廣東省廣州市職業高級中學2023年高一數學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.球O為邊長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的內切球，P為球O的球面上動點，M為B1C1中點，DP⊥BM，則點P的軌跡周長為(

)A．π B．π C．π D．π參考答案：D【考點】球內接多面體．【專題】綜合題；空間位置關系與距離．【分析】取BB1的中點N，連接CN，確定點P的軌跡為過D，C，N的平面與內切球的交線，求出截面圓的半徑，即可得出結論．【解答】解：由題意，取BB1的中點N，連接CN，則CN⊥BM，∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1，∴CN為DP在平面B1C1CB中的射影，∴點P的軌跡為過D，C，N的平面與內切球的交線，∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1的邊長為2，∴O到過D，C，N的平面的距離為，∴截面圓的半徑為=，∴點P的軌跡周長為．故選：D．【點評】本題考查截面與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，確定點P的軌跡是關鍵．2.設，則（

★

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.函數的定義域為

A．（－5，＋∞）

B．［－5，＋∞

C．（－5，0）

D．（－2，0）參考答案：A4.（5分）某購物網站在2014年11月開展“全場6折”促銷活動，在11日當天購物還可以再享受“每張訂單金額（6折后）滿300元時可減免100元”．某人在11日當天欲購入原價48元（單價）的商品共42件，為使花錢總數量最少，他最少需要下的訂單張數為（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5參考答案：B考點： 函數模型的選擇與應用．專題： 應用題；函數的性質及應用．分析： 因是選擇題，可進行分步計算，用42=9+11+11+11易得到．解答： ∵原價是：48×42=2016（元），2016×0.6=1209.6（元），∵每張訂單金額（6折后）滿300元時可減免100，∴若分成10，10，11，11，由于48×10=480，480×0.6=288，達不到滿300元時可減免100，∴應分成9，11，11，11．∴只能減免3次，故選：B．點評： 本題是一道應用題，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的解法．5.已知a=，則下列結論正確的是A．c>b>aB．c>a>bC．a>b>cD．a>c>b參考答案：D6.函數f（x）=|sinx|+2|cosx|的值域為（）A．[1，2] B．[，3] C．[2，] D．[1，]參考答案：D【考點】三角函數值的符號；函數的值域．【分析】先將函數y=|sinx|+2|cosx|的值域?當x∈[0，]時，y=sinx+2cosx的值域，利用兩角和與差的正弦函數化簡，由正弦函數的性質求出函數的值域．【解答】解：∵函數y=|sinx|+2|cosx|的值域?當x∈[0，]時，y=sinx+2cosx的值域，∴y=sinx+2cosx=（其中θ是銳角，、），由x∈[0，]得，x+θ∈[θ，+θ]，所以cosθ≤sin（x+θ）≤1，即≤sin（x+θ）≤1，所以，則函數y=|sinx|+2|cosx|的值域是[1，]，故選：D．7.已知a＞0，b＞0，，則的最小值為（

）A．－3

B．

C．4

D．參考答案：B8.函數的圖象的一條對稱軸的方程是（）參考答案：A9.已知A,B,C,是的三個內角，若的面積（

）A.

B.

C.3

D.參考答案：D10.下列函數是偶函數的是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數列滿足則的通項公式

參考答案：略12.函數f（x）=ln（x+2）﹣的零點所在區間是（n，n+1），則正整數n=

．參考答案：1【考點】函數零點的判定定理．【專題】計算題；壓軸題．【分析】由于本題是填空題，求的又是正整數，所以可以用特殊值法來解．代入1即可．【解答】解：因為n是正整數，所以可以從最小的1來判斷，當n=1時，f（1）=ln（1+2）﹣2=ln3﹣2＜0，而f（2）=ln（2+2）﹣1＞0，所以n=1符合要求．又因為f（x）=ln（x+2）﹣，所以f'（x）=+=在定義域內恒大于0，故原函數遞增，所以當n＞2時，f（n）＞f（2）＞0，即從2向后無零點．故答案為1．【點評】本題考查了函數零點的判定定理．在解題過程中用了填空題和選擇題的特有解法；特殊值法．13.

．參考答案：4先用對數的運算法則將原始化簡為，然后用對數的換底公式將不同底化為同底數即可通過約分求出值，對對數式求值問題，常先用對數運算進行化簡，若底數不同用換底公式化為同底在運算.原式===4.

