第12講梯形及中位線

本章節主要講述了兩部分內容，梯形和中位線，從直角梯形和等腰梯形的性質出發，求

解相關的邊與角的關系，在求解的過程中，部分題目需要添加輔助線.中位線主要包括兩個

方面，三角形和梯形，在解題的過程中，要做到靈活應用.

模塊一：梯形及等腰梯形

知識精講

一、梯形及梯形的有關概念

（1）梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形.

底：平行的兩邊叫做底，其中較長的是下底，較短的叫上底.

腰：不平行的兩邊叫做腰.

高：梯形兩底之間的距離叫做高.

（2）特殊梯形

直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.

特殊梯形\

、等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形.

思考討論：若上面兩個條件同時成立是否是梯形？

交流：如果同時具備直角梯形和等腰梯形的特征，那么該圖形是矩形.

【等腰梯形性質】

等腰梯形性質定理1等腰梯形在同一底上的兩個內角相等.

等腰梯形性質定理2等腰梯形的兩條對角線相等.

另外：等腰梯形是軸對稱圖形；

【等腰梯形判定】

等腰梯形判定定理1在同一底邊上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形.

等腰梯形判定定理2對角線相等的梯形是等腰梯形.

例題解析

例1.（2019?上海八年級課時練習）如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=30°,ZBCD=

60°,AD=2,AC平分/BCD,則BC長為（）.

C.4V3D.3V3

例2.（2018?上海市清流中學八年級月考）若等腰梯形兩底角為30°,腰長為8,高和上

底相等，則梯形中位線長為（）

A.873B.10C.473+4D.166

例3.（2018?上海市清流中學八年級月考）一個等腰梯形的兩底之差為12,高為6,則等腰

梯形的銳角為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

例4.（2018?上海市清流中學八年級月考）下到關于梯形的敘述中，不正確的是

（）

A.等腰梯形的兩底平行且相等

B.等腰梯形的兩條對角線相等

C.等腰梯形在同一底上的兩個角相等

D.等腰梯形是軸對稱圖形

例5.（2017?上海八年級期末）一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是（）

A.梯形B.等腰梯形C.平行四邊形D.等腰梯形或平行四邊形

例6.（2019?上海上外附中）判斷：一組鄰角相等的梯形是等腰梯形（）

例7.（2020?上海楊浦區?八年級期末）已知在梯形ABCD中，AD//BC,

AB=AD=DC=4,ACLAB,那么梯形ABCD的周長等于.

例8.（2020?上海嘉定區?八年級期末）已知一個梯形的中位線長為5。加，其中一條底

邊的長為6cm,那么該梯形的另一條底邊的長是cm.

例9.（2018?上海市民辦揚波中學八年級期末）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//

CD，AD=AB,BD-LBC,則NC=

例10.(2019?上海上外附中八年級期中)在梯形ABC。中，AB//CD,對角線

AC±BD,AC=6,BD=8,則梯形ABC。的面積為.

例11.(2020?上海浦東新區?八年級月考)如圖，在梯形力靦中，AD//BC,BC=\2,AB

=DC=8,NB=60°.

(1)求梯形的中位線長.

例12.(2020?上海浦東新區?八年級期末)如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,點E、F

分別是AB、AC的中點，CELBF于點0.

(1)求證：四邊形EBCF是等腰梯形；

(2)EF=1,求四邊形EBCF的面積.

A

A例13.如圖，已知梯形中，比t是下底，NA吐60°,BD平分■NABC,且BD1CD,若梯

形周長是30順，求此梯形的面積.

O

例14.如圖，直角梯形力版中，/月=90°,AD//BC,力慶5,/介45°,切的垂直平分線交

4。于點、E,交物的延長線于點用求跖的長.

例15.如圖，在梯形/靦中，AD//BC,AB-AD-DC,/斤60°,

(1)求證：ABVACx

(2)若屐6,求梯形4?(笫的面積.

例16.如圖，在梯形被力中，AD//BC,CA平■分匕BCD,DE//AC,交式1的延長線于點￡,Z

例17.如圖，在等腰三角形/I8C中，點久后分別是兩腰式上的點，聯結應、切相交

于點0,Z1=Z2.

求證：梯形敗r是等腰梯形.

A

12

B

例18.如圖，梯形。16C中，。為直角坐標系的原點，爾B、。的坐標分別為（14,0）、

（14,3）、（4,3）.點只0同時從原點出發，分別作勻速運動，點一沿力以每秒1個

單位向終點4運動，點0沿8、紡以每秒2個單位向終點8運動.當這兩點中有一點到達

自己的終點時;另一點也停止運動.

（1）設從出發起運動了x秒，當x等于多少時，四邊形aRC為平行四邊形？

（2）四邊形少數能否成為等腰梯形?說明理由.

