數學思想方法復習專題一、考點，熱點分析：深刻理解函數的圖象和性質是應用函數思想解題的基礎，運用方程思想解題可歸納為三個步驟：①將所面臨的問題轉化為方程問題；②解這個方程或討論這個方程，得出相關的結論；③將所得出的結論再返回到原問題中去。分類討論的解題步驟一般是：（1）確定討論的對象以及被討論對象的全體；（2）合理分類，統一標準，做到既無遺漏又無重復；（3）逐步討論，分級進行；（4）歸納總結作出整個題目的結論。常用的轉化策略有：已知與未知的轉化；正向與反向的轉化；數與形的轉化；一般于特殊的轉化；復雜與簡單的轉化。二、知識點歸納：常用的數學思想（數學中的四大思想）1.函數與方程的思想用變量和函數來思考問題的方法就是函數思想，函數思想是函數概念、圖象和性質等知識更高層次的提煉和概括，是在知識和方法反復學習中抽象出的帶有觀念的指導方法。2．數形結合思想在中學數學里，我們不可能把“數”和“形”完全孤立地割裂開，也就是說，代數問題可以幾何化，幾何問題也可以代數化，“數”和“形”在一定條件下可以相互轉化、相互滲透。3．分類討論思想在數學中，我們常常需要根據研究對象性質的差異。分各種不同情況予以考察，這是一種重要數學思想方法和重要的解題策略，引起分類討論的因素較多，歸納起來主要有以下幾個方面：（1）由數學概念、性質、定理、公式的限制條件引起的討論；（2）由數學變形所需要的限制條件所引起的分類討論；（3）由于圖形的不確定性引起的討論；（4）由于題目含有字母而引起的討論。4.等價轉化思想等價轉化是指同一命題的等價形式.可以通過變量問題的條件和結論，或通過適當的代換轉化問題的形式，或利用互為逆否命題的等價關系來實現。常用的數學方法主要有換元法、配方法和待定系數法三種。三、例題解析【例1】（2004年北京市東城區）解方程：(x+1)--EQ\f(3,x+1)=2．解：設x＋1＝y，則原方程化為y-EQ\f(3,y)=2去分母，得y2-2y-3=0．解這個方程，得y1=-1,y2=3．當y＝－1時，x＋1＝－1，所以x＝－2；當y＝3時，x＋1＝3，所以x＝2．經檢驗，x＝2和x＝－2均為原方程的解．〖點撥〗解分式方程通常是采用去分母或還元法化為整式方程，并特別要注意驗根。【例2】已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2，且經過點（1，4）和點（5，0），則該拋物線的解析式為。806040200654321x(元)y(萬件)〖解析〗∵函數y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2,∴b=-4a…①將點（1，4）、（5，0）的坐標分別代入y=ax2+bx+c得:a+b+c=4…②25a+5b+c=0③.解①②③得a=-EQ\f(1,2),b=2,c=EQ\f(5,2).故拋物線的解析式為y=-EQ\f(1,2)x806040200654321x(元)y(萬件)〖點撥〗利用待定系數法可求函數的解析式、代數式及多項式的因式分解等符合題設條件的數學式。【例3】（05年長沙市）某通訊器材公司銷售一種市場需求較大的新型通訊產品．已知每件產品的進價為40元，每年銷售該種產品的總開支（不含進價）總計120萬元．在銷售過程中發現，年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之問存在著如圖所示的一次函數關系．

⑴求y關于x的函數關系式；

⑵試寫出該公司銷售該種產品的年獲利z（萬元）關于銷售單價x（元）的函數關系式（年獲利＝年銷售額一年銷售產品總進價一年總開支）．當銷售單價x為何值時，年獲利最大？并求這個最大值；

⑶若公司希望該種產品一年的銷售獲利不低于40萬元，借助⑵中函數的圖象，請你幫助該公司確定銷售單價的范圍．在此情況下，要使產品銷售量最大，你認為銷售單價應定為多少元？〖解〗：⑴設y=kx+b，它過點(60，5)，(80，4)∴EQ\B\lc\{(\a\al(5=60k+b,4=80k+b,))解得EQ\B\lc\{(\a\al(k=-EQ\f(1,20),b=8,))∴y=-EQ\f(1,20)x+8,⑵z=yx-40y-120=（-EQ\f(1,20)x+8）（x-40）-120=-EQ\f(1,20)x2＋10x-440;∴當x=100元時，最大年獲得為60萬元．O406010012080x(元)y(萬元)⑶令z=40，得40=-O406010012080x(元)y(萬元)x2-200x＋9600=0解得：x1=80,x2=120，由圖象可知，要使年獲利不低于40萬元，銷售單價應在80元到120元之間．…(8分)又因為銷售單價越低，銷售量越大，所以要使銷售量最大，又要使年獲利不低于40萬元，銷售單價應定為80元．