2021年廣東省中考數學一模測試卷

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）如果。表示有理數，那么下列說法中正確的是（）

A.和-（-a）互為相反數B.+〃和-〃一定不相等

C.-a一定是負數D.-（+a）和+（-a）一定相等

2.（3分）某同學在今年的中考體育測試中選考跳繩.考前一周，他記錄了自己五次跳繩的

成績（次數/分鐘）：247,253,247,255,263.這五次成績的平均數和中位數分別是（

)

A.253,253B.255,253C.253,247D.255,247

3.（3分）在平面直角坐標系中，點4-3,-2）關于y軸的對稱點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.（3分）一個多邊形每個外角都等于36。，則這個多邊形是幾邊形（）

A.7B.8C.9D.10

5.（3分）要使，7有意義，則a的值是（）

A.a.OB.a>GC.avOD.a=0

6.（3分）如圖，在四邊形ABC。中，點尸是邊8上的動點,點。是邊8c上的定點，連

接AP,PQ,E,F分別是AP,PQ的中點，連接EF.點尸在由C到￡>運動過程中,

A.保持不變B.逐漸變小

C.先變大，再變小D.逐漸變大

7.（3分）拋物線y=（x-l）2+3關于x軸對稱的拋物線的解析式是（）

A.y——1)+3B.y={x+1)"+3C.y={x—I)2—3D.y=—(x—1)~—3

9r+7>4v+1

8.（3分）若關于x的不等式組fc的解集為無<3,則攵的取值范圍為（）

X-K<2

A.k>\B.k<\C.k.AD.k,,l

9.（3分）如圖：將邊長為6的正方形紙片ABCD折疊，使點。落在4?邊中點E處，點。

落在點。處，折痕為"7,則線段AF的長是（）

aQ

A.2B.-C.3D.-

45

10.（3分）二次函數y=62+云+03H0）的圖象如圖所示，下列結論：

@Z?2-4?C>0；②abc<0；③船+。=0；?4a-2h+c>0.

其中正確結論的個數是（）

二.填空題（共7小題，滿分28分，每小題4分）

11.（4分）彳七簡：Q+1+。（。+1）+。（。+1）~+...+Q（Q+I）。'=.

12.（4分）單項式與;/嚴?是同類項，則.

13.（4分）若^/^二+屹-2|=0,則（。+勿2。2。的值為.

14.（4分）已知a+/?=2,ab=\y求4—2。〃+/?的值為.

15.（4分）如圖，在菱形4?CD中，AB=4,按以下步驟作圖：①分別以點。和點。為圓

心，大于1CZ）的長為半徑畫弧，兩弧交于點M,N；②作直線MN,且MN恰好經過點A,

2

與CO交于點E,連接BE,則BE的值為.

16.（4分）如圖，AB,AC,BC是|。的三條弦，ODLAB,OE1BC,OF±AC,

且OD=OE=OF,則弧4。=弧=弧,ZABC=°,MBC是

三角形.

17.（4分）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,BC=4,AC=IO,點。是AC上的一個

動點，以CD為直徑作圓O,連接班）交圓O于點E,則的最小值為.

三.解答題（共3小題，滿分18分，每小題6分）

18.（6分）先化簡，再求值：（2x-y）2-4（x+y）（x-y）+5x）＞,其中x=6,y=-2.

19.（6分）校醫院調查在校七年級學生的體重，對七年級30名男生進行了調查，平均體重

為48依，你覺得這個可以作為七年級學生平均體重的估計嗎？為什么？

20.（6分）如圖，已知AB=AC,AD^AE,8￡）和CE相交于點O.

（1）求證：AABD=AACEi

（2）判斷ABOC的形狀，并說明理由.

D

BC

四.解答題（共3小題，滿分24分，每小題8分）

21.（8分）閱讀理解，并回答問題：

若司,々是方程依2+Z?x+c=O的兩個實數根，則有以2+云+￡=。（]一%）（工一工2）.即

12

ax+bx+c=ax-a{x{+x2）x+ax1x2,于是/?二一”（可+七），c=ax]x2.由此可得一元二次方

程的根與系數關系：A,+X,=--,%X,=￡.這就是我們眾所周知的韋達定理.

aa

（1）已知m,”是方程d-x-100=0的兩個實數根，不解方程求加+〃2的值；

（2）若玉，x,?x3,是關于x的方程x（x-2>=f的三個實數根，且X[<w<X3；

①再當+x2xy+4占的值；②求鼻-X]的最大值.