例19.如圖，等腰梯形花圃165的底邊4〃靠墻，另三邊用長為40米的鐵欄桿圍成，設該

花圃的腰4?的長為x米.（1）請求出底邊回的長（用含x的代數式表示）；（2）若N

胡介60°,該花圃的面積為S米2,求S與x之間的函數關系式，指出自變量x的取值范

圍，并求當傘686時x的值.

例20.己知，一次函數y=-1x+4的圖像與入軸，y軸，分別交于力、8兩點，梯形力阪1

4

（。是原點）的邊力B5,（1）求點。的坐標；（2）如果一個一次函數y="+b（4、力為常

數，且4W0）的圖像經過從。兩點，求這個一次函數的解析式.

例21.如圖，直角梯形/町中，AB//CD,N4=90°,AB=6,AD=4,D（=3,動點尸從點4出

發，沿/-0+。」8方向移動，動點。從點/出發，在邊上移動.設點—移動的路程為

x,線段40的長度為外線段切平分梯形/頷的周長.

（1）求y與x的函數關系式，并求出這個函數的定義域；

（2）當戶不在勿邊上時，線段區能否平分梯形題的面積?若能，求出此時x的值：若

不能，請說明理由.

模塊二：輔助線

知識精講

解決梯形問題常用的方法

①作高法：使兩腰在兩個直角三角形中；

②移腰法：使兩腰在同一個三角形中，梯形兩個下底角是互余的，那么一般會用到這種添

輔助線的方式，構造直角三角形；

③延腰法：構造具有公共角的兩個等腰三角形；

④等積變形法：聯結梯形上底一端點和另一腰中點，并延長與下底延長線交于一點，構成

三角形；

⑤移對角線法：平移對角線，可以構造特殊的圖形，如平行四邊形，如果是對角線互相垂

直

的等腰梯形，那么在平移的過程中，還可構造等腰直角三角形，結合三線合一，求梯形的

高

等.

例題解析

例1.如圖，已知在梯形中，AD//BC,AB=AD=CD=\3,AEA.BC,垂足為

E,AE=\2,則8C邊的長等于（）

A.20B.21C.22D.23

AD

例2.已知梯形A8CD中，ADHBC,N8=70,NC=40,AD=2,BC=10.求Z)C的

長.

例3.如圖，梯形A8CD中，ABUCD,ZA+/B=90,AB=b,CD=a,E、/分

別為A3、CD的中點，則所的長等于()

.b+a?b+a八b-ab-a

?/z.C/?1n).

例4.已知：如圖，在梯形力宓9中，AD//BC,AB=AC,/胡090°,BD=BC,即交AC于0.求

證：CO-CD.

例5.在等腰梯形力及空中，AD//BC,AB=DC,對角線”1與被相交于點。，NBO060°,

AC=\Qcm,求梯形的高a'的長.

例6.如圖，在梯形48G9中，AD//BC(BC>AD),Z￡>=90°,BC=CD=\2,

ZABE=45°,若力后10,則C序.

模塊三：中位線

知識精講

三角形中位線的定義和性質：

1.定義三角形的中位線：聯結三角形兩邊中點的線段，(強調它與三角形的中線的區別)；

2.三角形中位線定理：

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.

3.梯形中位線定理：

梯形的中位線平行于底邊，并且等于兩底和的一半.

【要點點撥】經過三角形的一邊中點作另一邊的平行線，也可以證明得到的平行線段為中位

線.同樣地，從梯形的一腰中點作底的平行線，可以證明得到的平行線段為中位線.如果把三

角形看成是一個上底長度為零的特殊的梯形的話，那么三角形中位線定理就成為梯形中位線

定理的特例了.

例題解析

例1(1)順次聯結四邊形各邊中點所組成的四邊形是；

(2)順次聯結平行四邊形各邊中點所組成的四邊形是；

(3)順次聯結矩形各邊中點所得到的四邊形是；

(4)順次聯結正方形各邊中點所得到的四邊形是；

(5)順次聯結菱形各邊中點所得到的四邊形是；

(6)順次聯結對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得到的四邊形是：

(7)順次聯結等腰梯形各邊中點所得到的四邊形是；

(8)順次聯結對角線相等的四邊形各邊中點所得到的四邊形是；

(9)順次聯結對角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點所得到的四邊形是.

例2.（2019?上海浦東新區?八年級期中）如圖，^ABC中，點D、E分別在AB、AC邊

上，AD=BD,AE=EC,BC=6,貝UDE=()

A.4B.3C.2D.5

例3.（2018?上海市清流中學八年級月考）順次連接等腰梯形各邊中點所圍成的四邊形是

（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.等腰梯形

例4.（2019?上海上外附中）梯形兩條對角線互相垂直，且長度分別為4，6,則梯形的

中位線長為

例5.（2019?上海上外附中）如圖，四邊形ABCD中，E，尸分別為AD，8c中點，

且AB=6,C￡>=8,則EF的長度”的范圍是

例6.（2017?上海閔行區?八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是

AB,BD、CD、AC的中點，要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應滿足的一個條件是

'B

例7.（2018?上海寶山區?八年級期末）如圖，將。4%/中，AD=8,點E,尸分別是龍,

⑺的中點，則旗為.

