高中數學競賽數列問題高考數列知識及方法應用（見考綱）二階高次遞推關系因式分解降次。例：正項數列｛aｎ},滿足,求ａn(化異為同后高次）兩邊取對數降次。例:正項數列{aｎ}，ａ1=1，且an·aｎ+12=36，求an線性遞推數列的特性方程法定理1：若數列{aｎ}的遞推關系為aｎ+2=λ１ａn+1＋λ2aｎ，則設特性方程x2＝λ1ｘ+λ2,且此方程有相異兩根x１,x2（x1≠ｘ2），則必有an＝ｃ1x１ｎ＋c2x２ｎ,其中c１,c2由此數列已知前2項解得,即或由得到。（見訓練及考試題）定理2：若方程x2=λ1x＋λ２有相等重根x0，則有an=(c1+ｃ2ｎ）x0n,其中c１，ｃ2仍由定理1方程組解得。例如.:1,已知．數列滿足,求數列的通項公式2,.數列中，設且,求數列的通項公式3,.數列滿足：證明：(1）對任意為正整數；(2）求數列的通項公式。４,已知.數列滿足都有,求數列的通項公式特殊遞推的不動點法（f(ｘ）=x的解稱為f(x)的不動點)定理1：若數列{an}滿足遞推:aｎ+1=a·ａn+b（a，b∈R)，則設x=aｘ+ｂ，得不動點且數列遞推化為：aｎ+１－x0=ａ(an－ｘ０），進而用構造法解得。定理2:若數列{aｎ}滿足遞推:，則設，得不動點ｘ1,ｘ２，若ｘ1≠x2，則原遞推化為:,再由構造法解得。若x１=x2＝x0,即有唯一不動點x0時，原遞推可化為:，再由構造法解得。例如：１,在數列｛ａn｝中，若a1=１,an+1=２aｎ+3（n≥１)，求該數列的通項an2,已知.數列滿足：，求該數列的通項an３,已知.數列滿足：,求該數列的通項ａｎ遞推構造法若數列遞推滿足aｎ+１=ｋ１an＋ｋ2·２n，注意構造變形為（aｎ＋１+A·2n+1)=k1(an+A·２n),展開后與原遞推相同,求出A得值，再化為等比數列解決。若數列遞推滿足an+１=k1an+ｋ2n2＋k3ｎ,注意構造變形為(an+1+Ａ(n+1)２+B(ｎ+1)+c)＝k１（ａn＋An2＋Bn＋c)，展開后與原遞推相同而求出A,B,C的值，再化為等比數列解決。若數列為an+1=－3an＋2ｎ－n呢?例如:1，求所有a０∈R,使得由aｎ+1=２ｎ－３an（n∈N)所擬定得數列a０,a1,a2，…是遞增的。2，某運動會開了n天，共發出m枚獎牌:第一天發出1枚加上余下的,第二天發出2枚加上余下的；如此連續了天,第n天發出n枚.該運動會開了_＿_____＿天,共發了＿＿_＿_＿_＿_＿_＿枚獎牌.后注:以上方法相輔相成，不可孤立理解,當條件不符合時不可隨意應用。例:若不知a1,ａ2的擬定值,ａn+2＝2an+1+３ａn都不可以用特性方程法。望大家結合數列其他講義及考題認真領略。數列訓練題1.（2０2３年廣東卷)在德國不萊梅舉行的第4８屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干準“正三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，就一個乒乓球；第2、３、４、…堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放．從第一層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓球,以表達第ｎ堆的乒乓球總數，則；(答案用ｎ表達).２.(2023年重慶卷）在數列{aｎ｝中，若a1=1，aｎ+1=2aｎ+３(ｎ≥１）,則該數列的通項ａn=_＿___.３.(２023年全國卷ＩI）函數f（x)＝EQ\i\ｓu(i=1，19，|ｘ-n|）的最小值為（）(Ａ）１90(Ｂ）171(C)９0(D）454．(20２3年全國卷I)設是公差為正數的等差數列,若，，則Ａ.B．C.D.5．（2023年江西卷）已知等差數列｛aｎ}的前ｎ項和為Sｎ，若,且Ａ、B、Ｃ三點共線（該直線但是原點O）,則S２0０=（)Ａ．１００B.101C．２0０Ｄ.2０16.(２0２3年遼寧卷）在等比數列中，，前項和為,若數列也是等比數列,則等于(A)(B)(C)(D)７．(２０２３年山東卷)已知a1=2,點（an，an+1)在函數ｆ(x)=x２+２x的圖象上,其中=１，2,3,…證明數列｛lg（１+aｎ)}是等比數列；設Tn=(１+a１）(1＋a2)…(１+an)，求Ｔn及數列{an｝的通項；記ｂn=,求{ｂn}數列的前項和Sｎ，并證明Sｎ+=1．8．(2023年上海卷）已知有窮數列共有2項（整數≥2），首項=２．設該數列的前項和為，且＝＋2(＝1，2，┅，2－1),其中常數＞1．