廣東省惠州市黃埠中學2021-2022學年高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，，若，則等于（

）A．1

B．1或2

C．1或

D．2參考答案：B2.甲、乙兩人各自在300米長的直線形跑道上跑步，則在任一時刻兩人在跑道上相距不超過50米的概率是…………（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略3.若，則=（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】三角函數的化簡求值．【分析】利用誘導公式求得，半角公式cos（+α）=，再利用半角公式求得=的值．【解答】解：若，則cos（+α）=sin[﹣（+α）]=，∴===，故選：C．4.下列函數中，值域為R且為奇函數的是（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】依次判斷函數的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.，值域為，非奇非偶函數，排除；

B.，值域為，奇函數，排除；C.，值域為，奇函數，滿足；

D.，值域為，非奇非偶函數，排除；故選：.【點睛】本題考查了函數的值域和奇偶性，意在考查學生對于函數知識的綜合應用.5.在正三棱錐中，分別是的中點，有下列三個論斷：①；②//平面；③平面，其中正確論斷的個數為（

）A．3個 B．2個

C．1個

D．0個參考答案：6.邊長為的三角形的最大角與最小角的和是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略7.拋物線的交點為是拋物線上的點，若三角形的外接圓于拋物線的準線相切，且該圓的面積為，則的值為（

）A．2

B．4

C．6

D．8參考答案：D8.已知函數f（x）對定義域R內的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且當x≠2時導函數滿足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4，則(

)A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a） B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a） D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）參考答案：C【考點】函數的單調性與導數的關系．【專題】導數的概念及應用．【分析】由f（x）=f（4﹣x），可知函數f（x）關于直線x=2對稱，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（﹣∞，2）與（2，+∞）上的單調性，從而可得答案．【解答】解：∵函數f（x）對定義域R內的任意x都有f（x）=f（4﹣x），∴f（x）關于直線x=2對稱；又當x≠2時其導函數f′（x）滿足xf′（x）＞2f′（x）?f′（x）（x﹣2）＞0，∴當x＞2時，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的單調遞增；同理可得，當x＜2時，f（x）在（﹣∞，2）單調遞減；∵2＜a＜4，∴1＜log2a＜2，∴2＜4﹣log2a＜3，又4＜2a＜16，f（log2a）=f（4﹣log2a），f（x）在（2，+∞）上的單調遞增；∴f（log2a）＜f（3）＜f（2a）．故選：C．【點評】本題考查抽象函數及其應用，考查導數的性質，判斷f（x）在（﹣∞，2）與（2，+∞）上的單調性是關鍵，屬于中檔題9.如圖，的外接圓的圓心為,則等于（

）A．

B.

C．

D.參考答案：B10.已知=（a，﹣2），=（1，1﹣a），則“a=2”是“∥”的（）A．充要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡易邏輯．【分析】根據向量平行的等價條件，以及充分條件和必要條件的定義即可得到結論．【解答】解：若∥，則a（1﹣a）+2=0，即a2﹣a﹣2=0，解得a=2或a=﹣1，則“a=2”是“∥”的充分不必要條件，故選：B【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據向量共線的坐標公式是解決本題的關鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線的極坐標方程為，則極點到該直線的距離是

.參考答案：略12.

用[x]表示不大于實數x的最大整數，方程lg2x－[lgx]－2=0的實根個數是

．參考答案：3解：令lgx=t，則得t2－2=[t]．作圖象，知t=－1，t=2，及1<t<2內有一解．當1<t<2時，[t]=1，t=．故得：x=，x=100，x=10，即共有3個實根．13.△ABC中，若tanB·tanC=5,則的值為

.參考答案：略14.已知正四面體的內切球體積為，則該正四面體的體積為

．參考答案：8

【考點】球的體積和表面積．【分析】作出正四面體的圖形，確定球的球心位置為O，說明OE是內切球的半徑，進而求出棱長，可得正四面體的體積．【解答】解：如圖O為正四面體ABCD的內切球的球心，正四面體的棱長為a，所以OE為內切球的半徑，設OA=OB=R，在等邊三角形BCD中，BE=a，AE==a．由OB2=OE2+BE2，即有R2=（a﹣R）2+（a）2解得，R=a．OE=AE﹣R=a，由正四面體的內切球體積為，其內切球的半徑是OE=1，故a=2，四面體的體積V==8，故答案為：815.在中，若，則角A=