例8.（2017?上海徐匯區?八年級期末）如圖，在△48C中，點〃,￡分別是邊力瓦比的

中點，若應'的長是6,則4e___.

例9.（2019?上海上外附中）如圖，矩形ABCD中，AB=6,4）=8,點O為對角線

AC中點，點M為邊AD中點，則四邊形A80M的周長為

例10.（1）點￡）、E、F分別是AABC三邊的中點，△￡>￡尸的周長為10cm,則AABC的周

長為；

（2）“ABC三條中位線的長為3cm、4cm、5cm,則AMC的面積為.

例H.如圖，在AABC中，點〃是邊6c的中點，點￡在AA3C內，四平分N84C,CEVAE

點尸在邊46上，EF//BC.

(1)求證：四邊形成!即是平行四邊形；

(2)線段6?AB、4C之間有怎么樣的數量關系？并證明.

例12.如圖所示，在梯形/時中，ADIIBC,對角線AC_LB￡＞交于點0,.腸#是梯形

的中位線，Z￡)BC=30,求證：AOMN.

例13.如圖所示，在正方形力靦中，對角線4GBD交于一點、0,4?平分/B4C,交8。于點

E,交。6于點區求證：CE-20F.

例14.如圖1所示，己知劭、酸分別是AABC的外角平分線，過點4作AGA.

CE,垂足分別為尺G,連接R7,延長/尺AG,與直線比相交，易證

FG=^AB+BC+AC).

(1)若切、◎'分別是比的內角平分線(如圖2)；

(2)以為比■的內角平分線，四為△相C的外角平分線(如圖3),則在圖2、圖3兩種

情況下，線段尸。與△力a'三邊又有怎樣的數量關系?請寫出你的猜想，并對其中的一種情況

給予證明.

例15.如圖，在四邊形4?切中，AD=BC,E、尸分別是5、4?的中點，延長/〃、BC,分別交

所的延長線于點//、G；求證：ZAHF=NBGF.

■B

隨堂檢測

1.有兩個角相等的梯形是（)

A.等腰梯形B.直角梯形C.一般梯形D.直角梯形或等腰梯形

2.卜列命題中，真命題是（）

4順次聯結等腰梯形各邊的中點，所得的四邊形一定是矩形

笈順次聯結等腰梯形各邊的中點，所得的四邊形一定是菱形

C順次聯結等腰梯形各邊的中點，所得的四邊形一定是等腰梯形

〃順次聯結等腰梯形各邊的中點，所得的四邊形一定是直角梯形

3.己知梯形的兩個對角分別是78°和120°,則另兩個角分別是（）

A.78°或120°B.102°或60°C.120°或78°D.60°或120°

4.下列命題，錯誤命題的個數是（）

①若一個梯形是軸對稱圖形，則此梯形一定是等腰梯形；

②等腰梯形的兩腰的延長線與經過兩底中點的直線必交于一點；

③一組對邊相等而另一組對邊不相等的四邊形是梯形；

④有兩個內角是直角的四邊形是直角梯形.

41個6.2個C3個4個

5.如圖，在中，。、￡分別是8C、AC的中點，且A￡>_LA8,4）=4,

AB=6.求AC的長.

6.等腰梯形兩底之差等于一腰長，求它的底角的度數.

7.如圖，四邊形ABC。中，4）不平行BC,現給出三個條件：?ZCAB=ZDBA,@AC=BD,

@AD=BC.請從上述三個條件中選擇兩個條件，使得本題添上這兩個條件后能夠推出

?8是等腰梯形，并加以證明（只需證明一種情況）.

8.如圖，在四邊形A3CZ）中，E、F、G、”分別是4?、BD、BC、AC上的中點,

AB=5,CD=1.求四邊形EFG〃的周長.

第13講梯形及中位線

本章節主要講述了兩部分內容，梯形和中位線，從直角梯形和等腰梯形的性質出發，求

解相關的邊與角的關系，在求解的過程中，部分題目需要添加輔助線.中位線主要包括兩個

方面，三角形和梯形，在解題的過程中，要做到靈活應用.

模塊一：梯形及等腰梯形

知識精講

一、梯形及梯形的有關概念

（1）梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形.

底：平行的兩邊叫做底，其中較長的是下底，較短的叫上底.

腰：不平行的兩邊叫做腰.

高：梯形兩底之間的距離叫做高.

（2）特殊梯形

直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.

特殊梯形\

、等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形.

思考討論：若上面兩個條件同時成立是否是梯形？

交流：如果同時具備直角梯形和等腰梯形的特征，那么該圖形是矩形.

【等腰梯形性質】

等腰梯形性質定理1等腰梯形在同一底上的兩個內角相等.

等腰梯形性質定理2等腰梯形的兩條對角線相等.

另外：等腰梯形是軸對稱圖形；

【等腰梯形判定】

等腰梯形判定定理1在同一底邊上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形.

