第一章綜合測試時間120分鐘，滿分150分．一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．下列結論正確的是()①函數關系是一種確定性關系②相關關系是一種非確定性關系③回歸關系是對具有函數關系的兩個變量進行統計分析的一種方法④回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種常用方法A．①② B．①②③C．①②④ D．①②③④[答案]C[解析]本題考查函數關系、相關關系、回歸關系和回歸分析，可以判斷①②④正確．2．為了研究人的肥胖程度(胖、瘦)與家庭富裕水平(貧、富)之間是否相關，調查了50000人，其中胖人5000人，下列獨立性檢驗的方案中，較為合理有效的方案是()A．隨機抽取100名胖人和100名瘦人B．隨機抽取%的胖人和瘦人C．隨機抽取900名瘦人和100名胖人D．隨機抽取%的瘦人和1%的胖人[答案]C[解析]樣本的合理程度直接影響獨立性檢驗的結果，所以選取樣本要合理，易知總體中有5000名胖人，45000名瘦人，抽取樣本時應按比例抽取．3．(2023·湖南益陽市箴言中學模擬)四名同學根據各自的樣本數據研究變量x、y之間的相關關系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結論：①y與x負相關且eq\o(y,\s\up6(^))＝－；②y與x負相關且eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋；③y與x正相關且eq\o(y,\s\up6(^))＝＋；④y與x正相關且eq\o(y,\s\up6(^))＝－－.其中一定不正確的結論的序號是()A．①② B．②③C．③④ D．①④[答案]D[解析]y與x正(或負)相關時，線性回歸直線方程y＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，x的系數eq\o(b,\s\up6(^))>0(或eq\o(b,\s\up6(^))<0)，故①④錯．4．如下圖所示，4個散點圖中，不適合用線性回歸模型擬合其中兩個變量的是()[答案]A[解析]題圖A中的點不成線性排列，故兩個變量不適合線性回歸模型．故選A．5．已知x與y之間的一組數據：x0123y1357則y與x的線性回歸方程y＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過()A．(2,2)點 B．,0)點C．(1,2)點 D．,4)點[答案]D[解析]計算得eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝4，由于回歸直線一定過(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))點，所以必過,4)點．6．利用獨立性檢驗來考慮兩個分類變量X和Y是否有關系時，通過查閱下表來確定斷言“X和Y有關系”的可信度，如果k>，那么就有把握認為“X和Y有關系”的百分比為()p(K2>kkp(K2>kkA．25% B．75%C．% D．%[答案]D[解析]查表可得K2>.因此有%的把握認為“x和y有關系”．7．在建立兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關系數r如下，其中擬合最好的模型是()A．模型1的相關系數r為B．模型2的相關系數r為C．模型3的相關系數r為D．模型4的相關系數r為[答案]A[解析]相關系數r越大，模型擬合的效果越好．8．以下關于線性回歸的判斷，正確的個數是()①若散點圖中所有點都在一條直線附近，則這條直線為回歸直線；②散點圖中的絕大多數都線性相關，個別特殊點不影響線性回歸，如圖中的A、B、C點；③已知直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－，則x＝25時，y的估計值為；④回歸直線方程的意義是它反映了樣本整體的變化趨勢．A．0 B．1C．2 D．3[答案]D[解析]能使所有數據點都在它附近的直線不止一條，而據回歸直線的定義知，只有按最小二乘法求得回歸系數eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))得到的直線eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋eq\o(a,\s\up6(^))才是回歸直線，∴①不對；②正確；將x＝25代入eq\o(y,\s\up6(^))＝－，得eq\o(y,\s\up6(^))＝，∴③正確；④正確，故選D．9．某考察團對全國10大城市進行職工人均工資水平x(千元)與居民人均消費水平y(千元)統計調查，y與x具有相關關系，回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋，若某城市居民人均消費水平為(千元)，估計該城市人均消費額占人均收入的百分比約為()A．83% B．72%C．67% D．66%[答案]A[解析]當eq\o(y,\s\up6(^))＝時，x＝eq\f－,≈，所以eq\f,≈，故選A．10．(2023·云南景洪市一中期末)通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯表：男女合計愛好402060不愛好203050總計6050110由χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，得χ2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈.附表：P(K2≥k)k參照附表，得到的正確的結論是()A．在犯錯誤的概率不超過%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”B．在犯錯誤的概率不超過%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”C．