廣東省佛山市藝術中學2021年高三數學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知圓O為Rt△ABC的內切圓，AC=3，BC=4，∠C=90°，過圓心O的直線l交圓O于P，Q兩點，則的取值范圍是（）A．（﹣7，1） B．．[0，1] C．[﹣7，0] D．[﹣7，1]參考答案：D【考點】平面向量數量積的運算．【分析】以O為坐標原點，與直線BC平行的直線為x軸，與直線AC平行的直線為y軸，建立直角坐標系，設△ABC的內切圓的半徑為r，運用面積相等可得r=1，設出圓的方程，求得交點P，Q，討論直線的斜率k不存在和大于0，小于0的情況，運用向量的坐標運算，結合數量積的坐標表示和不等式的性質，計算即可得到范圍．【解答】解：以O為坐標原點，與直線BC平行的直線為x軸，與直線AC平行的直線為y軸，建立直角坐標系，如圖所示；設△ABC的內切圓的半徑為r，運用面積相等可得，×3×4=×r×（3+4+5），解得r=1，則B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），即有圓O：x2+y2=1，當直線PQ的斜率不存在時，即有P（0，1），Q（0，﹣1），=（3，3），=（﹣1，0），即有=﹣3．當直線PQ的斜率存在時，設直線l：y=kx，（k＜0），代入圓的方程可得P（﹣，﹣），Q（，），即有=（3﹣，1﹣），=（﹣1，+1），則有=（3﹣）（﹣1）+（1﹣）（+1）=﹣3+，由1+k2≥1可得0＜≤4，則有﹣3＜﹣3+≤1；同理當k＞0時，求得P（，），Q（﹣，﹣），有═﹣3﹣，可得﹣7≤﹣3+＜﹣3；綜上可得，?的取值范圍是[﹣7，1]．故選：D．2.設正實數滿足，則當取得最大值時，的最大值為（）(A)0

(B)1

(C)

(D)3參考答案：B，又均為正實數，，當且僅當時等號成立，因此當取得最大值時，，此時，因此，，當且僅當時等號成立，因此的最大值為，故選B.3.已知集合,則等于A．{-1,0,1} B．{1} C．{-1,1} D．{0,1}參考答案：B略4.某兄弟倆都推銷某一小家電，現抽取他們其中8天的銷售量（單位：臺），得到的莖葉圖如下圖所示，已知弟弟的銷售量的平均數為34，哥哥的銷售量的中位數比弟弟的銷售量的眾數大2，則x+y的值為（

）A．5 B．13

C．15

D．20參考答案：B根據莖葉圖中的數據知，弟弟的眾數是34,則哥哥的中位數是，，解得，又，解得，，故選B.

5.等式成立是成等差數列的(

)條件A.充分而不必要

B.必要而不充分

C.充分必要

D.既不充分又不必要參考答案：知識點：等差數列充分、必要條件A2D2B解析：顯然當α＋γ=，2β=時，等式成立，但α，β，γ不成等差數列，所以充分性不滿足，若α，β，γ成等差數列，則α＋γ=2β，顯然等式成立，所以必要性滿足，則選B.【思路點撥】判斷充分必要條件時，應先分清命題的條件與結論，由條件能推出結論，則充分性滿足，由結論能推出條件，則必要性滿足.6.已知點，為圓上的任意兩點，且，若中點組成的區域為，在圓內任取一點，則該點落在區域上的概率為A．

B．

C．

D．參考答案：B中點組成的區域為如圖所示，那么在內部任取一點落在內的概率為，故選．7.已知函數，集合，現從M中任取兩個不同的元素，則的概率為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A

【知識點】三角函數的化簡求值；等可能事件的概率．C7K1解析：已知函數，集合，現從M中任取兩個不同的元素，則m=3，9時，滿足f（m）?f（n）=0的個數為m=3時8個m=9時8個，n=3時8個，n=9時8個，重復2個，共有30個．從A中任取兩個不同的元素m，n，則f（m）?f（n）的值有72個，所以函數，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，從A中任取兩個不同的元素m，n，則的概率為：=，故選A．【思路點撥】對于m值，求出函數的值，然后用排列組合求出滿足的個數，以及所有的個數，即可得到的概率．8.命題：“”，則（

）A．是假命題；：

B．是假命題；：C．是真命題；：D．是真命題；：參考答案：B9.函數的圖像可能是（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】分析四個圖像的不同，從而判斷函數的性質，利用排除法求解?！驹斀狻慨敃r，，故排除D；由于函數的定義域為，且在上連續，故排除B；由，由于，，所以，故排除C;故答案為A?！军c睛】本題考查了函數的性質的判斷與數形結合的思想方法的應用，屬于中檔題。10.若i為虛數單位，圖中復平面內點Z表示復數z，則此復平面內表示復數的點是

（A）E

（B）F

（C）G

（D）H

參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若a＞0，b＞0，且函數f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等于___▲_____參考答案：912.已知，則tanα=__________．參考答案：，解方程得.