(１)求證:數列是等比數列;（2)若＝2，數列滿足=(＝1，2，┅,2)，求數列的通項公式;（3）若(２)中的數列滿足不等式｜-|+｜-|+┅+｜－｜＋|-|≤４，求的值．9．（202３年全國卷ＩI)設數列｛ａn｝的前n項和為Sｎ，且方程x２－anｘ－an=0有一根為Ｓn-1,n＝1,2,３,….(Ⅰ）求a１，a2；（Ⅱ)｛an}的通項公式．（只須寫出即可)１0.(20２３年上海春卷)已知數列，其中是首項為1,公差為1的等差數列;是公差為的等差數列;是公差為的等差數列(）.（1)若，求；（2)試寫出關于的關系式，并求的取值范圍;（3）續寫已知數列，使得是公差為的等差數列，……，依次類推，把已知數列推廣為無窮數列.提出同（２）類似的問題（(2）應當作為特例),并進行研究，你能得到什么樣的結論？11.（2023年廣東卷）已知公比為的無窮等比數列各項的和為9,無窮等比數列各項的和為．（Ⅰ)求數列的首項和公比；(Ⅱ)對給定的,設是首項為,公差為的等差數列．求數列的前10項之和；(Ⅲ)設為數列的第項，,求，并求正整數，使得存在且不等于零.12．(2023年福建卷）已知數列滿足?（I）求數列的通項公式； (II)證明：１3．(202３年安徽卷)數列的前項和為，已知(Ⅰ）寫出與的遞推關系式，并求關于的表達式；(Ⅱ）設，求數列的前項和14.（20２3年全國卷I）設數列的前項的和，（Ⅰ）求首項與通項；(Ⅱ)設,,證明：１5.(20２3年江西卷）已知數列{ａn}滿足:a1=,且an＝求數列｛an}的通項公式;數列競賽訓練題1.數列中，設且，求數列的通項公式.2．已知.數列滿足，求數列的通項公式3．已知．數列滿足,求數列的通項公式4．已知．數列滿足,求數列的通項公式5.數列中,設且,求數列的通項公式6.數列中,設且，求數列的通項公式7.數列滿足：,假如前1492項的和是1985，而前1985項的和為１492,求該數列的前2023項之和.8.已知.數列滿足,求數列的前項和．參考答案1．１0,２．aｎ＝．3.C４.B,，將代入，得，從而。選Ｂ。5.解:依題意，a1＋a200=1,故選A6.【解析】因數列為等比,則,因數列也是等比數列,則即，所以，故選擇答案C。７．(2),;9.解:(Ⅰ）當n=1時，x２－a1x-a１=0有一根為S１-1=a1－1，于是(a1-1）2-a１（a1－1)－ａ１＝0，解得a1＝EQ\ｆ（1,2)．當n=2時,ｘ2－ａ2x-a2＝0有一根為Ｓ２-1=a２-EQ\ｆ（1,2)，于是(a2－EＱ\f(1,2))2－a2(a2-EQ＼f(１,2))-a2＝０,解得a1＝EQ\ｆ(1,6).（Ⅱ)由題設(Sn－1)２－aｎ(Ｓn-1)-an=0,即Sn2－2Sｎ＋1－anSn=0．當n≥2時,an=Sn－Sn-1,代入上式得Ｓn－1Sn-2Sn+1＝０①由(Ⅰ)知S1＝ａ1=EQ\f(1,2）,Ｓ２=a1＋ａ2＝ＥQ\ｆ（1，2）+EQ＼f(1,６)＝ＥＱ＼f(2,3).由①可得Ｓ３=ＥQ\f(3，4）．由此猜想Sｎ=EＱ＼ｆ(ｎ,n+1)，ｎ＝１，２，3，….下面用數學歸納法證明這個結論.(i)n＝1時已知結論成立.(iｉ)假設n=k時結論成立，即Ｓｋ=EＱ\f(k,k＋1)，當n＝ｋ＋1時，由①得Sk＋１=ＥQ\ｆ(1,2－Ｓ\S\dｏ（ｋ)），即Ｓｋ＋1=EQ\f(ｋ+１,k＋２),故n＝ｋ+1時結論也成立.綜上,由(ｉ)、（ii）可知Sn=EＱ\f（ｎ,ｎ+１）對所有正整數n都成立．于是當ｎ≥2時，ａn＝Sn-Ｓｎ－1=EQ＼f(n,n＋1）-ＥQ\f(n-1,n)=EQ＼f(1，ｎ（n＋1))，又n=１時,a1＝EQ\f(1,2)=EQ\f（1,１×２)，所以{an｝的通項公式an=EQ\ｆ（ｎ,ｎ+１)，n＝1,2，3,….10.[解］(1).(２），，當時，.（3）所給數列可推廣為無窮數列，其中是首項為1，公差為1的等差數列,當時,數列是公差為的等差數列.研究的問題可以是:試寫出關于的關系式，并求的取值范圍.研究的結論可以是:由,依次類推可得當時,的取值范圍為等.11.解：（Ⅰ)依題意可知,(Ⅱ)由(Ⅰ）知,,所以數列的的首項為,公差,,即數列的前1０項之和為１55.(Ⅲ)＝==，，＝當m=2時,=－，當m>2時,=0，所以m=21２.(Ｉ)解：??是認為首項，2為公比的等比數列。 即 (ＩＩ)證法一： ①?② ②－①，得?即???③－④，得?即 是等差數列。 證法二:同證法一，得 令得?設下面用數學歸納法證明?(1)當時,等式成立。?（２）假設