廣東省惠州市矮陂中學2023年高二數學文下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設集合A=，，已知∈B,且B中含有3個元素，則集合B有(

)

A．A個

B．C個

C．A個

D．C個參考答案：B略2.已知函數f（x）=|x|?ex（x≠0），其中e為自然對數的底數，關于x的方程有四個相異實根，則實數λ的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】54：根的存在性及根的個數判斷．【分析】寫出分段函數，利用導數研究單調性和極值，畫出圖形的大致形狀，結合關于x的方程有四個相異實根列式求得實數λ的取值范圍．【解答】解：f（x）=|x|?ex=．當x＞0時，由f（x）=x?ex，得f′（x）=ex+x?ex=ex（x+1）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上為增函數；當x＜0時，由f（x）=﹣x?ex，得f′（x）=﹣ex﹣x?ex=﹣ex（x+1）．當x∈（﹣∞，﹣1）時，f′（x）＞0，當x∈（﹣1，0）時，f′（x）＜0，∴當x=﹣1時，函數f（x）取得極大值為f（﹣1）=．作出函數f（x）=|x|?ex（x≠0）的圖象的大致形狀：令f（x）=t，則方程化為，即t2﹣λt+2=0，要使關于x的方程有四個相異實根，則方程t2﹣λt+2=0的兩根一個在（0，），一個在（）之間．則，解得λ＞2e+．∴實數λ的取值范圍是（2e+，+∞）．故選：D．【點評】本題考查根的存在性及根的個數判斷，考查利用導數求極值，考查數學轉化思想方法及數形結合的解題思想方法，是中檔題．3.某中學有學生300人，其中一年級120人，二，三年級各90人，現要利用抽樣方法取10人參加某項調查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學生按一，二，三年級依次統一編號為1，2，…300；使用系統抽樣時，將學生統一編號為1，2，…300，并將整個編號依次分為10段．如果抽得的號碼有下列四種情況：①7，37，67，97，127，157，187，217，247，277；②5，9，100，107，121，180，195，221，265，299；

③11，41，71，101，131，161，191，221，251，281；④31，61，91，121，151，181，211，241，271，300關于上述樣本的下列結論中，正確的是（）A、①③都可能為分層抽樣

B、②④都不能為分層抽樣C、①④都可能為系統抽樣

D、②③都不能為系統抽樣參考答案：A4.的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數列，且，則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B5.定義：如果函數f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）滿足f'（x1）=，f'（x2）=，則稱函數f（x）是[a，b]上的“雙中值函數”，已知函數f（x）=2x3﹣x2+m是[0，2a]上“雙中值函數”，則實數a的取值范圍是（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，1）參考答案：A【考點】函數與方程的綜合運用．【分析】根據定義得出=8a2﹣2a，相當于6x2﹣2x=8a2﹣2a在[0，2a]上有兩個根，利用二次函數的性質解出a的范圍即可．【解答】解：f（x）=2x3﹣x2+m是[0，2a]上的“雙中值函數”，∴=8a2﹣2a，∵f'（x）=6x2﹣2x，∴6x2﹣2x=8a2﹣2a在[0，2a]上有兩個根，令g（x）=6x2﹣2x﹣8a2+2a，∴△=4+24（8a2﹣2a）＞0，g（0）＞0，g（2a）＞0，2a＞，∴＜a＜．故選A．【點評】考查了新定義類型題的解題方法，重點是對新定義性質的理解．6.函數的最小值是(

)A．3

B．4

C．5

D．6參考答案：C7.設函數在上可導，其導函數，且函數在處取得極小值，則函數的圖象可能是(

)參考答案：C略8.冪函數y＝xm與y＝xn在第一象限內的圖象如圖所示，則()A．－1＜n＜0，＜m＜1B．n＜－1，0＜m＜1C．－1＜n＜0，m＞1

D．n＜－1，m＞1參考答案：B9.已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，且，（），若對任意的，恒成立，則實數的取值范圍為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B10.從長度為1，3，5，7，9五條線段中任取三條能構成三角形的概率是(