22.（8分）如圖，在。中，點C為AB的中點，ZACB=120°,OC的延長線與AD交于

點。，且4>=NB.

（1）求證：4）與O相切；

23.（8分）倡導健康生活推進全民健身，某社區去年購進A,B兩種健身器材若干件，經

了解，3種健身器材的單價是A種健身器材的1.5倍，用7200元購買A種健身器材比用5400

元購買5種健身器材多10件.

（1）A,8兩種健身器材的單價分別是多少元？

（2）若今年兩種健身器材的單價和去年保持不變，該社區計劃再購進A,B兩種健身器材

共50件，且費用不超過21000元，請問：A種健身器材至少要購買多少件？

五.解答題（共2小題，滿分20分，每小題10分）

24.（10分）在如圖平面直角坐標系中，矩形。4BC的頂點5的坐標為（4,2）,Q4、OC分

別落在x軸和y軸上，08是矩形的對角線.將AOAB繞點O逆時針旋轉，使點5落在y軸

上，得到△（?￡>￡,O￡>與C8相交于點F,反比例函數y=&（x>0）的圖象經過點E,交4?

X

于點G.

（1）求k的值和點G的坐標；

（2）連接尸G,則圖中是否存在與ABFG相似的三角形？若存在，請把它們一一找出來，

并選其中一種進行證明；若不存在，請說明理由；

（3）在線段04上存在這樣的點P,使得APFG是等腰三角形.請直接寫出點P的坐標.

1a

25.（10分）如圖，拋物線yn-5Y+'x+z與x軸交于點A,點8,與y軸交于點C,點

。與點C關于x軸對稱，點尸是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（見0）,過點尸作x軸

的垂線/交拋物線于點Q.

（1）求點A、點6、點C的坐標；

（2）當點P在線段08上運動時，直線/交直線8。于點用，試探究機為何值時，四邊形

CQMZ）是平行四邊形；

（3）點P在線段鉆上運動過程中，是否存在點Q,使得以點3、。、M為頂點的三角形

與相似？若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

2021年廣東省中考數學一模測試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題，滿分30分，每小題3分)

1.(3分)如果a表示有理數，那么下列說法中正確的是()

A.+a和-(-a)互為相反數B.+a和-a一定不相等

C.-a一定是負數D.-(+a)和+(-a)一定相等

【分析】根據相反數的定義去判斷各選項.

【解答】解：A、+a和-(-必互為相反數；錯誤，二者相等；

B、+。和一定不相等；錯誤，當a=O時二者相等；

C、一定是負數；錯誤，當4=0時不符合；

D>-(+a)和+(-a)一定相等；正確.

故選：D.

【點評】本題考查了相反數的定義及性質，在判定時需注意0的界限.

2.(3分)某同學在今年的中考體育測試中選考跳繩.考前一周，他記錄了自己五次跳繩的

成績(次數/分鐘)：247,253,247,255,263.這五次成績的平均數和中位數分別是(

)

A.253,253B.255,253C.253,247D.255,247

【分析】根據中位數、眾數的計算方法，分別求出結果即可.

［解答］解：1=(247+253+247+255+263)+5=253,

這5個數從小到大，處在中間位置的一個數是253,因此中位數是253；

故選：A.

【點評】本題考查中位數、眾數的意義和計算方法，掌握中位數、眾數的計算方法是正確計

算的前提.

3.(3分)在平面直角坐標系中，點A(-3,-2)關于y軸的對稱點在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根據關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數求出對稱點的坐標，再根

據各象限內點的坐標特點解答.

【解答】解：點人(-3,-2)關于曠軸的對稱點是(3,-2),

A（-3,-2）關于y軸的對稱點在第四象限.

故選：D.