等腰梯形判定定理2對角線相等的梯形是等腰梯形.

例題解析

例1.（2019?上海八年級課時練習）如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=30°,ZBCD=

60°,AD=2,AC平分/BCD,則BC長為（）.

A.C.4V3D.3A/3

【答案】B

【分析】過點A作AE〃DC,可判斷出4ABE是直角三角形，四邊形ADCE是菱形，從而求出

CE、BE即可得出BC的長度.

【詳解】過點A作AE〃DC,

VAD/7BC,

四邊形ADCE是平行四邊形,

又：AC平分NBCD,

.*.ZDAC=ZACE=ZDCA,

/.AD=CD,

四邊形ADCE是菱形，

；.CE=AD=AE=2,

VAE/7CD,

.,.ZAEB=ZBCD=60°,

又：NB=30°,

ZBAE=90",

/.BE=2AE=4,

；.BC=BE+CE=6.

故答案為：6.

【點睛】本題考查等腰三角形的判定與性質、含30度角的直角三角形和梯形，解題的關鍵

是掌握等腰三角形的判定與性質、含30度角的直角三角形和梯形.

例2.（2018?上海市清流中學八年級月考）若等腰梯形兩底角為30°,腰長為8,高和上

底相等，則梯形中位線長為（）

A.80B.10C.473+4D.16百

【答案】C

【分析】分析題意畫出圖形，則DE=CD=CF,AD=8,ZA=30°,由DE_LAB,ZA=30°,

AD=8,即可得出DE=4,進而求出CD的長度;運用勾股定理得出AE和BF的長度,易證四

邊形CDEF是平行四邊形，得出EF的長度，進而得出AB+CD的長度，由梯形中位線的性

質，即可解答本題.

【詳解】根據題意畫出圖形，則DE=CD=CF,AD=8,ZA=30°.

因為DE_LAB,ZA=30°,AD=8,

所以DE='AD=4,

2

所以CD=4,AE=Jm一。爐=4百，同理BF=4百.

因為DE_LAB,CF±AB,

所以DE〃CF.

因為CD〃EF,

所以四邊形CDEF是平行四邊形，

所以EF=CD=4.

因為CD=4cm,AB=AE+EF+FB=173+4+16=86M,

所以AB+CD=86+4+4=86+8,

所以梯形的中位線長為,

(AB+CD)=45/3M.

2

故選C.

【點睛】此題考查等腰梯形的性質，解題關鍵在于需結合梯形中位線的性質，勾股定理等

知識進行求解.

例3.（2018?上海市清流中學八年級月考）一個等腰梯形的兩底之差為12,高為6,則等腰

梯形的銳角為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】B

【分析】作梯形的兩條高線，證明^ABE絲△DCF,則有BE=FC,然后判斷aABE為等腰直角

三角形求解.

【詳解】如圖，作AELBC、DFJ_BC,四邊形ABCD為等腰梯形,AD〃BC,BCYD=12,AE=6,

AD

BoEFC

???四邊形ABCD為等腰梯形，

JAB=DC,NB=NC,

VAD/7BC,AE1BC,DF±BC,

AAEFD為矩形,

AAE=DF,AD=EF,

.二△ABE經△DCF,

ABE=FC,

/.BC-AD=BC-￡F=2BE=12,

???BE=6,

VAE=6,

???△ABE為等腰直角三角形，

.\ZB=ZC=45°.

故選B.

【點睛】此題考查等腰梯形的性質，解題關鍵在于畫出圖形.

例4.（2018?上海市清流中學八年級月考）下到關于梯形的敘述中，不正確的是

（）

A.等腰梯形的兩底平行且相等

B.等腰梯形的兩條對角線相等

C.等腰梯形在同一底上的兩個角相等

D.等腰梯形是軸對稱圖形

【答案】A

【分析】本題考查對等腰梯形性質的理解.等腰梯形的性質如下:等腰梯形兩腰相等;等腰梯

形兩底平行;等腰梯形的兩條對角線相等;等腰梯形同一底上的兩個內角相等;等腰梯形是軸

對稱圖形.

【詳解】由等腰梯形的性質可知,等腰梯形的對角線相等,其在同一底上的兩個角相等,可知

B、C不符合題意；

同時等腰梯形關于兩底中點的連線成軸對稱,即可得到D不符合題意，

而等腰梯形兩底平行但不相等，因此A符合題意.

故選A.

【點睛】此題考查等腰梯形性質，解題關鍵在于對性質的掌握.

例5.（2017?上海八年級期末）一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是（）

A.梯形B.等腰梯形C.平行四邊形D.等腰梯形或平行四邊形

【答案】D

【解析】根據特殊四邊形的性質，分析所給條件，選擇正確答案.

解：A、一組對邊相等，另一組對邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故A不

正確；

B、一組對邊相等，另一組對邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故B不正確；

C、一組對邊相等，另一組對邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故C不正確；

D、一組對邊相等，另一組對邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故I）正確.

