廣東省梅州市梅雁中學2022-2023學年高二數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.命題“?x∈R，x2+2x﹣1＜0”的否定是（）A．?x∈R，x2+2x﹣1≥0 B．?x∈R，x2+2x﹣1＜0C．?x∈R，x2+2x﹣1≥0 D．?x∈R，x2+2x﹣1＞0參考答案：C【考點】命題的否定．【分析】直接利用全稱命題的否定是特稱命題，寫出結果即可．【解答】解：由全稱命題的否定為特稱命題可知：?x∈R，x2+2x﹣1＜0的否定為?x∈R，x2+2x﹣1≥0，故選：C．2.同時具有性質“①最小正周期是π”②圖象關于對稱；③在上是增函數的一個函數可以是（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】利用所給條件逐條驗證，最小正周期是得出，把②③分別代入選項驗證可得.【詳解】把代入A選項可得，符合；把代入B選項可得，符合；把代入C選項可得，不符合，排除C；把代入D選項可得，不符合，排除D；當時，，此時為減函數；當時，，此時為增函數；故選B.【點睛】本題主要考查三角函數的圖象和性質，側重考查直觀想象的核心素養.3.下列語句中：①

②

③

④

⑤

⑥

其中是賦值語句的個數為（

）A．6

B．5

C．4

D．3參考答案：C4.設△ABC的三邊長分別的a,b,c，△ABC的面積為S，內切圓半徑為r，則；類比這個結論可知：四面體S-ABC的四個面的面積分別為，內切球的半徑為R，四面體P-ABC的體積為V,則R等于A

B

C

D

參考答案：C略5.已知函數是偶函數，且，則（▲）A.

B.

C.

D.參考答案：D6.已知全集，集合，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B7.下列命題一定正確的是（▲）

A.三點確定一個平面

B.依次首尾相接的四條線段必共面

C.直線與直線外一點確定一個平面

D.兩條直線確定一個平面參考答案：CA：不共線的三點確定一個平面，故錯誤；B：空間四邊形，不共面，故錯誤；C：正確；D：兩條異面直線不能確定一個平面，故錯誤。8.圖象可能是（）A. B.C. D.參考答案：D【分析】判斷函數的奇偶性，利用導數判斷函數在上的單調性即可得出結論．【詳解】顯然是偶函數，圖象關于軸對稱，當時，，顯然當時，，當時，，而，所以，∴在上恒成立，∴在上單調遞減．故選：D．【點睛】本題考查了函數圖象的識別，一般從奇偶性，單調性，特殊值等方面判斷，屬于基礎題．9.在右圖的正方體中，棱BC與平面ABC1D1所成的角為（

）A．30°

B．45°

C．90°

D．60°

參考答案：B10.已知△ABC的周長為20，且頂點B(－4，0)，C(4，0)，則頂點A的軌跡方方程是

（

）A．（y≠0） B．（y≠0）

C．（y≠0） D．（y≠0）參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知△ABC的三個內角A，B，C的對邊依次為a，b，c，外接圓半徑為1，且滿足，則△ABC面積的最大值為．參考答案：【考點】正弦定理；余弦定理．【分析】利用同角三角函數間的基本關系化簡已知等式的左邊，利用正弦定理化簡已知的等式右邊，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式化簡，根據sinC不為0，可得出cosA的值，然后利用余弦定理表示出cosA，根據cosA的值，得出bc=b2+c2﹣a2，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函數值化簡后，再利用基本不等式可得出bc的最大值，進而由sinA的值及bc的最大值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．【解答】解：由r=1，利用正弦定理可得：c=2rsinC=2sinC，b=2rsinB=2sinB，∵tanA=，tanB=，∴===，∴sinAcosB=cosA（2sinC﹣sinB）=2sinCcosA﹣sinBcosA，即sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，∵sinC≠0，∴cosA=，即A=，∴cosA==，∴bc=b2+c2﹣a2=b2+c2﹣（2rsinA）2=b2+c2﹣3≥2bc﹣3，∴bc≤3（當且僅當b=c時，取等號），∴△ABC面積為S=bcsinA≤×3×=，則△ABC面積的最大值為：．故答案為：．12.設函數f（x）=+ax，若f（x）在（1，+∞）上單調遞減，則a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，﹣]【考點】6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】令f′（x）≤0在（1，+∞）恒成立，分離參數可得a≤在（1，+∞）上恒成立，令lnx=t，不等式轉化為a≤，求出函數的最小值即可得出a的范圍．【解答】解：f′（x）=，∵f（x）在（1，+∞）上單調遞減，∴f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，即a≤在（1，+∞）上恒成立，令lnx=t，則t＞0，設g（t）=，則g′（t）==，∴當0＜t＜2時，g′（t）＜0，當t＞2時，g′（t）＞0，∴當t=2時，g（t）取得最小值g（2）=﹣．∴a≤﹣．故答案為：（﹣∞，﹣]．【點評】本題考查了導數與函數單調性的關系，函數最值得計算，函數恒成立問題研究，屬于中檔題．13.設函數，則曲線在點處的切線方程為