〖點撥〗解此類問題，要仔細閱讀題目，理清思路，從而建立數學模型（函數模型）【例4】（2007年福建漳州）如圖，已知矩形ABCD，AB=EQ\r(,3)，BC=3，在BC上取兩點E、F（E在F左邊），以EF為邊作等邊三角形PEF，使頂點P在AD上，PE、PF分別交AC于點G、H．（1）求△PEF的邊長；（2）在不添加輔助線的情況下，當F與C不重合時，從圖中找出一對相似三角形，并說明理由；（3）若△PEF的邊EF在線段BC上移動．試猜想：PH與BE有何數量關系？并證明你猜想的結論．[解]（1）過P作PQ⊥BC于Q矩形ABCD∴∠B=90°，即AB⊥BC，又AD∥BC∴PQ=AB=EQ\r(,3)∵△PEF是等邊三角形∴∠12341234在Rt△PQF中Sin60°=EQ\f(EQ\r(,3),PF),∴PF=2∴△PEF的邊長為2．（2）正確找出一對相似三角形1212345678△ABC∽△CDA理由：∵矩形ABCD,∴AB∥BC,∴∠1=∠2∴∠B=∠D∴△ABC∽△CDA（3）猜想：PH與BE的數量關系是：PH-BE=1證：在Rt△ABC中，AB=EQ\r(,3),BC=3∴tan∠1=EQ\f(AB,BC)=EQ\f(EQ\r(,3),3),∴∠1=30°∴△PEF是等邊三角形∴∠2=60°,PF=PE=2,∵∠2=∠1+∠3∴∠3=30°∴∠1=∠3∴FC=FH∵PH+FH=2,BE+EF+FC=3∴PH-BE=1〖點評〗本題是一道很典型的幾何型探索題，在近幾年的中考壓軸題中穩占一席之地，預計2008年仍會保持這一趨勢。在本題中，第1小題較簡單，第2小題則需學生仔細觀察圖形，做出準確猜想后再驗證，第3小題對學生的探究能力的要求更高一些，但由于解法較多，入題的通道較寬，因此難度并非十分大，體現數學聯系的轉化思想。四、【能力測試】(一)、選擇題AUTONUM．若a的值使得x2+4x+a=（x+2）2-1成立，則a的值為……（）A．5 B．4 C．3 D．2 AUTONUM．（2005.杭州市）在右圖的幾何體中,上下底面都是平行四邊形,各個側面都是梯形,那么圖中和下底面平行的直線有:………………（）(A)1條(B)2條(C)4條(D)8條AUTONUM．方程2x-x2=EQ\f(2,x)的正根的個數為……………（）A．0 B．1 C．2 D．AUTONUM．以下四個圖案中,既是軸對稱又是中心對稱圖形的有……（）A．４個B．３個C．２個D．１個AUTONUM．（2005.河南省）下列各數中，適合方程的一個近似值（精確到0.1）是…（）A．1.5B．1.6C．1D．1.8AUTONUM．若點p（m,n）在第二象限，則點Q（-m,-n）在…………………（）象限A．第一 B．第二 C．第三 D．第四 AUTONUM．（2005.山西省）8拋物線的對稱軸是x=2，且經過點P(3,0)。則的值為……………（）A、-1B、0C、1D、2AUTONUM．在直角坐標系中，O為坐標原點，A(1，1)，在x軸上確定一點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P共有()(A)4個(B)3個(C)2個(D)1個AUTONUM．某商店把一商品按標價的九折出售（即優惠10%），仍可獲利20%，若該商品的標價為每件28元，則該商品的進價為…………………（）.（A）21元（B）19.8元（C）22.4元（D）25.2元AUTONUM．（2005.武漢市）已知⊙O的半徑為8cm，如果一條直線和圓心O的距離為8cm，那么這條直線和這個圓的位置關系為………………（）A．相離 B．相切 C．相交 D．相交或相離 (二)、填空題AUTONUM．已知關于x的方程x2-3x+m=0的一個根是另一個根的2倍，則m的值為。yAUTONUM．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2EQ\r(,5)，斜邊在x軸上，點A的坐標為（2，0），則直角邊BC所在的直線解析式為。yCxAUTONUM．把拋物線向上平移2個單位，那么所得拋物線與x軸CxAOB的兩個交點之間的距離是.AOBAUTONUM．如圖，用長度相等的火柴棒拼成由三角形組成的圖形，第n個圖形需要火柴棒的根數是。AUTONUM．把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為EQ\f(1,2)的矩形，接著把面積為1/2的矩形等分成兩個面積為1/4的矩形，再把面積為1/4的矩形等分成兩個面積為1/8的矩形，如此進行下去，試利用如下圖揭示的規律計算EQ\f(1,2)+EQ\f(1,4)+EQ\f(1,8)+EQ\f(1,16)+EQ\f(1,32)+EQ\f(1,64)+EQ\f(1,128)+EQ\f(1,256)=。