故選D.

“點睛”本題考查了平行四邊形和等腰梯形的性質.考慮問題時應該全面考慮，不能漏掉任

何一種情況，要求培養嚴謹的態度.

例6.（2019?上海上外附中）判斷：一組鄰角相等的梯形是等腰梯形（）

【答案】錯誤

【分析】根據題設畫出反例圖形即可.

【詳解】解：反例：如圖，已知梯形ABC。，AD//BC,NC=N￡>=90°,而梯形

ABCO不是等腰梯形.

故該命題是假命題，

故答案為：錯誤.

【點睛】本題考查了等腰梯形的概念，熟悉等腰梯形的性質，舉出反例是解題的關健.

例7.（2020?上海楊浦區?八年級期末）已知在梯形ABCD中，AD//BC,

AB=AD^DC=4,AC±AB,那么梯形ABCD的周長等于.

【答案】20

【分析】根據等腰三角形的性質得到Nn4C=N￡>C4,根據平行線的性質得到

ZDAC=ZACB，得到N0C4=NACB，根據直角三角形的性質列式求出

ZBCA=3O°,根據直角三角形的性質求出BC,根據梯形的周長公式計算，得到答案.

【詳解】解：?.?AD=OC,

:.ZDAC=ZDCA,

-,-AD//BC,

ZDAC=ZACB,

:.ZDCA=ZACB,

?：AD//BC,AB=DC,

：.ZB=ABCD=2ZACB,

ACAB,

:.ZB+ZBCA=90°,BP3ZBC4=9O°,

.?.ZBC4=3O°,

..6C=2AB=8,

-.AB=AD=DC=4,BC=8,

梯形的周長=4+4+4+8=20,

故答案為：20.

【點睛】本題考查的是梯形的性質、直角三角形的性質、等腰三角形的性質，掌握含30。

的直角三角形的性質是解題的關鍵.

例8.（2020?上海嘉定區?八年級期末）已知一個梯形的中位線長為5c加，其中一條底

邊的長為6c加，那么該梯形的另一條底邊的長是cm.

【答案】4

【分析】根據梯形中位線定理解答即可.

【詳解】解：設該梯形的另一條底邊的長是xcm,根據題意得：g（x+6）=5,解得：

x=\,

即該梯形的另一條底邊的長是4cm.

故答案為：4.

【點睛】本題考查了梯形中位線定理，屬于基本題目，熟練掌握該定理是解題關鍵.

例9.（2018?上海市民辦揚波中學八年級期末）如圖，在等腰梯形A8CO中，AB//

CD,AD=AB，BD工BC，則/C=.

【答案】60°

（分析］利用平行線及AB//CD證明ZADB=ZABD=ZBDC,再證明

ZADC=/BCD,再利用直角三角形兩銳角互余可得答案.

【詳解】解：因為：AB//CD,所以：ZADB=ZABD,

因為：AD=AB-所以：/BDC=AABD,

所以；ZADB=ZABD=ZBDC,

因為：等腰梯形ABCO，

所以：ZADC=/BCD,

設：/BDC=x0,所以NBCD=2廿,

因為：BD工BC,

所以：x+2x=9（），解得：%=30,

所以：NC=60°.

故答案為：60°.

【點睛】本題考查等腰梯形的性質，等腰三角形的性質及平行線的性質，掌握相關性質是

解題關鍵.

例10.（2019?上海上外附中八年級期中）在梯形A8QD中，AB//CD,對角線

AC±BD,AC=6,BD=8,則梯形ABCD的面積為.

【答案】24

【分析】根據對角線互相垂直的四邊形的面積公式即可求得答案.

【詳解】解：如圖所示，梯形對角線垂直，則SAB8=g-AC-B0=gx6x8=24.

故答案是：24

【點睛】本題考查對角線互相垂直的四邊形的面積公式；對角線垂直時，四邊形可看成四

個直角三角形的面積之和，可得對角線互相垂直的四邊形面積為對角線乘積的一半.

例11.（2020?上海浦東新區?八年級月考）如圖，在梯形力時中，AD//BC,的=12,AB

=DC=8.N8=60°.

（1）求梯形的中位線長.

【答案】（1）8（2）32^/3

【分析】（1）過力作/勿切交比于反則四邊形被力是平行四邊形，得"=陽AE=

DC,證出△/應'是等邊三角形，得BE=AB=8,則/L9=AC=4,即可得出答案；

(2)作｛曰比于八則/物尸=90°-Z5=30°,由含30°角的直角三角形的性質得出

BF=^AB=\,AF=gS,由梯形面積公式即可得出答案.

【詳解】解：(1)過4作小〃口交比1于￡,

'：AD//BC,

，四邊形4日6是平行四邊形，

：.AD=EC,AE=DC,

"：AB^DC,

：.AB^AE,

VZ5=60°,

；.△/應是等邊三角形，

:.BE=A48,

:.AgEC=BC-跖=12-8=4,

二梯形4及力的中位線長=一(A/BC)=一(4+12)=8；

22

(2)作"LL8C于下，

則/的尸=90°-ZJ?=30°,

：.BF=^AB=A,AF=6BF=A6

梯形46(力的面積BOX/1A=(4+12)X4V3=32^/3.

