廣東省梅州市興寧寧中中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.將函數(shù)的圖象沿x軸向右平移個(gè)單位，所得圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則a的最小值為A．

B．

C．

D．參考答案：B2.設(shè)點(diǎn)M（x1，f（x1））和點(diǎn)N（x2，f（x2））分別是函數(shù)f（x）=sinx+x3和g（x）=x﹣1圖象上的點(diǎn)，且x1≥0，x2≥0，若直線MN∥x軸，則M，N兩點(diǎn)間的距離的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），根據(jù)題意可知f（x1）=g（x2），令h（x）=sinx+x3+1﹣x，x≥0，求出其導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求得h（x）的最小值即為M、N兩點(diǎn)間的最短距離．【解答】解：∵當(dāng)x≥0時(shí)，f'（x）=cosx+x2＞0，∴函數(shù)y=f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．∵點(diǎn)M（x1，f（x1））和點(diǎn)N（x2，g（x2））分別是函數(shù)f（x）=sinx+x3和g（x）=x﹣1圖象上的點(diǎn)，且x1≥0，x2＞0，若直線MN∥x軸，則f（x1）=g（x2），即f（x）=sinx1+x13=x2﹣1，則M，N兩點(diǎn)間的距離為x2﹣x1=sinx1+x13+1﹣x1．令h（x）=sinx+x3+1﹣x，x≥0，則h′（x）=cosx+x2﹣1，h″（x）=﹣sinx+x≥0，故h′（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，故h′（x）=cosx+x2﹣1≥h′（0）=0，故h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，故h（x）的最小值為h（0）=1，即M，N兩點(diǎn)間的距離的最小值為1，故選：A．3.在數(shù)列等于（

）A．1

B．-1

C．

D．2參考答案：B4.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C5.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝（x＋1），則對(duì)任意的m∈R，函數(shù)F（x）＝f（f（x））－m的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至多有A．3個(gè)

B．4個(gè)

C．6個(gè)

D．9個(gè)參考答案：A當(dāng)時(shí),由此可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，,且,數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，而時(shí)，,所以的圖象如圖，令,則，由圖可知，當(dāng)時(shí)方程至多3個(gè)根，當(dāng)時(shí)方程沒有根，而對(duì)任意，至多有一個(gè)根，從而函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至多有3個(gè).

6.在2010年某大學(xué)的小語種提前招生考試中，某中學(xué)共獲得了5個(gè)推薦名額，其中俄語2名，日語2名，西班牙語1名，并且日語和俄語都要求必須有男生參加考試．學(xué)校通過選拔定下3男2女五個(gè)推薦對(duì)象，則不同的推薦方案共有（

）種．A．20

B．22

C．24

D．36參考答案：C略7.設(shè)雙曲線，離心率，右焦點(diǎn)．方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系A(chǔ)．在圓外 B．在圓上 C．在圓內(nèi) D．不確定參考答案：C8.滿足，且的集合的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2

C．3 D．4參考答案：B略9.二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)是(

)

A．-28

B．-7

C．7

D．-28參考答案：C10.已知球的球面上有、、、四點(diǎn)，其中、、、四點(diǎn)共面，是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面平面，則棱錐的體積的最大值為

A.

B.

C.

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則的值等于________．參考答案：12.將函數(shù)y＝sin2x按向量＝(－，1)平移后的函數(shù)解析式是____________.參考答案：略13.一漁民從池塘中撈出30條魚做上標(biāo)記，然后放回池塘，將帶有標(biāo)記的魚完全混合于魚群中，十天后在從池塘里撈出50條，發(fā)現(xiàn)其中帶有標(biāo)記的魚有2條，據(jù)此可以估計(jì)改池塘里約有_________條魚；參考答案：750略14.已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，則z=|x|+y的取值范圍為

．參考答案：[﹣1，]