【點評】此題主要考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標規律，比較容易，關鍵是熟記規律:

（1）關于x軸對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數.（2）關于y軸對稱點

的坐標特點：橫坐標互為相反數，縱坐標不變.

4.（3分）一個多邊形每個外角都等于36。，則這個多邊形是幾邊形（）

A.7B.8C.9D.10

【分析】多邊形的外角和是360。，又有多邊形的每個外角都等于36。，所以可以求出多邊形

外角的個數，進而得到多邊形的邊數.

【解答】解：這個多邊形的邊數是：生田=10.故答案是/）.

36°

【點評】本題考查多邊形的外角和，以及多邊形外角的個數與其邊數之間的相等關系.

5.（3分）要使■有意義，則。的值是（）

A.a..0B.a>0C.a<0D.a=0

【分析】根據被開方數大于等于0列不等式求解即可.

【解答】解：由題意得，-決.0，

解得a=0.

故選：D.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式中的被開方數必須是非負數，否則二

次根式無意義.

6.（3分）如圖，在四邊形至8中，點P是邊CZ）上的動點，點。是邊3c上的定點，連

接好，PQ,E,尸分別是"，的中點，連接所.點P在由C到。運動過程中，

線段EF的長度（）

A.保持不變B.逐漸變小

C.先變大，再變小D.逐漸變大

【分析】連接AQ,根據三角形中位線定理解答即可.

【解答】解：連接AQ,

點。是邊8c上的定點，

AQ的大小不變，

E,E分別是AP,PQ的中點，

:.EF=^AQ,

???線段防的長度保持不變，

故選：A.

BQC

【點評】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第

三邊的一半是解題的關鍵.

7.(3分)拋物線y=(x-iy+3關于x軸對稱的拋物線的解析式是()

A.y=-(x-l>+3B.y=(x+l>+3C.y=(x-l)2-3D.y=-U-l)2-3

【分析】拋物線y=(x-lf+3的頂點坐標為(1,3),關于x軸對稱的拋物線頂點坐標為

(1,-3),且開口向下，將二次項系數變為原拋物線二次項系數的相反數，用頂點式寫出新拋

物線的解析式即可.

【解答】解：y=(x-+3的頂點坐標為(1,3),

.??關于x軸對稱的拋物線頂點坐標為(1,-3)，且開口向下，

二所求拋物線解析式為：J=-(X-1)2-3.

故選：D.

【點評】本題考查了二次函數圖象的軸對稱與解析式的關系.關鍵是明確頂點的對稱及拋物

線開口方向的變化對解析式的影響.

[2丫+7>4龍+1

8.(3分)若關于x的不等式組.，。的解集為xv3,則左的取值范圍為()

\x-k<2

A.k>\B.k<\C.k.AD.k,,T

【分析】不等式整理后，由已知解集確定出k的范圍即可.

【解答】解：不等式整理得：｛二工

由不等式組的解集為x<3,

得到無的范圍是&..1,

故選：C.

【點評】此題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

9.（3分）如圖：將邊長為6的正方形紙片ABCD折疊，使點。落在43邊中點E處，點C

落在點。處，折痕為,則線段AF的長是（）

99

A.2B.-C.3D.-

45

【分析】設EF=FD=x,在RtAAEF中利用勾股定理即可解決問題.

四邊形ABCD是正方形,

:.AB-=BC=CD-=AD=6,

AE=EB=3,EF=FD,^EF=DF=x.則AF=6—x,

在RtAAEF中，AE2+AF2=EF2

32+(6-x)2=x2,

15

x=一，

4

y/159

二.AF=6-----=—?

44

故選：B.

【點評】本題考查翻折變換、正方形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是設未知數利用

勾股定理列出方程解決問題.

10.（3分）二次函數y+z>x+c（4/0）的圖象如圖所示，下列結論:

@b2—4ac>0；②abc<0；?4ci+b=0；?4ti—2b+c>0.

C.2D.1

【分析】先由拋物線與x軸交點個數判斷出結論①，利用拋物線的對稱軸為x=2,判斷出

結論②，先由拋物線的開口方向判斷出“<0,進而判斷出6>0,再用拋物線與y軸的交點

的位置判斷出c>0,判斷出結論③，最后用x=-2時，拋物線在x軸下方，判斷出結論④,

即可得出結論.

