模糊控制基礎知識補充：模糊數學基礎知識1.模糊集合及其運算

(1)模糊集合①隸屬函數：用于描述模糊集合，并在[0，1]閉區間連續取值的特征函數.Ex1青年集合A經典集合:模糊集合：圖1青年的特征函數和隸屬函數

a)特征函數b)隸屬函數②常用的隸屬函數a.三角型隸屬函數的解析式隸屬函數曲線圖如圖2a所示。b.正態型隸屬函數的解析式隸屬函數曲線圖如圖2a所示。μA

1-

0bacxAμA

1-

0axA(b)

圖2隸屬函數曲線圖

③模糊集合的定義定義1：給定論域X,是X中的模糊集合是指用這樣的隸屬函數表示其特征的集合。

④模糊集合的表示形式

i(1)iiX連續(2)X離散Ex1

青年模糊集合

Ex2設論域X={1，2，3，4，5}，可定義X上的如下模糊集，A表示“大”，B表示“小”，C表示“中”，并設各元素的隸屬函數分別為

論域X是離散的，則A可表示為(2)模糊集合的運算①等集：②子集：③空集：④并集：⑤交集：⑥補集：Ex3設論域，A和B是論域X上的兩個模糊集合，已知2.模糊語言定義2語言變量是以五元組（x,T(x),X,G,M)來表征的，其中x是變量的名稱，

T(x)是語言變量值的集合，每個語言變量值是定義在論域X上的一個模糊集合，G是用以產生語言變量x值名稱的語法規則，而M是語義規則，用以產生模糊集合的隸屬度函數。Ex4xT(x)X圖3模糊語言變量的五元體3模糊關系(1)模糊關系的定義設X、Y為兩非空集合，各任取一元素組成序對(x,y)，稱所有序對構成的集合為X和Y的直積，并記為：定義：從X到Y的模糊關系R是指在直積XxY中的一個模糊子集，其模糊關系由隸屬函數：來刻劃，隸屬度表示序對(x,y)具有關系R的程度。

當X,Y是有限的離散集合時，X和Y的模糊關系R可以用矩陣表示，稱為關系矩陣，即Ex5設X為橫軸，Y為縱軸，直積即整個平面。模糊關系“x遠遠大于y”的隸屬函數確定為

在X中取10，20，40，80四個點，在Y中取10，20，30，40四個點，則模糊關系矩陣為（2）模糊關系的運算模糊關系是積空間上的模糊集合，它的運算法則與一般的模糊集合完全相同。

a.合成運算合成定義：設X、Y、Z是論域，R是X到Y的一個模糊關系，S是Y到Z的一個模糊關系，則R到S的合成T也是一個模糊關系，記為它具有隸屬度Max-mincompositionEx6

已知模糊關系矩陣b.冪運算設R是上的模糊關系，則它的模糊關系矩陣為方陣，R的冪定義為：c.逆運算設R是X到Y的模糊關系，則其逆模糊關系是Y到X的一個模糊關系，其隸屬函數為

Ex7設X為橫軸，Y為縱軸，直積即整個平面。模糊關系“y遠遠小于x”的隸屬函數確定為(3)模糊關系的性質設R是上的模糊關系自反性：若，都有；對稱性：若，都有；傳遞性：若有；等價性：若R同時具有自反性、對稱性和傳遞性，R具有等價性4模糊推理廣義前向推理（abbrev.GMP)

大前提：如果X是A，則Y是B

小前提：X是A’

結論：Y是B’

廣義反向推理（abbrev.GMT)

大前提：如果X是A，則Y是B

小前提：Y是B’

結論：X是A’模糊推理中的前提和結論都含有模糊概念的陳述句稱為模糊命題。模糊命題中常用到極、很、相當、比較、略、微等副詞修飾程度，這些詞稱為語氣算子。如：

（1）模糊蘊含

模糊命題：“如果x是

A，則

y是B”，表示模糊集合A和B之間有蘊含關系：用模糊關系矩陣表示：一些常見的模糊規則的關系矩陣的表達式：如果x為A，則y為B,否則y為C，：如果x為A，y為B,則z為C：如果x為A，y為B,z為C，否則z為D

：Ex8設論域上的模糊集合分別為：“小”=。模糊關系“如果x為小，則y為大”的模糊關系矩陣為：Ex9設論域，已知模糊集合模糊規則“如果x為A，并且y為B，則z為C”的關系矩陣R為：

廣義前向推理：廣義反向推理：練習：在Ex9中，若已知求C’4.36模糊控制系統框圖4.5.1模糊控制系統的組成4.5.2模糊控制器的輸入輸出變量及其模糊化1．模糊控制器的輸入、輸出變量模糊控制器的輸入變量通常取E或E和EC或E，EC和ER，分別構成所謂一維、二維、三維模糊控制器。一維模糊控制器的動態性能不佳，通常用于一階被控對象；二維模糊控制器的控制性能和控制復雜性都比較好，是目前廣泛采用的一種形式。一般選擇控制量的增量作為模糊控制器的輸出變量。2．描述輸入和輸出變量的詞集