EQ\f(1,4)EQ\f(1,2)圖1圖2AUTONUM．（2006年河南省）要拼出和圖1中的菱形相似的較長對角線為88cm的大菱形（如圖2）需要圖1中的菱形的個數為___________．圖1圖2(三)、計算題:AUTONUM．如圖，線段AB＝4，點O是線段AB上的點，點C、D是線段OA、OB的中點，小明很輕松地求得CD=2．他在反思過程中突發奇想：若點O運動到線段AB的延長線上或直線AB外，原有的結論“CD=2”是仍然成立呢？請幫小明畫出圖形分析，并說明理由．AUTONUM．（2005年梅州市）東海體育用品商場為了推銷某一運動服，先做了市場調查，得到p（件）500p（件）50049048047050515253x（元/件）賣出價格x（元/件）50515253……銷售量p（件）500490480470……（1）以x作為點的橫坐標，p作為縱坐標，把表中的數據，在圖8中的直角坐標系中描出相應的點，觀察連結各點所得的圖形，判斷p與x的函數關系式；（2）如果這種運動服的買入件為每件40元，試求銷售利潤y（元）與賣出價格x（元/件）的函數關系式（銷售利潤=銷售收入－買入支出）；（3）在（2）的條件下，當賣出價為多少時，能獲得最大利潤？AUTONUM．如圖，為正方形邊上的任意一點（不與A、B兩點重合），是延長線上的一點，，且交的平分線所在直線于．（1）求證：；（2）若將上述條件中的“為邊上的任意一點（不與A、B兩點重合）”改為“為直線上任意一點（不與A、B兩點重合）”，其余條件不變，則結論“”成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由．AUTONUM．如圖1，在平面直角坐標系中，兩個全等的直角三角形的直角頂點及一條直角邊重合，點在第二象限內，點，點在軸的負半軸上，．（1）求點的坐標；（2）如圖2，將繞點按順時針方向旋轉到的位置，其中交直線于點，分別交直線于點，則除外，還有哪幾對全等的三角形，請直接寫出答案；（不再另外添加輔助線）（3）在（2）的基礎上，將繞點按順時針方向繼續旋轉，當的面積為時，求直線的函數表達式．AABCO11xy圖1ACO11xyGFE圖2AUTONUM．如圖，正方形ABCD的各邊都平行于坐標軸，A、C分別在直線和上.若點A在直線上運動，求B點所在直線的解析式.AUTONUM．已知：半徑為1的⊙O1與軸交于兩點，圓心的坐標為，二次函數ＢＡＯ的圖象經過兩點，其頂點為．ＢＡＯ（1）求的值及二次函數頂點的坐標；（2）寫出將二次函數的圖象向下平移1個單位，再向左平移2個單位的圖象的函數表達式；（3）若經過原點的直線與⊙O1相切，求直線的函數表達式．AUTONUM．如圖,以O為原點的直角坐標系中，A點的坐標為（0，1），直線x=1交x軸于點B.P為線段AB上一動點，作直線PC⊥PO,交直線x=1于點C.過P點作直線MN平行于x軸，交y軸于點M，交直線x=1于點N.當點C在第一象限時，設AP長為m，四邊形POBC的面積為S，請求出S與m間的函數關系式；S是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由.附加題：當點P在線段AB上移動時，點C也隨之在直線x=1上移動，△PBC是否可能成為等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成為等腰三角形的點P的坐標；如果不可能，請說明理由.參考答案：選擇題1.C2.C3.A4.B5.C6.D7.B8.A9.A10.B二、填空題11．212.y=EQ\f(1,2)x+413.；14.2n+115.EQ\f(255,256)16.121三、計算題：17（略）18．解：（1）p與x成一次函數關系。設函數關系式為p=kx+b，則解得：k=－10，b=1000，∴p=－10x+1000經檢驗可知：當x=52，p=480，當x=53，p=470時也適合這一關系式∴所求的函數關系為p=－10x+1000（2）依題意得：y=px－40p=(－10x+1000)x－40(－10x+1000)∴y=－10x2+1400x－40000(3)由y=－10x2+1400x－40000可知，當時，y有最大值∴賣出價格為70元時，能花得最大利潤。19．證明：（1）在上截取，連結．，．．又，．．（2）分兩種情況①點M在射線BE上.延長AD到點P，使DP=BM，連接PM.②點M在線段BA的延長線上.延長DA到點P，使AP=AM，連接PM.綜上可知，“為直線上任意一點（不與A、B兩點重合）”，其余條件不變，結論“”仍成立.20．解：（1）在中，，．點的