【解答】解：由圖象知，拋物線與x軸有兩個交點，

方程以2+公+。=0有兩個不相等的實數根，

b2-4ac>0,故①正確，

由圖象知，拋物線的對稱軸直線為x=2,

.?）=2,

2a

.,.4a+0=0，

由圖象知，拋物線開口方向向下，

.二。<0,

4a+。=0,

.-.b>0,而拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上,

/.c>0,

/.abc<0,故②③正確，

由圖象知，當工=一2時，y<0,

.-.4a-2b+c<Q,故④錯誤，

即正確的結論有3個,

故選：B.

【點評】此題主要考查了二次函數圖形與系數的關系，拋物線與y軸的交點，拋物線的對稱

軸，掌握拋物線的性質是解本題的關鍵.

二.填空題(共7小題，滿分28分，每小題4分)

11.(4分)化簡：a+\+a(a+l)+a(a+\)2+...+a(a+\)"=_(a+l)l00_.

【分析】原式提取公因式，計算即可得到結果.

【解答】解：=(a+1)[1+a+a(a+1)+a{a+1)2+...+?(?+1)98]

=(a+1)-[1+a+“(a+1)+“(a+1)~+…+a(a+I)7]

=(a+1)1[1+a+a(“+1)+a(a+1)~+…+a(a+1)”]

=(a+l)叫

故答案為：5+1尸>.

【點評】此題考查了因式分解-提公因式法，熟練掌握提取公因式的方法是解本題的關鍵.

12.(4分)單項式3x"，3與g/y,向是同類項，則,i=1.

【分析】根據同類項的概念列式求出機、”，計算即可.

【解答】解：由題意得，〃+1=2,加+1=3,

解得，n=1,=2,

則m-n—\>

故答案為：1.

【點評】本題考查的是同類項的概念，所含字母相同，并且相同字母的指數也相同，這樣的

項叫做同類項.

13.(4分)若歷二+|6-2|=0,則(a+〃嚴2。的值為」

【分析】首先根據非負數的性質可求出a、人的值，進而可求出a、6的和.

【解答】解：43+^+\b-2\=Q,

/.<2+3=0,Z?—2=0,

/.a=-3f/?=2；

因止匕a+Z?=—3+2=—1.

則3+6嚴°=（一1產°=1.

故答案為：1.

【點評】此題主要考查了非負數的性質，關鍵是掌握初中階段有三種類型的非負數：（1）絕

對值；（2）偶次方：（3）二次根式（算術平方根）.當它們相加和為0時，必須滿足其中的

每一項都等于0.根據這個結論可以求解這類題目.

14.（4分）已知a+Z?=2,ab-\>求2"+Z?的值為0.

【分析】整體代入即可求出結果.

【解答】解：a+b=2>ab=l,

a—261b+b=a+b—=2-2=0，

故答案為：o.

【點評】考查代數式求值，整體代入是求值常用的方法.

15.（4分）如圖，在菱形48co中，AB=4,按以下步驟作圖：①分別以點C和點。為圓

心，大于口8的長為半徑畫弧，兩弧交于點M,N；②作直線MN,且MN恰好經過點A,

2

與8交于點E,連接班，則BE的值為_2夕

【分析】利用基本作法得到得MN垂直平分8,即CE=￡E,AE±CD,再利用菱形的性

質得到A」D=C￡>=AB=4,CDIIAB,則利用勾股定理先計算出AE,然后計算出BE.

【解答】解：由作法得MN垂直平分CD,即CE=E>E,AE1CD,

四邊形A8CD為菱形，

:.AD=CD=AB=4,CDIIAB,

:.DE=2,AEA.AB,

在RtAADE中，AE=742-22=2K,

在RtAABE中，BEMQH+QE)2=2班.

故答案為2戶.

【點評】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一

個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂

線）.

16.（4分）如圖，AB,AC,8。是|。的三條弦，ODLAB,OE±BC,OF±AC,

^.OD=OE=OF,則弧4。=弧_48_=弧,ZABC=°,AABC

是三角形.

