2022-2023學年山西省晉城市第一中學校高二上學期11月月考數學試題一、單選題1．401是等差數列5，9，，的第項．（

）A．98 B．99 C．100 D．101【答案】C【分析】根據等差數列定義和通項公式即可.【詳解】等差數列5，9，13，…中，首項，公差，，，故401是等差數列5，9，13…的第100項．故選：C.2．準線為的拋物線標準方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先分析拋物線的焦點位置，進而可得，求出的值，進而可得答案．【詳解】解：根據題意，若拋物線的準線為，則拋物線的焦點在軸正半軸軸上，設拋物線方程為，則，故，則拋物線的標準方程為，故選：A．3．在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，設，則的值為（

）A．1 B．0 C．-1 D．-2【答案】B【分析】由正方體的性質可知兩兩垂直，從而對化簡可得答案【詳解】由題意可得,所以，所以，所以，故選：B4．《九章算術》是我國秦漢時期一部杰出的數學著作，書中第三章“衰分”有如下問題：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數成遞增等差數列，這5個人各出多少錢?”在這個問題中，若不更出17錢，則公士出的錢數為（

）A．10 B．14 C．23 D．26【答案】D【分析】設大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的錢數依次構成等差數列，根據，前5項和為100求解.【詳解】解：設大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的錢數依次排成一列，構成數列．由題意可知，等差數列中，前5項和為100，設公差為，前項和為，則，解得，所以，所以公士出的錢數為，故選：D．5．設為等差數列{an}的前n項和，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差數列求和公式和等差數列性質，求出，原式轉化為，利用誘導公式即可求解.【詳解】因為，所以，所以，故選：C.6．已知直線與橢圓相交于、兩點，若線段的中點縱坐標為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】聯立直線與橢圓方程得，整理得，設、，利用韋達定理和中點坐標公式，即可得出答案．【詳解】解：聯立直線與橢圓方程得，整理得，設、，則線段的中點縱坐標為，解得，故選：D.7．如圖，一個底面半徑為的圓柱被與其底面所成角為的平面所截，截面是一個橢圓，當為時，這個橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】A【詳解】由橢圓的性質得，橢圓的短半軸，因為截面與底面所成角為，所以橢圓的長軸長，得所以橢圓的離心率故選【解析】橢圓的幾何性質.8．已知函數f（x）在（﹣1，+∞）上單調，且函數y＝f（x﹣2）的圖象關于x＝1對稱，若數列{an}是公差不為0的等差數列，且，則{an}的前100項的和為（）A．﹣200 B．﹣100 C．0 D．﹣50【答案】B【分析】由函數y＝f（x﹣2）的圖象關于x＝1軸對稱，平移可得y＝f（x）的圖象關于x＝﹣1對稱，由題意可得a50+a51＝﹣2，運用等差數列的性質和求和公式，計算即可得到所求和．【詳解】解：函數f（x）在（﹣1，+∞）上單調，且函數y＝f（x﹣2）的圖象關于x＝1對稱，可得y＝f（x）的圖象關于x＝﹣1對稱，由數列{an}是公差不為0的等差數列，且f（a50）＝f（a51），可得a50+a51＝﹣2，又{an}是等差數列，所以a1+a100＝a50+a51＝﹣2，則{an}的前100項的和為100故選B．【點睛】本題考查函數的對稱性及應用，考查等差數列的性質，以及求和公式，考查運算能力，屬于中檔題．二、多選題9．以下四個命題表述正確的是（

