廣東省惠州市博羅石壩中學高三數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.參考答案：C略2.向量、的夾角為，且，，則等于(

)A．1 B． C．2 D．4參考答案：C略3.給出下列命題：①若命題“p或q為真命題，則命題p或命題q均為真命題”②命題．則，使；③已知函數是函數在R上的導數，若為偶函數，則是奇函數；④已知，則“”是“”的充分不必要條件；其中真命題的個數是（

）A.1個

B.2個

C.3個

D.4個參考答案：B略4.如圖，四邊形ABCD內接于圓O，若，，，則的最大值為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】做出輔助線，根據題意得到；在三角形DCB中，應用余弦定理以及重要不等式得到再由正弦定理中的三角形面積公式得到結果.【詳解】做于點E，，在直角三角形中，可得到根據該四邊形對角互補得到在三角形ABD中，應用余弦定理得到在三角形DCB中，應用余弦定理以及重要不等式得到進而得到故答案為：C.【點睛】這個題目考查了余弦定理解三角形，以及四邊形有外接圓則對角互補的性質的應用；在解與三角形有關的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據.解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當條件中同時出現及、時，往往用余弦定理，而題設中如果邊和正弦、余弦函數交叉出現時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數再結合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.5.設函數f（x）=，若互不相等的實數x1，x2，x3滿足f（x1）=f（x2）=f（x3），則x1+x2+x3的取值范圍是（）A．（] B．（） C．（] D．（）參考答案：D【考點】分段函數的解析式求法及其圖象的作法．【專題】函數的性質及應用．【分析】先作出函數f（x）=的圖象，如圖，不妨設x1＜x2＜x3，則x2，x3關于直線x=3對稱，得到x2+x3=6，且﹣＜x1＜0；最后結合求得x1+x2+x3的取值范圍即可．【解答】解：函數f（x）=的圖象，如圖，不妨設x1＜x2＜x3，則x2，x3關于直線x=3對稱，故x2+x3=6，且x1滿足﹣＜x1＜0；則x1+x2+x3的取值范圍是：﹣+6＜x1+x2+x3＜0+6；即x1+x2+x3∈（，6）．故選D【點評】本小題主要考查分段函數的解析式求法及其圖象的作法、函數的值域的應用、函數與方程的綜合運用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．6.已知集合，，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B命題意圖：本題考查集合的基本運算及簡易邏輯，簡單題．7.數列是以為首項，為公比的等比數列，數列滿足，數列滿足，若為等比數列，則A. B. C. D.參考答案：B本題主要考查等比數列的通項公式與前n項和公式，考查了等比數列與計算能力.數列是以為首項，為公比的等比數列，當q=1時，1+na，，則，，，因為為等比數列，所以，此時無解；當時，，，因為為等比數列，所以,即,,則q=2,a=1,所以a+q=3.8.已知向量，，則是的

(A)充分不必要條件

(B)必要不充分條件(C)充分必要條件

(D)既不充分也不必要條件參考答案：A9.執行如圖所示的程序框圖，當輸入時，輸出的結果為（

）A．-1008

B．1009

C．3025

D．3028參考答案：B10.實數x，y，k滿足，，若的最大值為，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點】簡單的線性規劃E5B由約束條件作出可行域如圖，

要使有最大值為13，即，而，，

解得：或（舍去）．故選B.【思路點撥】由約束條件作出可行域，由的幾何意義得可行域內到原點距離最大的點為A，由z的最大值為13求解k的值．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如右圖給出的是計算的值的一個程序框圖，其中判斷框內應填入的條件是

；參考答案：12.右圖是一個階矩陣，依照該矩陣中元素的規律，則元素100在此矩陣中總共出現了________次。參考答案：613.已知，各項均為正數的數列滿足，若，則