【分析】由垂徑定理得BD=AD；若連接。8、0C、OA,則可證

彳導AOCE三AOBE蘭AOBD,再得A4BC是等邊三角形，然后運用圓周角定理

可解.

【解答】解：連接OB,OC,0A

OD±AB,OELBC,

由垂徑定理知，BE=EC,BD=AD,

OB=OC,

AOCE三AOBEmkOBD,

：.BE=EC=BD=AD,

同理，AD=AF=CF=CE,

AB^BC^AC,即AABC是等邊三角形，

ZABC=60°,弧4。=弧45=弧3。.

【點評】本題利用了垂徑定理，全等三角形的判定和性質，圓周角定理求解.

17.（4分）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,BC=4,AC=10,點。是AC上的一個

動點，以CD為直徑作圓O,連接班）交圓O于點￡,則隹的最小值為_2瘍-2

【分析】連接CE,取3c的中點F,作直徑為3c的F,連接￡/，AF,證明NCEB=90。，

說明E點始終在廠上，再由在整個變化過程中，AE?AF-EF,當A、E、尸三點共線

時，他最最小值，求出此時的值便可.

【解答】解：連接CE,取的中點F,作直徑為BC的F,連接EF,AF,

3c=4,

.CF=2,

ZACB=90°,AC=10,

.AF=yjAC2+CF2=7104=2A/26,

CD是O的直徑，

.ZCED=ZCEB=9Q°,

.E點在F上，

在。的運動過程中，AE..AF-EF,且A、E、尸三點共線時等號成立,

.當A、E、F三點共線時，AE取最小值為AF-EF=2回-2.

故答案為：2v5^-2.

【點評】本題主要考查了圓的基本性質，圓周角定理，勾股定理，三角形的三邊關系，關鍵

是確定AE取最小值的位置.

三.解答題(共3小題，滿分18分，每小題6分)

18.(6分)先化簡,再求值:(2x-y)2-4(x+y)(x—y)+5孫，其中x=6,y=-2.

【分析】先按照完全平方公式、平方差公式及合并同類項的方法將原式化簡，再將x=6,

y=-2代入求值即可.

【解答】解：原式=4x?-4孫+丁-4(f-/)+5寸

=4x2-4xyj+y2-4x2+4y2+5xy

=5y2+xy.

二.當x=6,y=—2時，

原式=5(-2月+6x(-2)

=20-12

=8.

【點評】本題考查了整式的混合運算-化簡求值，熟練掌握整式乘法的相關運算法則是解題

的關鍵.

19.(6分)校醫院調查在校七年級學生的體重，對七年級30名男生進行了調查，平均體重

為48奴，你覺得這個可以作為七年級學生平均體重的估計嗎？為什么？

【分析】根據樣本估計總體思想求解可得.

【解答】解：這個不能作為七年級學生平均體重的估計，

因為調查的樣本，即30名男生的體重相對于女生的體重要高，

用30名男生的體重來估計全體七年級學生的體重不具有代表性，

所以這個不能作為七年級學生平均體重的估計.

【點評】本題考查用樣本估計總體，一般來說，用樣本去估計總體時，樣本越具有代表性、

容量越大，這時對總體的估計也就越精確.

20.(6分)如圖，已知A8=AC,AD=AE,和CE'相交于點O.

(1)求證：AABD=/^ACE；

(2)判斷ABOC的形狀，并說明理由.

D

BC

【分析】（1）由“SA5”可證A/SD=AACf;

（2）由全等三角形的性質可得NABD=NACE,由等腰三角形的性質可得NABC=NACB,

可求NOBC=NOCB,可得BO=CO,即可得結論.

【解答】證明：（1）AB=AC,ZBAD=ZCAEfAD=AE,

.?.AA8￡>=AACE（SAS）；

（2）ABOC是等腰三角形，

理由如下：

AABD=AACE,

.\ZABD=ZACE,

AB=AC,

:.ZABC=ZACB,

;.ZABC—ZABD=ZACB—ZACE,

:"OBC=/OCB,

BO=CO，

；.ABOC是等腰三角形.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，靈活運用全等三

角形的性質是本題的關鍵.