\D

，

BFEC

【點睛】此題考查了平行四邊形的判定及性質，等邊三角形的判定及性質，梯形中位線的

性質，直角三角形30度角的性質.

例12.(2020?上海浦東新區?八年級期末)如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,點E、F

分別是AB、AC的中點，CEJ_BF于點0.

(1)求證：四邊形EBCF是等腰梯形；

(2)EF=1,求四邊形EBCF的面積.

E

B

9

【答案】(1)見解析；(2)一.

4

【分析】(1)根據三角形的中位線定理和等腰梯形的判定定理即可得到結論；

(2)如圖，延長BC至點G,使CG=EF,連接FG,根據平行四邊形的性質得到FG=EC=BF,

根據全等三角形的性質和三角形中位線定理即可得到結論.

【詳解】(1)I?點E、F分別是AB、AC的中點，

.?.EF//BC,BE=-AB--AC=CE,

22

...四邊形EBCF是等腰梯形；

(2)如圖，延長BC至點G,使CG=EF,連接FG,

VEF//BC,即EF//CG,且CG=EF,

四邊形EFGC是平行四邊形，

乂???四邊形EBCF是等腰梯形，

；.FG=EC=BF,

；EF=CG,FC=BE,

.,.△EFB^ACGF(SSS),

S四邊形EBCF=S,

：GC=EF=1,且EF」BC,

2

；.BC=2,

；.BC=BC+CG=1+2=3.

VFG//EC,

AZGFB=ZB0C=90°,

13

；.FH=-BG=-,

22

139

X3X

一-

,?S四邊形EBCF=S?BFG一2-2-4-

【點睛】本題考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，正

確的作出輔助線是解題的關鍵.

例13.如圖，己知梯形四切中，8C是下底，NAB060°,BD平?分4ABC,良BDLCD,若梯

形周長是30c加，求此梯形的面積.

【難度】★★

【答案】27^cnr.

【解析】?:BD平-分4ABC,\NABD=NDBC=LNABO30。.

2

'：AD//BC,：./AD故4DBC40。,：.AB=AD

,：BDLCD,：.ZDCB=60°,：.ZABC=ZDCB,：.AI^CD.

'設AB=CD=AD=x,

Rt/\BCD中,,:NDB030",:.BC=2CD=2x,

.*.30=x+x+x+2x,解得：A=6.

作/反La；Rt/\ABE中,

:/力斤30°,.?.除3,A后3上.

：.S=-(AlhBOA527Gcnr.

2

【總結】本題考查梯形面積公式及等腰梯形性質的綜合運用.

例14.如圖，直角梯形被力中，/4=90°,AD//BC,A9=5,/少45°,"的垂直平分線交

助于點6,交物的延長線于點凡求跖的長.

【難度】★★

【答案】5

【解析】聯結應

；￡61垂直平分CD,

：.EOED,/￡綏/介45°,:.NCED=9Q°,

VZJ=90°,AD//BC,.,.四邊形劭比是矩形，

：.BC=AE.

設BOx=AE,：.ED^EC=AB=5~x

；/例=/面氏45°,...△/!￡尸是等腰直角三角形，

：.AF^AE=x

B叫BA+A片5-x+產5.

【總結】本題考查中垂線的性質，等腰直角三角形，直角梯形的性質的綜合運用，注意用整

體思想求出線段跖的長.

例15.如圖，在梯形47切中，AD//BC,AB=AD=DC,/斤60°,

(3)求證：ABVAC-,

(4)若屐6,求梯形力靦的面積.

【難度】★★

【答案】(1)見解析；(2)27g.

【解析】（I）'：AB-CD,，/左/比定60°,NBA慶N店120°

,:AFDC,：.ADAC=ADCA=^°

:.NBAONBAD~NDAC=120°-30°=90°

：.BAA.AC；

(2)'：A^AD=DC,DC=6,:.。A!>AB=6

在直角三角形力犯中，?.?//1華30°,：.BO2AB=12

作/lELBC,貝IJ4后36，

【總結】本題主要考查含30°的直角三角形性質與梯形面積公式的綜合運用.

例16.如圖，在梯形力加力中，AD//BC,CA平■分乙BCD,DE//AC,交勿的延長線于點后Z

【難度】★★

【解析】：力「平分/8必

：.ZBCA=ZACD--ZDCB

2

'：DE//AC,：.Z^ZACB--ADCB

2

：N#2N￡,：.4B=NDCB

?.?梯形中，AD//BC,

：.AB-CD

【總結】本題考查等腰梯形性質與角平分線的綜合運用，注意對基本模型的總結運用.

例17.如圖，在等腰三角形/8C中，點久￡分別是兩腰/C、■上的點，聯結應、切相交

于點〃，Z1=Z2.