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】先畫出滿足條件的平面區(qū)域，通過討論x的范圍，求出直線的表達(dá)式，結(jié)合圖象從而求出z的范圍．【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，z=|x|+y=，當(dāng)M（x，y）位于D中y軸的右側(cè)包括y軸時(shí)，平移直線：x+y=0，可得x+y∈[﹣1，2]，當(dāng)M（x，y）位于D中y軸左側(cè)，平移直線﹣x+y=0，可得z=﹣x+y∈（﹣1，]．所以z=|x|+y的取值范圍為：[﹣1，]．故答案為：[﹣1，]．15.將函數(shù)f（x）=2sin（2x+）的圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上每一點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，所得函數(shù)的解析式為．參考答案：y=﹣2cos4x【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式、y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．【解答】解：將函數(shù)f（x）=2sin（2x+）的圖象向右平移個(gè)單位，可得函數(shù)y=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x的圖象；再將圖象上每一點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，所得函數(shù)的解析式為y=﹣2cos4x的圖象，故答案為：y=﹣2cos4x．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查誘導(dǎo)公式、y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．16.有一種波，其波形為函數(shù)的圖象，若在區(qū)間[0，t]上至少有2個(gè)波峰（圖象的最高點(diǎn)），則正整數(shù)t的最小值是___________參考答案：答案：517.已知△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足b+2c≤3a，c+2a≤3b，則的取值范圍為．參考答案：【考點(diǎn)】解三角形．【分析】設(shè)出x=，y=，根據(jù)b+2c≤3a，c+2a≤3b變形得到兩個(gè)不等式，分別記作①和②，然后根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊分別列出不等式，變形得到三個(gè)不等式，分別記作③④⑤，畫出圖形，如圖所示，得到由四點(diǎn)組成的四邊形區(qū)域，根據(jù)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，得到x的范圍，即得到的取值范圍．【解答】解：令x=，y=，由b+2c≤3a，c+2a≤3b得：x+2y≤3①，3x﹣y≥2②，又﹣c＜a﹣b＜c及a+b＞c得：x﹣y＜1③，x﹣y＞﹣1④，x+y＞1⑤，由①②③④⑤可作出圖形，得到以點(diǎn)D（，），C（1，0），B（，），A（1，1）為頂點(diǎn)的四邊形區(qū)域，由線性規(guī)劃可得：＜x＜，0＜y＜1，則的取值范圍為（，）．故答案為：（，）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）設(shè)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)瞇，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值；（2）若曲線C上所有的點(diǎn)都在直線l的右下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：（1）；（2）【分析】（1）將直線的極坐標(biāo)方程化為普通方程，利用點(diǎn)到直線距離公式構(gòu)造出距離關(guān)于參數(shù)的三角函數(shù)關(guān)系式，利用三角函數(shù)值域可求得的最小值；（2）根據(jù)點(diǎn)在直線右下方可得：；利用輔助角公式進(jìn)行整理可得，從而利用三角函數(shù)范圍得到關(guān)于的不等式，從而求得范圍.【詳解】（1）由，得到，直線普通方程為：設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的最小值為（2）設(shè)曲線上任意點(diǎn)，由于曲線上所有的點(diǎn)都在直線的右下方，對(duì)任意恒成立，其中，.從而由于，解得：即：【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線距離最值的求解、點(diǎn)與直線位置關(guān)系的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠?qū)O坐標(biāo)方程化為普通方程，利用參數(shù)方程中的參數(shù)來構(gòu)造距離或不等關(guān)系.19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，直線與軸相交于點(diǎn).若點(diǎn)的縱坐標(biāo)恒小于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（Ⅱ）因?yàn)椋蕴幥芯€的斜率，所以切線的方程為，令，得.當(dāng)時(shí)，要使得點(diǎn)的縱坐標(biāo)恒小于1，只需，即.令，則，因?yàn)椋裕偃艏磿r(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，所以恒成立，所以滿足題意.②若即時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以，所以不滿足題意.③若即時(shí)，.則、、的關(guān)系如下表：0遞減極小值遞增所以，所以不滿足題意.綜合①②③，可得，當(dāng)時(shí)，時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)恒小于1.20.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，（）（1）若函數(shù)存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)且時(shí)，令，()，()為曲線y=上的兩動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，能否使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上？請(qǐng)說明理由參考答案：

（Ⅰ），若存在極值點(diǎn)，則有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根。所以，

……………2分解得

……………3分(Ⅱ)

……………4分當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

……………5分當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。……………7分（Ⅲ）當(dāng)且時(shí)，假設(shè)使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上。則且。

……………8分不妨設(shè)。故，則。，該方程有解

……………9分當(dāng)時(shí)，，代入方程得即，而此方程無實(shí)數(shù)解；

…………10分當(dāng)時(shí)，則；

…………11分當(dāng)時(shí)，，代入方程得即，

…………………12分設(shè)，則在上恒成立。∴在上單調(diào)遞增，從而，則值域?yàn)椤！喈?dāng)時(shí)，方程有解，即方程有解。

…………13分綜上所述，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上。

………………14分21.已知函數(shù)．（Ⅰ）求的解集；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的都成立，求的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）

6分∴即∴①或②或③解得不等式①：；②：無解③：所以的解集為或．

9分（Ⅱ）即的圖象恒在圖