9.2.1向量的加減法一、向量的加法運算1、定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。2、三角形法則：已知非零向量a，b，在平面內任取一點A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，向量AC叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC3、平行四邊形法則：已知不共線的兩個向量a，b，在平面內任取一點O，以同一點O為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作?OACB，對角線OC就是a與b的和【規定】零向量與任一向量a的和都有a＋0eq\a\vs4\al(＝)0＋a＝eq\a\vs4\al(a).【注意】（1）在使用向量加法的三角形法則時，要注意“首尾相接”，即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合，則以第一個向量的起點為起點，并以第二個向量的終點為終點的向量即兩向量的和；（2）平行四邊形法則的應用前提是“共起點”，即兩個向量是從同一點出發的不共線向量．4、向量加法的運算律結合律：a＋b＝b＋a交換律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)二、向量的減法1、相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.（1）規定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；（2）－(－a)＝a；（3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；（4）若a與b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.【注意】相反向量與相等向量一樣，從“長度”和“方向”兩方面定義，相反向量必為平行向量．2、向量的減法（1）定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量.（2）幾何意義：以O為起點，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up7(→))＝a－b，如圖所示，即a－b可表示從向量b的終點指向向量a的終點的向量．【注意】在用三角形法則作向量減法時，只要記住“連接向量終點，箭頭指向被減向量”即可．題型一向量的加法法則及應用【例1】（2022秋·高一）已知用向量加法的三角形法則作出.（1）；（2）.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析【解析】（1）（2）【變式1-1】（2022·高一）如圖，請在圖中直接標出：（1）＋．（2）＋＋＋．【答案】見解析【解析】（1），如圖所示：（2）＋＋＋，如圖所示：【變式1-2】（2022·高一課時練習）（多選）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計算正確的是（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】由平行四邊形加法法則可得：，A正確；由三角形加法法則，B錯誤；，C正確；，D正確.故選：ACD【變式1-3】（2022秋·高一課時練習）如圖，O為正六邊形ABCDEF的中心，作出下列向量：（1）；（2）（3）．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析【解析】（1）因為四邊形OABC是以OA，OC為鄰邊的平行四邊形，OB為其對角線，所以．（2）因為與方向相同且長度相等，所以與是相同的向量，從而與方向相同，長度為長度的2倍，因此，可用表示，即．（3）因為與是一對相反向量，所以．題型二向量的減法法則及應用【例2】（2022·高一課時練習）如圖，已知向量，，求作向量．【答案】如圖，（1）（2）【解析】（1）如圖，將向量的起點平移到向量的起點，以向量的終點為起點，向量的終點為終點的向量即為向量；（2）如圖，將向量的起點平移到向量的起點，以向量的終點為起點，向量的終點為終點的向量即為向量；【變式2-1】（2022·高一）在中，分別是的中點，則_________.【答案】【解析】利用三角形中位線定理知，所以.故答案為：【變式2-2】（2022秋·甘肅張掖·高一高臺縣第一中學校考階段練習）（多選）如圖，D，E，F分別是的邊AB，BC，CA的中點，則等于（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】因為D，E，F分別是的邊AB，BC，CA的中點，所以,且，，且，所以，，所以，故選：BCD.