)A、

B、

C、

D、參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若關于x的不等式的解集為，則實數m=____________.參考答案：【分析】由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集為（m，1）可知：x＝m，x＝1是方程2x2﹣3x+a＝0的兩根．根據韋達定理便可分別求出m和a的值．【詳解】由題意得：1為的根，所以，從而故答案為：【點睛】本題考查一元二次不等式的解法，屬于基礎題．12.平行六面體的所有棱長均為2，,那么二面角的余弦值為____________.參考答案：13.已知雙曲線的準線過橢圓的焦點，且直線與橢圓在第一象限至多只有一個交點，則實數的取值范圍為____________.參考答案：14.某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是___________參考答案：15.已知實數x，y，滿足xy=1，且x＞2y＞0，則的最小值為．參考答案：4【考點】基本不等式．【專題】不等式的解法及應用．【分析】根據分式中分母的特征，將分子配方，即可拆成基本不等式的形式，從而獲得最小值．【解答】解：∵xy=1，且x＞2y＞0，∴．當且僅當即x﹣2y=2時，取“=”號，此時，聯立xy=1，得時，有最小值4．故答案為：4．【點評】1．解決本題的突破口是：平方、拆項，化為基本不等式的形式．應學會一些常見的變形技巧．2．利用基本不等式時，應注意是否滿足條件“一正，二定，三相等”，否則取不到最值．16.從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則不同的選法共有____________種。（用數字作答）參考答案：36種略17.若等差數列{an}中有a6+a9+a12+a15=20，則其前20項和等于

．參考答案：100【考點】等差數列的前n項和；等差數列的性質．【分析】由等差數列{an}中有a6+a9+a12+a15=20，知a1+a20=10，由此能求出其前20項和．【解答】解：等差數列{an}中，∵a6+a9+a12+a15=2（a1+a20）=20，∴a1+a20=10，∴=10×10=100．故答案為：100．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分8分）如右圖為一組合幾何體，其底面為正方形，平面，，且（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求四棱錐的體積；（Ⅲ）求該組合體的表面積．參考答案：19.已知點A（0，﹣6），B（1，﹣5），且D為線段AB的中點．（Ⅰ）求中點D的坐標；（Ⅱ）求線段AB的垂直平分線的方程．參考答案：【考點】待定系數法求直線方程．【專題】方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】（Ⅰ）由已知條件求出AB的中點坐標為（，﹣），（Ⅱ）求出kAB=1，由此能求出線段AB的垂直平分線的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵A（0，﹣6），B（1，﹣5），∴AB的中點D坐標為（，﹣），（Ⅱ）kAB==1，∴線段AB的垂直平分線的斜率是﹣1，∴線段AB的垂直平分線的方程為：y+=﹣（x﹣），整理，得x+y+5=0．【點評】本題考查線段AB的垂直平分線的方程的求法，是基礎題，解題時要注意中點坐標公式和直線與直線垂直的性質的合理運用．20.(本小題10分)若函數，當時，函數有極值．（1）求函數的解析式；（2）若方程有3個不同的實根，求實數的取值范圍．參考答案：f′(x)＝3ax2－b.(1)由題意得f′(2)＝0

f(x)＝

解得故f(x)＝x3－4x＋4.(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)－因此，當x＝－2時，f(x)有極大值，當x＝2時，f(x)有極小值－，所以函數f(x)＝x3－4x＋4的圖象大致如圖所示．若f(x)＝k有3個不同的根，則直線y＝k與函數f(x)的圖象有3個交點，所以

－<k<.21.(10分)已知x，y都是正數．若3x＋2y＝12，求xy的最大值；

參考答案：解xy＝·3x·2y≤2＝6.當且僅當即時取“＝”號．所以當x＝2，y＝3時，xy取得最大值6.22.（本題滿分14分）如圖表4，在棱長為1的正方體中，點E是棱上的動點，F，G分別是的中點.（1）求證：.（2）當點E是棱上的中點時，求異面直線EF與CG所成角的余弦值.（3）當二面角達到最大時，求其余弦值.參考答案：（1）方法一：F為BD的中點，………………1分又面ABCD，……2分，面……3分面，……4分；方法二：以D為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系.則,,設.……1分則,…………2分………3分故……………………4分（2）方法一：連接.當點E是棱上的中點時，因為為的中點，由正方體的性質知ks5u故或其補角為異面直線EF與CG所成角.…………5分在中，……………6分在中，………7分在中，……8分故，在中，異面直線EF與CG所成角的余弦值為……9分；方法二：………………6分設異面直線EF與CG所成角為，則……8分異面直線EF與CG所成角的余弦值為………………9分（3）方法一：面，………………10分故為二面角的平面角，……………