）A．直線恒過定點B．圓上有且僅有3個點到直線的距離都等于1C．曲線與曲線恰有三條公切線，則D．已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線、，其中、為切點，則直線經過定點【答案】BCD【分析】利用直線系方程求解直線所過定點判斷A；求出圓心到直線的距離，結合圓的半徑判斷B；由圓心距等于半徑和列式求得判斷C；求出兩圓公共弦所在直線方程，再由直線系方程求得直線所過點的坐標判斷D．【詳解】由，得，聯立，解得，直線恒過定點，故A錯誤；圓心到直線的距離等于1，直線與圓相交，而圓的半徑為2，故到直線距離為1的兩條直線，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上有三個點到直線的距離等于1，故B正確；兩圓有三條公切線，則兩圓外切，曲線化為標準式，曲線化為標準式，圓心距為，解得，故C正確；設點的坐標為，，以為直徑的圓的方程為，兩圓的方程作差得直線的方程為：，消去得，，令，，解得，，故直線經過定點，，故D正確．故選：BCD10．已知數列的前項和為，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數列；B．若是等差數列，則三點、、共線；C．若是等差數列，且，，則數列的前項和有最小值；D．若等差數列的前12項和為354，前12項中，偶數項的和與奇數項的和之比為32：27，則公差為5．【答案】BCD【分析】A選項利用求出即可判斷；B選項根據等差數列前項和公式對點坐標進行處理，同時利用斜率相等證明共線；C選項利用等差數列的性質求出公差，再結合首項和公差的正負判斷有無最小值；D選項根據偶數項和奇數項的比值求出偶數項和奇數項的和，從而作差求出公差.【詳解】A選項：，當時，，不符合，所以，故A錯；B選項：因為為等差數列，所以，，，，因為，，所以三點共線，B正確；C選項：因為，，所以，，因為，，所以有最小值，當時取最小值，故C正確；D選項：因為，前12項里偶數項和奇數項的和的比為32:27，所以偶數項和為192，奇數項和為162，偶數項和-奇數項和==30，所以公差為5，D正確.故選：BCD.11．已知數列的前項和為，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若數列為等差數列，為數列的前項和，已知，，則C．若，則數列的前項和為D．若數列為等差數列，且，，則當時，的最大值為【答案】BC【分析】對于A，時，，即可判斷出正誤；對于B，由數列為等差數列，可得，，，成等差數列，解得，即可判斷出正誤；對于C，，，可得出數列的前項和，即可判斷出正誤；對于D，由數列為等差數列，且，，可得，，利用求和公式及其性質即可判斷出正誤．【詳解】解：時，，因此不正確；B.由數列為等差數列，則，，，成等差數列，，解得，因此正確；C.，，數列的前項和為，因此正確；D.數列為等差數列，且，，，即，，則，，當時，的最大值為，因此不正確．故選：BC．12．如圖1，曲線C：為四葉玫瑰線，它是一個幾何虧格為零的代數曲線，這種曲線在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應用.如圖2，苜蓿葉型立交橋有兩層，將所有原來需要穿越相交道路的轉向都由環形匝道來實現，即讓左轉車輛駛入環道后再自右側切向匯入主路，四條環形匝道就形成了苜蓿葉的形狀給出下列結論正確的是（）A．曲線C只有兩條對稱軸B．曲線C僅經過1個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）C．曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2D．過曲線C上的任一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為2【答案】BCD【分析】對于A，由圖象可得答案，對于B，由圖象結合曲線方程判斷即可，對于C，由曲線方程結合基本不等式可判斷，對于D，利用基本不等式判斷【詳解】因為曲線上任一點，關于軸的對稱點滿足曲線方程，關于軸的對稱點滿足曲線方程，關于直線的對稱點滿足曲線方程，關于直線的對稱點滿足曲線方程，所以可知曲線有4條對稱軸，所以A錯誤，由，得，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2，所以C正確，由圖可知將第一象內的整數點分別代入曲線方程中，等號不成立，所以曲線在第一象限不經過整數點，由對稱性可知曲線只經過原點，所以曲線C僅經過1個整點，所以B正確，由曲線的對稱性，在第一象限內的曲線上任取一點，則過這一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積為，當且僅當時等號成立，所以所圍成的矩形的面積的最大值為2，所以D正確，故選：BCD三、填空題13．已知等差數列的首項為2，公差為8，在中每相鄰兩項之間插入三個數，使它們與原數列的項一起構成一個新的等差數列，數列的通項公式__________.【答案】，【分析】等差數列滿足為，，故可以求得的首項與公差，從而可以寫出的通項公式.【詳解】設數列的公差為由題意可知，，，于是因為，所以，所以所以故答案為：，14．若數列第二項起，每一項與前一項的差構成等差數列，則稱數列為二階等差數列，已知數列是一個二階等差數列，且，，，則_______________．【答案】【分析】利用已知條件求出二階等差數列的首項和公差，再求出二階等差數列的通項公式，最后利用累加法即可得到數列的通項公式.【詳解】，，且數列是一個二階等差數列，

