腰三角形的定義等知識

點，較難的是題(2),依據題意，正確分三種情況討論是解題關鍵.

例11.(2018?上海普陀區?)如圖，已知一次函數y=2x+4的圖像與x軸、丁軸分別交

于點A、B,且BC〃AO,梯形AOBC的面積為10.

(1)求點A、B、C的坐標；

(2)求直線AC的表達式.

【答案】(1)