.參考答案：略14.在銳角的三內角A，B，C的對邊邊長分別為a，b，c，若

.參考答案：略15.若實數、滿足，且的最小值為，則實數的值為__

參考答案：16.設

分別是橢圓的左、右焦點，過的直線與相交于兩點，且成等差數列，則的長為

．參考答案：17.向量=（2，3），=（﹣1，2），則﹣2的模等于．參考答案：【考點】平面向量的坐標運算．【分析】求出﹣2的坐標，帶入模的公式計算即可．【解答】解：∵=（2，3），=（﹣1，2），∴﹣2=（2，3）﹣（﹣2，4）=（4，﹣1），故﹣2的模是：=，故答案為：．【點評】本題考查了平面向量的坐標運算與模長的應用問題，是基礎題目．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，E是AB中點．（Ⅰ）求證：直線AM∥平面PNC；（Ⅱ）求證：直線CD⊥平面PDE；（III）在AB上是否存在一點G，使得二面角G﹣PD﹣A的大小為，若存在，確定G的位置，若不存在，說明理由．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）在PC上取一點F，使PF=2FC，連接MF，NF，結合已知可得MF∥DC，MF=，AN∥DC，AN=．從而可得MFNA為平行四邊形，即AM∥NA．再由線面平行的判定可得直線AM∥平面PNC；（Ⅱ）由E是AB中點，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，得∠AED=90°．進一步得到CD⊥DE．再由PD⊥平面ABCD得CD⊥PD．由線面垂直的判定可得直線CD⊥平面PDE；（III）由（Ⅱ）可知DP，DE，DC，相互垂直，以D為原點，建立空間直角坐標系．然后利用平面法向量所成角的余弦值求得G點位置．【解答】證明：（Ⅰ）在PC上取一點F，使PF=2FC，連接MF，NF，∵PM=2MD，AN=2NB，∴MF∥DC，MF=，AN∥DC，AN=．∴MF∥AN，MF=AN，∴MFNA為平行四邊形，即AM∥NA．又AM?平面PNC，∴直線AM∥平面PNC；（Ⅱ）∵E是AB中點，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴∠AED=90°．∵AB∥CD，∴∠EDC=90°，即CD⊥DE．又PD⊥平面ABCD，∴CD⊥PD．又DE∩PD=D，∴直線CD⊥平面PDE；解：（III）由（Ⅱ）可知DP，DE，DC，相互垂直，以D為原點，如圖建立空間直角坐標系．則．設面PDA的法向量，由，得．設面PDG的法向量，由，得．∴cos60°=．解得，則．∴G與B重合．點B的位置為所求．19.（本題滿分12分）設復數，其中，，為虛數單位．若是方程的一個根，且在復平面內對應的點在第一象限，求與的值．參考答案：方程的根為．………………（3分）因為在復平面內對應的點在第一象限，所以，………………（5分）所以，解得，因為，所以，……（8分）所以，所以，故．…………（11分）所以，．…………（12分）

略20.（本小題滿分12分）2015年國慶節之前，市教育局為高三學生在緊張學習之余，不忘體能素質的提升，要求該市高三全體學生進行一套滿分為120分的體能測試，市教育局為了迅速了解學生體能素質狀況，按照全市高三測試學生的先后順序，每間隔50人就抽取一人的抽樣方法抽取40分進行統計分析，將這40人的體能測試成績分成六段后，得到如下圖的頻率分布直方圖．（1）市教育局在采樣中，用的是什么抽樣方法？并估計這40人體能測試成績平均數；（2）從體能測試成績在的學生中任抽取2人，求抽出的2人體能測試成績在概率．

參考數據：

參考答案：【知識點】列舉法計算基本事件數及事件發生的概率；頻率分布直方圖．K2I2【答案解析】（1）97；（2）解析：（1）根據“每間隔50人就抽取一人”,符合系統抽樣的原理,故市教育局在采樣中,用到的是系統抽樣方法.…………3分平均數的估計值為：…………6分（2）從圖中可知，體能測試成績在的人數為（人），分別記為；體能測試成績在人數為（輛），分別記為，從這人中隨機抽取兩人共有種情況：，，，，，，，.……9分抽出的人中體能測試成績在的情況有共6種，………１１分故所求事件的概率.…………………12分【思路點撥】（1）根據系統抽樣的特征判斷抽樣方法是系統抽樣；根據中位數的左、右兩邊小矩形的面積相等求中位數；（2）利用頻數=頻率×樣本容量分別求得體能測試成績在[80，85）的人數和[85，90）人數，用列舉法寫出從這6人中隨機抽取2人的所有基本事件，找出抽出的2人中體能測試成績在[85，90）的基本事件，利用個數比求概率．．21.（本小題滿分l2分）設橢圓的焦點分別為、，直線：交軸于點，且．（1）試求橢圓的方程；（2）過、分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于、、、四點（如圖所示）

試求四邊形面積的最大值和最小值．參考答案：22.（2017?莆田一模）已知數列{an}的前n項和，其中k為常數，a1，a4，a13成等比數列．（1）求k的值及數列{an}的通項公式；（2）設，數列{bn}的前n項和為Tn，證明：．參考答案：【考點】數列的求和．【分析】（1）由已知數列的前n項和求得an=Sn﹣Sn﹣1=2n+k﹣1（n≥2），再求得首項，驗證首項成立可得數列通項公式，結合a1，a4，a13成等比數列求得k，則通項公式可求；（2）把（1）中求得的通項公式代入，整理后利用裂項相消法求得數列