在模糊控制中，輸入輸出變量大小是以語言形式描述的，一般都選用“大、中、小”三個詞匯來描述模糊控制器的輸入、輸出變量的狀態，再加上正負兩個方向和零狀態，共有七個詞匯：｛負大，負中，負小，零，正小，正中，正大｝一般用這些詞的英文字頭縮寫為：｛NB，NM，NS，O，PS，PM，PB｝

為了提高系統穩態精度，通常在誤差接近于零時增加分辨率，將“零”又分為“正零”和“負零”，因此，描述誤差變量的詞集一般取為：｛負大，負中，負小，負零，正零，正小，正中，正大｝用英文字頭簡記為：｛NB，NM，NS，NO，PO，PS，PM，PB｝

注意，上述“零”、“負零”、“正零”和其他詞匯一樣，都是描述了變量的一個區域。｛NB，NM，NS，O，PS，PM，PB｝

3．變量的模糊化某個變量變化的實際范圍稱為該變量的基本論域。記誤差的基本論域為[-xe，xe]，誤差變化的基本論域為[-xc，xc]，模糊控制器的輸出變量(系統的控制量)的基本論域為[-yu，yu]。基本論域內的量是精確量，因而模糊控制器的輸入和輸出都是精確量，但是模糊控制算法需要模糊量。因此，輸入的精確量(數字量)需要轉換為模糊量，這個過程稱為“模糊化”(Fuzzification)；另一方面，模糊算法所得到的模糊控制量需要轉換為精確的控制量，這個過程稱為“清晰化”或者“反模糊化”(Defuzzification)。比較實用的模糊化方法是將基本論域分為n個檔次，即取變量的模糊子集論域為｛-n.-n+1,...,0，...,n-1,n｝

從基本論域[a，b]到模糊子集論域[-n，n]的轉換公式為

(4—51)

一般選擇模糊論域中所含元素個數為模糊語言詞集總數的二倍以上，確保諸模糊集能較好地覆蓋論域，避免出現失控現象。例如在選擇上述七個詞匯情況下，可選擇E和EC的論域均為:｛-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，23，4，5，6｝選擇模糊控制器的輸出變量即系統的控制量U的論域為:｛-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，23，4，5，6，7｝4．隸屬度為了實現模糊化，要在上述離散化了的精確量與表示模糊語言的模糊量之間建立關系，即確定論域中的每個元素對各個模糊語言變量的隸屬度。隸屬度是描述某個確定量隸屬于某個模糊語言變量的程度。例如，在上述E和EC的論域中，6隸屬于PB(正大)，隸屬度為；+5也隸屬于PB，但隸屬度要比+6差，可取為；+4屬于PB的程度更小，隸屬度可取為；顯然，0～-6就不屬于PB了。所以隸屬度取為0。常用的確定模糊變量隸屬度μ的賦值表，如表～。

下面推薦一種根據系統輸出的誤差及誤差的變化趨勢，消除誤差的模糊控制規則。該規則用下述21條模糊條件語句來描述，基本總結了眾多的被控對象手動操作過程中，各種可能出現的情況和相應的控制策略。

1．ifE＝NBorNMandEC＝NBorNMthenU＝PB2．ifE＝NBorNMandEC＝NSorOthenU＝PB3．ifE＝NBorNMandEC＝PSthenU＝PM4．ifE＝NBorNMandEC＝PMorPBthenU＝O5．ifE＝NSandEC＝NBorNMthenU＝PM6．ifE＝NSandEC＝NSorOthenU＝PM7．ifE＝NSandEC＝PSthen；U＝O8．ifE＝NSandEC＝PMorPBthenU＝NS9．ifE＝NOorPOandEC＝NBorNMthenU＝PM10．ifE＝NOorPOandEC＝NSthenU＝PS建立模糊控制規則11．ifE＝NOorPOandEC＝OthenU＝O12．ifE＝NOorPOandEC＝PSthenU＝NS13．ifE＝NOorPOandEC＝PMorPBthenU＝NM14．ifE＝PSandEC＝NBorNMthenU＝PS15．ifE＝PSandEC＝NSthenU＝O16．ifE＝PSandEC＝OorPSthenU＝NM17．ifE＝PSandEC＝PMorPBthenU＝NM18．ifE＝PMorPBandEC＝NBorNMthenU＝O19．ifE＝PMorPBandEC＝NSthenU＝NM20．ifE＝PMorPBandEC＝OorPSthenU＝NB21．ifE＝PMorPBandEC＝PMorPBthenU＝NB上述21條模糊條件語句可以歸納為模糊控制規則表。表4.7模糊控制規則表