四.解答題（共3小題，滿分24分，每小題8分）

21.（8分）閱讀理解，并回答問題：

若Xi,々是方程or2+bx+c=O的兩個實數根，則有g?+/>x+c=a（x-X］）（x-x2）.即

22

ax+bx+c=ax-6Z（x,+x2）x+axix2,于是。=-°（占+丫2）,c=aXyX2.由此可得一元二次方

程的根與系數關系：為+%=-2,占為=￡.這就是我們眾所周知的韋達定理.

aa

2

（1）已知機，”是方程f-x-100=0的兩個實數根，不解方程求加+〃2的值;

(2)若X],x2,x3,是關于X的方程X(X-2)2=r的三個實數根，且玉<*2<W；

①中2+X2X3+工占的值；②求當-玉的最大值.

【分析】(1)由根與系數的關系先得出“+〃=1,mn=-100,再利用完全平方公式的變形

可得答案；

2

(2)①由題意得：X-^-2)-/=(x-x,)(x-x,)(x-x3),將等式兩邊分別整理，再比較對應

項的系數可得答案；

②先由①得出的結論求得“+毛=4-%，XjX,=4-(x,+x；)x2,x3X)=—,然后由

(玉-西f=(w+占)2-4占%及配方法得出(與-不了的最大值，再開平方，求其算術平方根即

可.

【解答】解：(1)m,〃是方程9-犬_100=0的兩個實數根

:.m+n=\,zm=-100

?.m2+n2=+n)2-2mn

=12-2X(-100)

=201；

2

(2)①由題意得:x(x-2)-t=(x-xlXx-x2)(x-x3)

3232

x-4x+4x-t=x_(x+x2+x3)x+(x1x2+x2x3+x3x{)x-x[x2x3

二.內+/+X3=4,玉工2+馬七+工3工1=4，%工2&=/

xix2+x2x3+x3x(的值為4；

②X[+/+毛=4

/.X]+毛=4一%

x1x2+x2x3+x3x1=4

二.WX=4-(x(+x3)x2

x{x2x3=t

.XJXJ=—

（毛一玉）2=（工3+%）2—4天玉

22

?.（x3-%1）=（4-X2）-4[4-（x,+毛）々]

2

=-3X2+8九2

~4、21616

=-3（X--）?—

2333

.,.當馬=g時，七-七的最大值為：

.?”3-%的最大值為華.

【點評】本題考查了根與系數的關系在整式求值中的應用，明確根與系數的關系并熟練運用

完全平方公式及配方法是解題的關鍵.

22.（8分）如圖，在。中，點C為AB的中點，ZACB=120°,OC的延長線與4）交于

點。，且ND=NB.

（I）求證：4）與O相切；

【分析】（1）連接Q4,由。=C8,得CA=CB,根據題意可得出NO=60。，從而得出

ZQ4D=90°,則4）與O相切；

（2）由題意得OCJ_AB,RtABCE中，由三角函數得BE=4G,即可得出他的長.

【解答】（1）證明：如圖，連接OA,

CA=CB,

:.CA=CB,

又zS4CS=120°,

/.ZB=30°.

，NO=2ZB=60°,

ZE>=ZB=30°,

.1.NOAD=180°-(NO+ZD)=90°,

.?.A。與O相切；

(2)NO=60。，OA=OC,

.?.△04C是等邊三角形，

ZACO=60°.

ZACB=120°,

:.ZACB^2ZACO,AC=BC,

:.OC^AB,AB=2BE,

CE=4.ZB=30°,

:.BC=2CE=8,

BE=y]BC2-CE2=>/82-42=4+,

AB=2BE=8-Ji,

弦知的長為8石.

【點評】本題考查了切線的判定和性質，垂徑定理，解直角三角形，熟練掌握切線的判定和

性質是解題的關鍵.

23.(8分)倡導健康生活推進全民健身，某社區去年購進A,8兩種健身器材若干件，經

了解，3種健身器材的單價是A種健身器材的1.5倍，用7200元購買A種健身器材比用5400

元購買5種健身器材多10件.