由累加法得．而a1=3也符合，故答案為：15．如圖，已知點F為拋物線的焦點過點F且斜率存在的直線交拋物線C于A，B兩點，點D為準線l與x軸的交點，則的面積S的取值范圍為______．【答案】【分析】設坐標和直線AB的方程，讓直線AB方程與拋物線進行聯立可得，，接著利用弦長公式求出，再求出點到直線AB的距離，最后利用三角形的面積公式即可求出答案【詳解】由拋物線可得焦點，準線方程為，，設，，直線AB的方程為，由，可得，則，，所以，直線AB的一般方程為，點到直線AB的距離，所以，所以的面積S的取值范圍為，故答案為：16．閱讀材料：空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為______．【答案】##【分析】根據閱讀材料可得平面的一個法向量，再在兩平面的交線上取兩個點，從而得交線的方向向量，由此利用向量夾角余弦的坐標表示即可得解．【詳解】因為平面的方程為，所以平面的一個法向量，又直線：上有兩個點，，所以直線的方向向量為，所以直線與平面所成角的正弦值為．故答案為：．四、解答題17．在銳角中，，，分別為角，，所對的邊且.(1)確定角的大小；(2)若且的面積為，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊化角，即可求解；（2）由面積公式和余弦定理列方程可得.【詳解】（1）由，結合正弦定理可得，，，因為為銳角三角形，所以.（2）因為的面積，所以解得.由余弦定理可得，所以，解得.18．記是公差不為0的等差數列的前n項和，若．（1）求數列的通項公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結合題意求得數列的公差即可確定數列的通項公式；(2)首先求得前n項和的表達式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【詳解】(1)由等差數列的性質可得：，則：，設等差數列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數列的通項公式為：.(2)由數列的通項公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數，故的最小值為.【點睛】等差數列基本量的求解是等差數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等差數列的有關公式并能靈活運用.19．已知數列的前項和為，，且，，求的值，并證明：數列是一個常數列.【答案】，證明見解析．【分析】根據給定的遞推公式求出，再結合“”推理計算作答.【詳解】因為，且，，則，解得，由，有當時，，兩式相減得：，化簡整理得，而，因此，，所以數列是一個常數列．20．已知數列滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，若恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意可得當時與已知條件兩式相減，即可得，再檢驗是否滿足即可.（2）由等差數列前項和公式求出，由不等式分離出，轉化為最值問題，再利用基本不等式求最值即可求解.【詳解】（1）因為，所以兩式相減可得：所以，當時，滿足，所以，（2），由可得：，所以，令，只需.，當且僅當即時等號成立，此時，所以，所以實數的取值范圍為.21．如圖，在四棱錐P?ABCD中，ADBC，E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為.(1)在平面PAB內是否存在一點M，使得直線CM平面PBE，如果存在，請確定點M的位置，如果不存在，請說明理由；(2)若二面角P?CD?A的大小為，求P到直線CE的距離.【答案】(1)存在，在平面內可以找到一點，使得直線CM平面PBE(2)【分析】（1）先判斷存在符合題意的點，再通過作輔助線找到該點，證明平面即可；（2）建立空間直角坐標系，通過已知的二面角度數，找到線段之間關系，從而確定相關點的坐標，然后利用向量的運算求得答案.【詳解】（1）延長交直線于點，點為的中點，，，，即，四邊形為平行四邊形，即.，平面平面，平面，平面，平面，故在平面內可以找到一點，使得直線平面.（2）如圖所示，，即，且異面直線與所成的角為，即，又平面平面.平面，又平面，平面，平面.因此是二面角的平面角，大小為..因為.以A為坐標原點，平行于的直線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，方向上的單