PB

PM

PS

O

NS

NM

NB

PB

NB

NB

NB

NB

NM

O

O

PM

NB

NB

NB

NB

NM

O

O

PS

NM

NM

NM

NM

O

PS

PS

PO

NM

NM

NS

O

PS

PM

PM

NO

NM

NM

NS

O

PS

PM

PM

NS

NS

NS

O

PM

PM

PM

PM

NM

O

O

PM

PB

PB

PB

PB

NB

O

O

PM

PB

PB

PB

PB

EC

U

E

模糊關系與模糊推理模糊控制規則實際上是一組多重條件語句，可以表示為從誤差論域到控制量論域的模糊關系矩陣R。通過誤差的模糊向量E＇和誤差變化的模糊向量EC＇與模糊關系R的合成進行模糊推理，得到控制量的模糊向量，然后采用“清晰化”方法將模糊控制向量轉換為精確量。根據模糊集合和模糊關系理論，對于不同類型的模糊規則可用不同的模糊推理方法。以下以常用的ifAthenB類型的模糊規則的推理為例。若已知輸入為A，則輸出為B;若現在已知輸入為A＇，則輸出B＇用合成規則求取

(4—52)其中模糊關系R定義為

μR(x，y)＝min[μA(x)，μB(y)，](4—53)例如，已知當輸入的模糊集合A和輸出的模糊集合B分別為:A＝／al／a2／a3／a4／a5B＝／bl／b2／b3／b4這里采用模糊集合的Zadeh表示法，其中ai，bi表示模糊集合所對應的論域中的元素，而μi表示相應的隸屬度，“／”不表示分數的意思。則當輸入A′＝12345B′由下式求取B'＝A'R＝=[(0.4∩0.7)∪(0.7∩0.7)∪(1.0∩0.5)∪(0.6∩0.2)∪(0.0∩0.0),(0.4∩1.0)∪(0.7∩0.8)∪(1.0∩0.5)∪(0.6∩0.2)∪(0.0∩0.0),(0.4∩0.6)∪(0.7∩0.6)∪(1.0∩0.5)∪(0.6∩0.2)∪(0.0∩0.0),(0.4∩0.0)∪(0.7∩0.0)∪(1.0∩0.0)∪(0.6∩0.0)∪(0.0∩0.0)]=[(0.40.70.50.20.0),(0.40.70.50.20.0),(0.40.60.50.20.0),(0.00.00.00.00.0)]=(0.7,0.7,0.6,0.0)則B'＝1234在上述運算中，“∩”為取小運算，“∪”為取大運算。R=R1∪R2∪……∪Rn=

(4—53)

由于系統的控制規則庫是由若干條規則組成的，對于每一條推理規則都可以得到一個相應的模糊關系，n條規則就有n個模糊關系：Rl，R2，...，Rn，對于整個系統的全部控制規則所對應的模糊關系及可對n個模糊關系Ri(i＝l，2，...，n)取“并”操作得到，即4.5.5模糊控制向量的模糊判決—“清晰化”兩種簡單實用的方法。1．最大隸屬度法這種方法是在模糊控制向量中，取隸屬度最大的控制量作為模糊控制器的控制量。例如，當得到模糊控制向量為:U'＝由于控制量隸屬于等級5的隸屬度為最大，所以取控制量為:U＝5這種方法的優點是簡單易行，缺點是完全排除了其他隸屬度較小的控制量的影響和作用，沒有充分利用取得的信息。2.加權平均判決法（1）普通加權平均法為了克服最大隸屬度法的缺點，可以采用加權平均判決法，即

U=(4—54)例如U'＝則

U＝＝4（2）權系數加權平均法其中ki為權系數。（3）中位數判決法將隸屬函數的曲線與橫坐標所圍成的面積平均分成兩部分，以分界點對論域元素ui作為判決輸出。設模糊推理的輸出為模糊量C’,若存在u*,使得則u*為控制量的精確值。模糊控制表模糊關系、模糊推理以及模糊判決的運算可以離線進行，最后得到模糊控制器輸入量的量化等級E，EC與輸出量即系統控制量的量化等級U之間的確定關系，這種關系通常稱為“控制表”。對應于節中的21條控制規則的“控制表”如表所示。

表4.8模糊控制表

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

-6

7

6

7

6

7

7

7

4

4

2

0

0

0

-5

6

6

6

6

6

6

6

4

4

2

0

0

0

-4

7

6

7

6

7

7

7

4

4

2

0

0

0

-3

7

6

6

6

6

6

6

3

2

0

-1

-1

-1

-2

4

4

4

5

4

4

4

1

0

0

-1

-1

-1

-1

4

4

4

5

4

4

1

0

0

0

-3

-2

-1

-0

4

4

4

5

1

1

0

-1

-1

-1

-4

-4

-4

+0

4

4

4

5

1

1

0

-1

-1

-1

-4

-4

-4

+1

2

2

2

2

0

0

-1

-4

-4

-3

-4

-4

-4

+2

1

2

1

2

0

-3

-4

-4

-4

-3

-4

-4

-4

+3

0

0

0

0

-3

-3

-6

-6

-6

-6

-6

-6

-6

+4

0

0

0

-2

-4

-4

-7

-7

-7

-6

-7

-6

-7

+5

0

0

0

-2

-4

-4

-6

-6

-6

-6

-6

-6

-6

+6

0

0

0

-2

-4

-4

-7

-7

-7

-6

-7

-6

-7

EC

U

E

4.5.7確定實際的控制量顯然，實際的控制量u應為從控制表中查到的量化等級U乘以比例因子。設實際的控制量u的變化范圍為[a，b]，量化等級為(-n，-n+1，…，o，...，