(1)A,3兩種健身器材的單價分別是多少元？

(2)若今年兩種健身器材的單價和去年保持不變，該社區計劃再購進A,8兩種健身器材

共50件，且費用不超過21000元，請問：A種健身器材至少要購買多少件？

【分析】(1)設A種型號健身器材的單價為x元/套，3種型號健身器材的單價為1.5x元/套，

根據“3種健身器材的單價是A種健身器材的1.5倍，用7200元購買A種健身器材比用5400

元購買5種健身器材多10件”，即可得出關于x,y的分式方程，解之即可得出結論；

（2）設購買A種型號健身器材機套，則購買5種型號的健身器材（50-加）套，根據總價=單

價x數量結合這次購買兩種健身器材的總費用不超過21000元，即可得出關于m的一元一次

不等式，解之取其最小值即可得出結論.

【解答】解：（1）設A種型號健身器材的單價為x元/套，3種型號健身器材的單價為1.5x

元/套，

根據題意，可得：----------=10,

x1.5x

解得：x=360?

經檢驗x=360是原方程的根，

1.5x360=540（元），

因此，A,8兩種健身器材的單價分別是360元，540元；

（2）設購買力種型號健身器材機套，則購買8種型號的健身器材（50-m）套，

根據題意，可得：360m+540（50-〃?）,,21000,

解得：

3

因此，A種型號健身器材至少購買34套.

【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準

等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等

式.

五.解答題（共2小題，滿分20分，每小題10分）

24.（10分）在如圖平面直角坐標系中，矩形。4BC的頂點5的坐標為（4,2）,OA、OC分

別落在x軸和y軸上，03是矩形的對角線.將AaS繞點O逆時針旋轉，使點B落在y軸

上，得到AODE,8與相交于點尸，反比例函數y=A（x>0）的圖象經過點E,交AB

X

于點G.

（1）求4的值和點G的坐標；

（2）連接FG,則圖中是否存在與ABFG相似的三角形？若存在，請把它們一一找出來，

并選其中一種進行證明：若不存在，請說明理由；

（3）在線段OA上存在這樣的點尸，使得A//G是等腰三角形.請直接寫出點P的坐標.

【分析】(1)證明△COPsAAQB,則空=生，求得：點尸的坐標為(1,2),即可求解;

ABOA

(2)ACOFsgFG;AAOB^ABFG;\ODE^^BFG；ACBO^ABFG.證

\OAB^\BFG:,——=^=—,即可求解.

BF3BG33

2

(3)分GF=PF、PF=PG、GF=PG三種情況，分別求解即可.

【解答】解：(1)四邊形OA8C為矩形，點3的坐標為(4,2),

:.ZOCB=ZOAB=ZABC=9009OC=AB=2,OA=BC=49

AODE是八。45旋轉得到的，即：\ODE^\OAB,

:2COF=ZAOB,

CFOCCF2

ABOA24

點尸的坐標為(1,2),

y=&(x>0)的圖象經過點尸，

X

2=—,得k=2,

1

點G在AB上，

.?.點G的橫坐標為4,

71

對于y=—,當無=4,得丁=—,

x2

.?.點G的坐標為(4,；)；

(2)ACOF^ABFG；AAOB^ABFG；AODE^ABFG;ACBO^ABFG.

下面對△OABsgFG進行證明：

點G的坐標為(4,3),.?.46=3，

BC=OA=4,CF=1,AB=2,

:.BF=BC-CF=3,

3

BG=AB-AG=--

2

AO_4AB_2_4

一~BF~3"BG-3>

2

AOAB

---=---,

BFBG

ZOAB=ZFBG=90°,

:.kOABs^BG.

(3)設點尸(〃?,0),而點尸(1,2)、點G(4,-),

2

貝IJFG2=9+2=竺，PF-=(W-1)2+4,PG2=(/?2-4)2+-,

444

當G"=外"時，即竺=(機一1)2+4,解得：m=2士曬(舍去負值)；

42

當PF=PG時，同理可得：/?=—；

8

當GF=PG時，同理可得：相=4-JT7；

綜上，點尸的坐標為(4-而，0)或("，0)或J+而,0).

82

【點