14.已知點P為線段y=2x，x∈[2，4]上任意一點，點Q為圓C：（x﹣3）2+（y+2）2=1上一動點，則線段|PQ|的最小值為．參考答案：﹣1【考點】直線與圓的位置關系．【分析】用參數法，設出點P（x，2x），x∈[2，4]，求出點P到圓心C的距離|PC|，計算|PC|的最小值即可得出結論．【解答】解：設點P（x，2x），x∈[2，4]，則點P到圓C：（x﹣3）2+（y+2）2=1的圓心距離是：|PC|==，設f（x）=5x2+2x+13，x∈[2，4]，則f（x）是單調增函數，且f（x）≥f（2）=37，所以|PC|≥，所以線段|PQ|的最小值為﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查了兩點間的距離公式與應用問題，也考查了求函數在閉區間上的最值問題，是基礎題目．15.在△ABC中，角的對邊分別為，向量，，若，則角

．參考答案：16.已知函數f（x）=是R上的增函數，則實數a的范圍是．參考答案：[，6）【考點】函數單調性的性質．【分析】根據分段函數單調性的性質，確定a滿足的條件即可求得a的取值范圍．【解答】解：要使函數f（x）是增函數，則滿足，即≤a＜6，故答案為：[，6）．17.等差數列中，，，則

.參考答案：21三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.九連環是我國的一種古老的智力游戲，它環環相扣，趣味無窮．按照某種規則解開九連環，至少需要移動圓環a9次．我們不妨考慮n個圓環的情況，用an表示解下n個圓環所需的最少移動次數，用bn表示前（n﹣1）個圓環都已經解下后，再解第n個圓環所需的次數，按照某種規則可得：a1=1，a2=2，an=an﹣2+1+bn﹣1，b1=1，bn=2bn﹣1+1．（1）求bn的表達式；（2）求a9的值，并求出an的表達式；（3）求證：．參考答案：解：（1）由bn=2bn﹣1+1．可得bn+1=2（bn﹣1+1），又b1+1=2，∴數列{bn+1}是以2為首項，2為公比的等比數列，∴，得．（2）由已知，∴+28+26+24==341．當n是偶數時，=…==2n﹣1+2n﹣3+…+23+2==．當n是奇數時，=…==2n﹣1+2n﹣3+…+22+1=．綜上所述：．（3）當n為偶數時，，當n為奇數時，．∴當n∈N*時，=，∴…+=．略19.（本小題滿分10分）

在平面直角坐標系中，已知點A（－2，1），直線。

（1）若直線過點A，且與直線垂直，求直線的方程；

（2）若直線與直線平行，且在軸、軸上的截距之和為3，求直線的方程。

參考答案：解：（1）由題意，直線的斜率為2，所以直線的斜率為，（2分）

所以直線的方程為，即。（4分）

（2）由題意，直線的斜率為2，所以直線的斜率為2，

設直線的方程為。（6分）

令，得；令，得。（8分）

由題知，解得。

所以直線的方程為，即。（10分）20.已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．（1）求cos（α﹣β）的值

（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cosβ=，求sinα．參考答案：【考點】兩角和與差的余弦函數．【分析】（1）利用兩個向量坐標形式的運算，兩角差的余弦公式求得cos（α﹣β）的值．（2）由條件求得sin（α﹣β）、sinβ的值，再根據sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ計算求得結果．【解答】解：（1）∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|===．∴cos（α﹣β）=．（2）由（1）得，，∴，∴sin（α﹣β）==，又∵cosβ=，∴sinβ=﹣=﹣．∴sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=+=．21.已知函數． （1）求f（x）的周期． （2）當時，求f（x）的最大值、最小值及對應的x值． 參考答案：【考點】三角函數中的恒等變換應用；三角函數的周期性及其求法． 【專題】計算題；函數思想；綜合法；三角函數的求值． 【分析】（1）根據三角函數公式化為f（x）=2sin（2x+）．即可求解周期． （2）根據范圍得出，利用單調性求解即可． 【解答】解：（1）∵函數． ∴函數f（x）=2sin（2x+）． ∴f（x）的周期T==π 即T=π （2）∵ ∴， ∴﹣1≤sin（2x+）≤2 最大值2，2x=，此時， 最小值﹣1，2x=

此時 【點評】本題簡單的考察了三角函數的性質，單調性，周期性，熟練化為一個角的三角函數形式即可． 22.已知函數f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）．（1）若函數f（x）的定義域和值域均為[1，a]，求實數a的值；（2）若f（x）在區間（﹣∞，2]，上是減函數，且對任意的x1，x2∈[1，a+1]，總有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】二次函數的性質．【分析】（1）確定函數的對稱軸，從而可得函數的單調性，利用f（x）的定義域和值域均是[1，a]，建立方程，即可求實數a的值．（2）可以根據函數f（x）=x2﹣2ax+5=（x﹣a）2+5﹣a2．開口向上，對稱軸為x=a，可以推出a的范圍，利用函數的圖象求出[1，a+1]上的最值問題，對任意的x∈[1，a+1]，總有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，從而求出實數a的取值范圍．【解答】解：（1）∵函數f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1），∴f（x）開口向上，對稱軸為x=a＞1，…∴f（x）在[1，a]是單調減函數，…∴f（x）的最大值為f（1）=6﹣2a；f（x）的最小值為f（a）=5﹣a2…∴6﹣2a=a，且5﹣a2=1∴a=2…（2）函數f（x）=x2﹣2ax