求證：梯形颯T是等腰梯形.

A

【難度】★★

【解析】：AB=AC,AADB(=AECB

在叢BCD與AECB中,N1=N2,B(=BC

:ZC隘MCB,：.BD-CE

,：AB-AC,：.AD=AE,：.NADE=ZAED-；(180°—ZA)=N4陷ZACB

，DE//BC,又BD與四不平行

...四邊形劭￡C是梯形，且劭=◎；.?.梯形做笫是等腰梯形

【總結】本題考查等腰梯形判定定理的運用，注意證明梯形的方法的總結.

例18.如圖，梯形如叱中，。為直角坐標系的原點，爾B、C的坐標分別為(14,0)、

(14,3)、(4,3).點八。同時從原點出發，分別作勻速運動，點/處以每秒1個

單位向終點/運動，點0沿小、%以每秒2個單位向終點6運動.當這兩點中有一點到達

自己的終點時，另一點也停止運動.

(1)設從出發起運動了x秒，當x等于多少時，四邊形0鋁C為平行四邊形？

(2)四邊形勿"C能否成為等腰梯形?說明理由.

【難度】★★

【答案】(1)尸5；(2)不能.

【解析】(1)由題可知：0(=5,陷10,0/1=14.

'：BC//OA

.?.當0點在比'上，且華。時，四邊形0顰C是平行四邊形

即2尸5=x,解得：x=5；

(2)作點「作加總于點E,過點。作QFLOP馬點、F

'：AO//BC,:.C2QF

當小用4時，MOG恒△PQF,此時四邊形O/RC為等腰梯形，

即OP=OE+CQrPF,：.x=4+（2尸5）+4,解得：尸-3（舍），

四邊形OA2C不能成為等腰梯形.

【總結】本題考查梯形的性質，平行四邊形的判定與性質以及等腰梯形的判定與性質的綜合

運用，注意掌握輔助線的做法，以及數形結合思想與方程思想的綜合運用.

例19.如圖，等腰梯形花圃480的底邊/〃靠墻，另三邊用長為40米的鐵欄桿圍成，設該

花圃的腰的長為x米.（1）請求出底邊回的長（用含x的代數式表示）；（2）若N

BAD=60°,該花圃的面積為S米2,求S與x之間的函數關系式，指出自變量x的取值范

圍，并求當我68G時x的值.

【難度】★★★

【答案】（1）除40-2x；（2）S=--x2+2O>/3x（0<x<20）,產4.

4

【解析】（1）等腰梯形力陽?中，AB^CAx,，於=40-丫-尸40-2國

（2）作應UBCFLAD

在以△/烈中，吐30。，：.A^-x.

2

?mA'.RFCL-瓜

In可理f|卜廬Ak-x,..Bh-Cb----.

22

???止給40一2筋???力加40r

.c(BC+AD)BE1....、瓜一3后二”耳…

?.S=------------=-(40-2%+40-x)----=-------+20\/3x(0<x<20),

2224

當S=686時，代入解析式，解得：尸4或x=竺(舍)

3

當9686時x的值為4.

【總結】本題考查等腰梯形性質與函數解析式的結合，注意面積公式中各個量的含義.

例20.已知，一次函數y=-1x+4的圖像與x軸，y軸，分別交于48兩點，梯形AOBC

4

(。是原點)的邊/白5,(1)求點C的坐標；(2)如果一?個一次函數y=依+分(K6為常

數，且〃W0)的圖像經過4、C兩點，求這個一次函數的解析式.

【難度】★★★

464464

【答案】(1)2(13,4)或(19,4)或(16,5)；(2)產，》+上或y一上.

33-33

【解析】由題可知：A(16,0),B(0,4).

當如〃然時，點C坐標為(16,5),

當外〃40時，點C坐標為(13,4)或(19,4)；

(2)?.?一次函數的圖像經過/、C兩點，點坐標不能為(16,5),

當1(16,0),<7(13,4)時，利用待定系數法可得解析式為：y=--x+—；

33

當/(16,0),C(19,4)時，利用待定系數法可得解析式為：y=ix--.

33

【總結】本題考查直角梯形性質及一次函數的綜合運用，注意分類討論，綜合性較強.

例21.如圖，直角梯形力中，AB//CD,ZJ=90°,/戶6,4M,DO3,動點一從點/出

發，沿方向移動，動點0從點4出發，在48邊上移動.設點尸移動的路程為

x,線段的長度為y,線段用平分梯形/及力的周長.

(1)求y與x的函數關系式，并求出這個函數的定義域；

(2)當戶不在外邊上時，線段倒能否平分梯形/靦的面積?若能，求出此時x的值；若

不能，請說明理由.

【難度】★★★

【答案】⑴y=-x+9(3<x<9)；

(2)尸3時，々平分梯形面積.

【解析】(1)過點「作CEU8于點E,則OAE=3,。層4,

可得：除5,所以梯形4版的周長是18.