【變式2-3】（2022·高一課前預習）化簡下列式子：（1）；（2）；【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式（2）原式題型三向量加減法運算化簡【例3】（2022秋·重慶江北·高一校考階段練習）化簡：（?）A．B．C．D．【答案】B【解析】故選：.【變式3-1】（2022·高一課時練習）化簡（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）=（2）==.【變式3-2】（2022·高一課時練習）化簡：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）.【變式3-3】（2022·全國·高一專題練習）化簡下列各式：①；②；③；④.其中結果為的個數是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】①；②；③；④；以上各式化簡后結果均為,故選:D題型四利用向量加減法證明等式【例4】（2021·高一課時練習）如圖，已知點、、分別是三邊、、的中點，求證：.【答案】證明見解析.【解析】證明：連接、、，如圖，、、分別是三邊的中點，，，四邊形為平行四邊形，由向量加法的平行四邊形法則，得①，同理在平行四邊形中，②，在平行四邊形在中，③，將①②③相加，得.【變式4-1】（2022·高一課時練習）如圖，已知D，E，F分別為的三邊，，的中點，求證：．【答案】證明見解析【解析】由題意知，，，由題意可知，．．【變式4-2】（2022·高一課時練習）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于O點，P為平面內任意一點.求證：＋＋＋＝4.【答案】證明見解析【解析】證明：∵＋＋＋，＋＋＋＝4.【變式4-3】（2021·高一課時練習）已知、、分別是的邊、、的中點，是平面內任意一點．求證：．【答案】證明見解析【解析】如下圖所示：由已知可得，所以，，同理可得，，所以，，因此，.題型五向量加減法在幾何中的應用【例5】（2022秋·廣東梅州·高一梅州市梅江區嘉應中學校考階段練習）如圖所示，在四邊形中，＝，則四邊形為（）A．矩形B．正方形C．平行四邊形D．菱形【答案】C【解析】根據平面向量的加法的平行四邊形法則，若＝，則四邊形是平行四邊形.故選：C.【變式5-1】（2022秋·高一課時練習）在中，若，則的形狀為（）A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】因為，，所以，所以為等邊三角形．故選：A．【變式5-2】（2022·高一課時練習）在平行四邊形ABCD中，，則必有（）A．四邊形ABCD是矩形B．＝或＝C．＝D．四邊形ABCD是正方形【答案】A【解析】由ABCD構成四邊形可知，BC錯誤；在平行四邊形ABCD中，，，由題知，即平行四邊形的對角線相等，所以四邊形ABCD是矩形，A正確；易知四邊形ABCD不一定是正方形，故D錯誤.故選：A.【變式5-3】（2022秋·山東威海·高一乳山市第一中學校考階段練習）P為四邊形ABCD所在平面上一點，，則P為（）．A．四邊形ABCD對角線交點B．AC中點C．BD中點D．CD邊上一點【答案】B【解析】，，即，故，，故P為AC中點.故選：B.題型六向量加減法在實際中的應用【例6】（2022·高一課時練習）有一條東西向的小河，小船以20km/h的靜水速度按北偏西方向行駛，同時河水的流速為向東10km/h，則小船實際航行速度的大小和方向？【答案】km/h，正北方向【解析】如圖所示：在中，，，則，因為，所以所以方向為正北方向.【變式6-1】（2022·全國·高一專題練習）一艘船在水中航行，水流速度與船在靜水中航行的速度均為.如果此船實際向南偏西方向行駛，然后又向西行駛，你知道此船在整個過程中的位移嗎?【答案】兩次位移的和位移的方向是南偏西，位移的大小為.【解析】用表示船的第一次位移，用表示船的第二次位移，根據向量加法的三角形法則知：，可表示兩次位移的和位移.由題意知，在中，，則，，在等腰中，，，∴，，兩次位移的和位移的方向是南偏西，位移的大小為.【變式6-2】（2022·高一單元測試）2020年10月27日，在距離長江口南支航道0.7海里的風機塔上，東海航海保障中心上海航標處順利完成臨港海上風電場AIS（船舶自動識別系統）基站的新建工作，中國首個海上風機塔AIS基站宣告建成.已知風機的每個轉子葉片的長度為20米，每兩個葉片之間的夾角相同，風機塔（桿）的長度為60米，葉片隨風轉動，假設葉片與風機塔在同一平面內，如下圖所示，則的最小值為（）A．40B．C．D．80【答案】A【解析】由題知，，即，則，則當風葉旋轉到最低點時，最小，且值為.故選：A【變式6-3】（2021·全國·高一專題練習）如圖所示，一架飛機從A地按北偏東35°的方向飛行到達B地，然后又從