13.若過點A（4，0）的直線l與曲線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍為

。參考答案：14.已知函數f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，則實數a的取值范圍是________．參考答案：(－2,1)15.若函數有三個不同的零點，則函數的零點個數是________個．參考答案：416.等差數列的前項和為，若則

．參考答案：8略17.設當時，函數取得最大值，則

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）某工廠生產一種儀器的元件，由于受生產能力和技術水平的限制，會產生一些次品，根據經驗知道，其次品率與日產量（萬件）之間滿足關系：（其中為小于6的正常數）（注：次品率=次品數/生產量，如表示每生產10件產品，有1件為次品，其余為合格品）已知每生產1萬件合格的儀器可以盈利2萬元，但每生產1萬件次品將虧損1萬元，故廠方希望定出合適的日產量.（1）試將生產這種儀器的元件每天的盈利額(萬元）表示為日產量（萬件）的函數；（2）當日產量為多少時，可獲得最大利潤？參考答案：解：（Ⅰ）當時，，------------------------2分當時，，綜上，日盈利額（萬元）與日產量（萬件）的函數關系為：-------------------------------------6分（Ⅱ）由（1）知，當時，每天的盈利額為0

當時，當且僅當時取等號------------------8分所以當時，，此時

當時，由知函數在上遞增，，此時--------------------10分綜上，若，則當日產量為3萬件時，可獲得最大利潤

略19.（本小題滿分14分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，

AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一點．（Ⅰ）求證：BC⊥AM；（Ⅱ）若M，N分別為CC1，AB的中點，求證：CN//平面AB1M．參考答案：證明：（Ⅰ）因為三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥BC．

…………1分因為AC=BC=2，，所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．

……………2分又因為AC∩CC1=C，所以BC⊥平面ACC1A1．

……4分因為AM平面ACC1A1，所以BC⊥AM．

……6分（Ⅱ）過N作NP∥BB1交AB1于P，連結MP，則NP∥CC1．………………8分因為M,N分別為CC1,AB中點，所以，．

…………9分因為BB1=CC1，所以NP=CM．

……10分所以四邊形MCNP是平行四邊形．…………11分所以CN//MP．

……12分因為CN平面AB1M，MP平面AB1M，

……13分所以CN//平面AB1M．

……14分20.（13分）（2013?宿遷一模）已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，數列的前n項和為Tn，且，n∈N*．（1）證明數列{an}是等比數列，并寫出通項公式；（2）若對n∈N*恒成立，求λ的最小值；（3）若成等差數列，求正整數x，y的值．參考答案：(1)，n∈N*;(2)λ≥3;(3)x=1，y=2．（1）因為，其中Sn是數列{an}的前n項和，Tn是數列的前n項和，且an＞0，當n=1時，由，解得a1=1，…（2分）當n=2時，由，解得；…（4分）由，知，兩式相減得，即，…（5分）亦即2Sn+1﹣Sn=2，從而2Sn﹣Sn﹣1=2，（n≥2），再次相減得，又，所以所以數列{an}是首項為1，公比為的等比數列，…（7分）其通項公式為，n∈N*．…（8分）（2）由（1）可得，，…（10分）若對n∈N*恒成立，只需=3×=3﹣對n∈N*恒成立，∵3﹣＜3對n∈N*恒成立，∴λ≥3．（3）若成等差數列，其中x，y為正整數，則成等差數列，整理，得2x=1+2y﹣2，當y＞2時，等式右邊為大于2的奇數，等式左邊為偶數或1，等式不能成立，∴滿足條件的正整數x，y的值為x=1，y=2．21.已知橢圓的離心率，過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長為3．（1）求橢圓的方程；（2）動直線與橢圓交于A,B兩點，在平面上是否存在定點P，使得當直線PA與直線PB的斜率均存在時，斜率之和是與m無關的常數？若存在，求出所有滿足條件的定點P的坐標；若不存在，請說明理由．參考答案：(1)設橢圓的半焦距為c，則，且．由解得．……2分依題意，，于是橢圓的方程為．……………4分(2)設，設，與橢圓方程聯立得則有………6分直線PA,PB的斜率之和………9分當