．參考答案：∵A+B+C=π，即B+C=π﹣A，∴4cos2﹣cos2（B+C）=2（1+cosA）﹣cos2A=﹣2cos2A+2cosA+3=，∴2cos2A﹣2cosA+=0，∴cosA=，又0＜A＜π，∴A=；

16.已知實數,滿足，則的最大值為

.參考答案：2試題分析：因為，所以，所以，即，解得：，所以的最大值為．考點：基本不等式．17.用數字0，1，2，3，4，5，6組成沒有重復數字的四位數，其中個位、十位和百位上的數字之和為偶數的四位數共有

個（用數字作答）參考答案：324解析：個位、十位和百位上的數字為3個偶數的有：種；個位、十位和百位上的數字為1個偶數2個奇數的有：種，所以共有個。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）為考查某種藥物預防疾病的效果,進行動物試驗,得到如下丟失數據

的列聯表:設從沒服用藥的動物中任取兩只,未患病數為;從服用藥物的動物中任取兩只,未患病數為,工作人員曾計算過P(=0)=P(=0).（1）求出列聯表中數據x,y,M,N的值;（2）求與的均值(期望)并比較大小,請解釋所得結論的實際含義;（3）能夠以99%的把握認為藥物有效嗎?公式參考:K2=?①當K2≥3.841時有95%的把握認為、有關聯;②當K2≥6.635時有99%的把握認為、有關聯。參考答案：19.函數（1）求不等式的解集；（2）若f(x)的最小值為k，且實數a、b、c滿足，求證：參考答案：（1）（2）證明見解析【分析】(1)分類去絕對值符號后解不等式，最后取并集；(2)求出函數的最小值k，根據基本不等式得出結論.【詳解】（1）①當時，不等式即為，解得②當時，不等式即為，③當時，不等式即為，綜上，的解集為（2）由當時，取最小值4，即，即當且僅當時等號成立【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，不等式的證明與基本不等式的應用，屬于中檔題.20.（文）在平面內，不等式確定的平面區域為，不等式組確定的平面區域為.（1）定義橫、縱坐標均為非負整數的點為“非負整點”.在區域中任取2個“非負整點”，求這些“非負整點”中恰好有1個“非負整點”落在區域中的概率；（2）在區域中任取一個點，求這個點恰好在區域內的概率。參考答案：（1）依題可知平面區域的非負整點為：共有6個，上述非負整點在平面區域內的為：共有3個，從中取出2個點的不同情況共有15種，其中恰好有一個在平面區域內的情況有9種，∴.（2）依題可得，平面區域的面積為，設扇形區域中心角為，則得，平面區域與平面區域相交部分的面積為.在區域任取1個點，則該點在區域內的概率為。21.某校高三年級有1000人，某次考試不同成績段的人數,且所有得分都是整數.(1)求全班平均成績；(2)計算得分超過141的人數；（精確到整數）(3)甲同學每次考試進入年級前100名的概率是，若本學期有4次考試，表示進入前100名的次數，寫出的分布列，并求期望與方差.參考數據：.參考答案：(1)由不同成績段的人數服從正態分布，可知平均成績.(2),故141分以上的人數為人.(3)的取值為0，1，2，3，4，,,,,,故的分布列為01234期望，方差.22.已知不等式的解集為，函數.(1)求m的值，并作出函數的圖象；(2)若關于x的方程恰有兩個不等實數根，求實數a的取值范圍.參考答案：（1）見解析；（2）【分析】（1）利用不等式的解集列出方程求解，然后化簡函數的解析式為分段函數的形式，即可畫出函數的圖象；（2）方程有兩個不等實根，等價于函數

和函數有兩個交點，結合函數的圖象求解即可．【詳解】(

1

)