．參考答案：

14.已知函數f（x）=x3+bx2+cx，其導函數y=f′（x）的圖象經過點（1，0），（2，0），如圖所示．則下列說法中不正確的編號是

．（寫出所有不正確說法的編號）（1）當x=時函數取得極小值；（2）f（x）有兩個極值點；（3）c=6；（4）當x=1時函數取得極大值．參考答案：（1）【考點】6D：利用導數研究函數的極值．【分析】求出原函數的導函數，導函數是二次函數，由導函數的圖象可知原函數的單調區間，從而判出極值點，結合導函數的圖象經過（1，0）和（2，0）兩點，得到c的值，然后注意核對4個命題，則答案可求．【解答】解：由f（x）=x3+bx2+cx，所以f′（x）=3x2+2bx+c．由導函數的圖象可知，當x∈（﹣∞，1），（2，+∞）時f′（x）＞0，當x∈（1，2）時f′（x）＜0．所以函數f（x）的增區間為（﹣∞，1），（2，+∞）減區間為（1，2）．則函數f（x）在x=1時取得極大值，在x=2時取得極小值．由此可知（1）不正確，（2），（4）正確，把（1，0），（2，0）代入導函數解析式得，解得c=6．所以（3）正確．故答案為（1）．15.直線l經過點P(3,2)且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，△OAB的面積為12，則直線l的方程為__________________.參考答案：2x＋3y－12＝0設直線方程為，當時，；當時，，所以，解得，所以，即。16.已知函數f(x)＝x3＋2x2－ax＋1在區間(－1，1)上恰有一個極值點，則實數a的取值范圍是________.參考答案：－1<a<7易知f′(x)＝3x2＋4x－a.因為函數在區間(－1，1)上恰有一個極值點，所以g(x)＝3x2＋4x－a＝0在區間(－1，1)上只有一個解，故有g(－1)·g(1)<0,所以，(－1－a)(7－a)<0，所以－1<a<7.17.已知命題．則是__________；參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數.（Ⅰ）若成立，求的取值范圍；（Ⅱ）若定義在上奇函數滿足，且當時，，求在上的解析式，并寫出在上的單調區間（不必證明）；（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的，若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．參考答案：【知識點】對數不等式的解法、函數解析式的求法、奇函數、不等式恒成立問題【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）

在和上遞減；在上遞增；（Ⅲ）

解析：解：（Ⅰ）由得，解得，所以x的取值范圍是；（Ⅱ）當－3≤x≤－2時，g(x)=－g(x+2)=g(－x－2)=f(－x－2)=，當－2＜x≤－1時，g(x)=－g(x+2)=－f(x+2)=－，綜上可得

在和上遞減；在上遞增；（Ⅲ）因為，由（Ⅱ）知，若g(x)=，得x=或，由函數g(x)的圖象可知若在上恒成立記當時，，則

則

解得當時，，則

則

解得綜上，故

【思路點撥】解對數不等式時注意其真數的限制條件，本題中的不等式恒成立問題可結合函數的圖象建立條件求范圍.19.已知函數f（x）=（x+1）2﹣alnx．（Ⅰ）討論函數的單調性；（Ⅱ）若函數f（x）在區間（0，+∞）內任取兩個不相等的實數x1，x2，不等式恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；導數在最大值、最小值問題中的應用．【分析】（Ⅰ）求出函數的定義域，導函數，①當a≤0時，②當a＞0時，判斷導函數的符號，推出函數的單調性．（Ⅱ）不妨令x1＞x2，則x1+1＞x2+1，x∈（0，+∞），則x+1∈（1，+∞），不等式，推出f（x1+1）﹣（x1+1）＞f（x2+1）﹣（x2+1），設函數g（x）=f（x）﹣x，利用函數的導數利用函數的單調性與最值求解即可．【解答】（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）函數的定義域為x＞0，，…（2分）①當a≤0時，f'（x）＞0在x＞0上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上單調遞增．…（3分）②當a＞0時，方程2x2+2x﹣a=0有一正根一負根，在（0，+∞）上的根為，所以函數f（x）在上單調遞減，在上單調遞增．綜上，當a≤0時，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，當a＞0時，函數f（x）在上單調遞減，在上單調遞增．…（6分）（Ⅱ）不妨令x1＞x2，則x1+1＞x2+1，x∈（0，+∞），則x+1∈（1，+∞），由f（x1+1）﹣f（x2+1）＞（x1+1）﹣（x2+1）?f（x1+1）﹣（x1+1）＞f（x2+1）﹣（x2+1）…（8分）設函數g（x）=f（x）﹣x，則函數g（x）=f（x）﹣x是在（1，+∞）上的增函數，所以，…（10分）又函數g（x）=f（x）﹣x是在（1，+∞）上的增函數，只要在（1，+∞）上2x2+x≥a恒成立，y=2x2+x，在（1，+∞）上y＞3，所以a≤3．…（12分）【點評】本題考查函數導數的應用，函數的極值以及函數的單調性最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．20.已知橢圓（）的離心率，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）設過點的直線與橢圓交于，兩點，當是中點時，求直線方程．參考答案：（1）設橢圓的焦距為，則∴∴橢圓的方程為：.（2）設，.則，，∴又，∴.∴直線方程為即.21.已知函數.（1）求函數的單調區間和極值；（2）證明：當時，.參考答案：（1）見解析（2）見解析【分析】（1）求得函數的導數，利用導數函數取值的符號，得到函數的單調性，進而求解函數的極值，得到答案．（2）令，則，設，求得函數的導數，求得函數的單調性與最值，即可求解．【詳解】（1）由題意，函數，可得定義域，，令得或，可得的變化情況如下表：01+0-0+↗極大值↘極小值↗

所以函數的單調遞增區間是；單調遞減區間是，當有極大值，當有極小值．（2）令，則，設，則，當時，恒成立，所以在上是增函數，所以，又因為，所以，所以在上是增函數，所以，也就是，即當時，．【點睛】本題主要考查導數在函數中的綜合應用，以及不等式的證明，