???尸。平分梯形/質的周長，

尸9,*.*0<y<6,A3<x<9,

y=-x+9(3<x<9)；

(2)由題可知，梯形4%》的面積是18.

因為乃不在放上，所以3WxW7.

當3Wx<4時，尸在4?上，此時心中=!孫，

???線段偌能平分梯形四，力的面積，則有3孫=9

可得方程組[f：解得：:或，=6(舍)；

[xy=18[y=6[y=3

當4WA<7時，點〃在切上，此時SA〃0='x4(x-4+y)

?.?線段PQ能平分梯形ABC!)的面積，則有lx4(x-4+y)=9

可得方程組卜)'=9,方程組無解，

[2x+2y=17

當戶3時，線段圖能平分梯形46四的面積.

【總結】本題利用梯形的性質，三角形的面積公式，建立方程和方程組求解，注意針對不同

情況討論，利用數形結合的思想進行計算.

模塊二：輔助線

知識精講

解決梯形問題常用的方法

②作高法：使兩腰在兩個直角三角形中；

②移腰法：使兩腰在同一個三角形中，梯形兩個下底角是互余的，那么一般會用到這種添

輔助線的方式，構造直角三角形；

③延腰法：構造具有公共角的兩個等腰三角形；

④等積變形法：聯結梯形上底一端點和另一腰中點，并延長與下底延長線交于一點，構成

三角形；

⑤移對角線法：平移對角線，可以構造特殊的圖形，如平行四邊形，如果是對角線互相垂

直

的等腰梯形，那么在平移的過程中，還可構造等腰直角三角形，結合三線合一，求梯形的

置問

等.

例題解析

例1.如圖，已知在梯形A8CD中，AD〃BC,AB=AD=CD=13,AEVBC,垂足為

E,AE=12,則8c邊的長等于()

A.20B.21C.22D.23

【難度】★★

【答案】D

【解析】AB=13,A￡=12,：.BE=5.

梯形4BCO中，AD//BC,AB=CD.AE1BC,

：.BC=AD+2BE=\3+2x5=23,故選D.

【總結】本題主要考查等腰梯形性質的綜合運用.

例2.已知梯形ABCD中，AD//BC,N8=70,NC=40,AD=2,3c=10.求。C的

長.

【難度】★★

【答案】切=8.

【解析】作應7/4?,則四邊形/版是平行四邊形.

：.AD-BE^2,陷/廬70°.

在△龍。中，N信40°,；./瓦?0180°-40°-70°=70°,C次小於法10-2=8.

【總結】本題考查輔助線——做一邊的平行線，構造平行四邊形.

例3.如圖，梯形A8CD中，ABUCD,NA+NB=90,AB=b,CD=a,E、F分

別為A3、8的中點，則￡尸的長等于（）

.b+a口b+a萬b-ab-a

/j?D?C.〃n?

D,

----------j----------

【難度】★★

【答案】C

【解析】分別過點尸做尸6/“〃，FH//BC,分別交劭于點G,H

可得平行四邊形DFGA與平行四邊形FCBH

:.AG=F2CAB4、CD=La,：.GH=b-a

22

生90°,.,.可得直角△/?的，￡■是由中點

：.EF--GH=-(b-a),故選C.

22

【總結】本題考查直角三角形中線性質與梯形輔助線的添加.

例4.已知：如圖，在梯形力成力中，AD//BC,AB=AC,N幽華90°,BD=BC,BD交.AC于0.求

【難度】★★

【解析】作DELBC,'：AD//BC,:.A六DE.

,:BOBD,：.DE=-BD.

22

:.在Rt/XBDE中,N龐仁30。，：.ABCD-ABDC^Q

:.NDOONDBC+NAMT,：.Z.CDO=ACOD=1^,ACD=CO.

【總結】本題考查梯形的常用輔助線一做梯形的高，把梯形問題轉化成三角形,矩形的問題,

然后根據已知條件和三角形性質解題.

例5.在等腰梯形中，AD//BC,AB-DC,對角線“'與仍相交于點0,Z5（26=60°,

4010c"求梯形的高座,的長.

【難度】★★

【答案】5也cm.

【解析】等腰梯形力質中，

-：0B=0C,NHG60°,可得等邊△?,

■：A<=BD=10,二在直角aS宏中，BB--BD=5,

2

DE=5s/3cm.

【總結】本題考查梯形的相關計算，注意方法的運用.

例6.如圖，在梯形4%中，AD//BC（BC>AD）,ZD=90°,BC=CD=12,

ZABE=45。，若力后10,則CB=.

【難度】★★★

【答案】4或6.

【解析】過點6作物的垂線交DA延長線于機M為垂足,

延長〃"至ijG,使得MG=CE,聯結BG,

可得四邊形式"/是正方形.

：.BG=BM,/e/8價90°,EOGM,:.叢BEg叢BMG,:.NMBG=/CBE

；/4陷45°,:.NCBE+NABlf=45°,：.NABM=45°,

:"A