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”D．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”[答案]C二、填空題(本大題共5個小題，每小題5分，共25分，將正確答案填在題中橫線上)11．有下列關系：①人的年齡與他(她)擁有的財富；②曲線上的點與該點的坐標；③蘋果的產量與氣候；④森林中的同一種樹木，其斷面直徑與高度；⑤學生與其學號；⑥降雪量與交通事故發生率；⑦每畝施肥量與糧食畝產量．其中，具有相關關系的是__________________.[答案]①③④⑥⑦[解析]函數關系是一種確定的關系，而相關關系是一種非確定性關系，即相關關系是非隨機變量與隨機變量之間的關系，而函數關系可以看成是兩個非隨機變量之間的關系；函數關系是一種因果關系，而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系．12．對于線性回歸方程y＝＋257，當x＝28時，y的估計值是__________________.[答案]390[解析]將x的值代入線性回歸方程得估計值y＝×28＋257＝390.13．有人發現，多看電視容易使人變冷漠，下表是一個調查機構對此現象的調查結果：冷漠不冷漠總計多看電視6842110少看電視203858總計8880168則在犯錯誤的概率不超過__________________的前提下認為多看電視與人變冷漠有關系．[答案][解析]可計算χ2的觀測值k＝>.14．某小賣部為了了解熱茶銷售量y(杯)與氣溫x(℃)之間的關系，隨機統計了某4天賣出的熱茶的杯數與當天氣溫，并制作了對照表：氣溫(℃)181310－1杯數24343864由表中數據算得線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a中的b≈－2，預測當氣溫為－5℃時，熱茶銷售量為__________________杯．(已知回歸系數b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－)))[答案]70[解析]根據表格中的數據可求得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)×(18＋13＋10－1)＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)×(24＋34＋38＋64)＝40.∴a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝40－(－2)×10＝60，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋60，當x＝－5時，eq\o(y,\s\up6(^))＝－2×(－5)＋60＝70.15．在2023年春節期間，某市物價部門，對本市五個商場銷售的某商品一天的銷售量及其價格進行調查，五個商場的售價x元和銷售量y件之間的一組數據如下表所示：價格x91011銷售量y1110865通過分析，發現銷售量y對商品的價格x具有線性相關關系，則銷售量y對商品的價格x的回歸直線方程為__________________.[答案]eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋40[解析]eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝392，eq\o(x,\s\up6(－))＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝8，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝，代入公式，得eq\o(b,\s\up6(^))＝－，所以，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝40，故回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋40.三、解答題(本大題共6個小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16．(本題滿分12分)甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約．甲表示只要面試合格就簽約；乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．設每人面試合格的概率都是eq\f(1,2)，且面試是否合格互不影響．求：(1)至少有一人面試合格的概率；(2)沒有人簽約的概率．[答案](1)eq\f(7,8)(2)eq\f(3,8)[解析]用A、B、C表示事件甲、乙、丙面試合格，由題意知A、B、C相互獨立，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq\f(1,2).(1)至少有一人面試合格的概率是1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝1－(eq\f(1,2))3＝eq\f(7,8).(2)沒有人簽約的概率為P(eq\x\to(A)Beq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(B)P(eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(C)＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝(eq\f(1,2))3＋(eq\f(1,2))3＋(eq\f(1,2))3＝eq\f(3,8).17．(本題滿分12分)某工業部門進行一項研究，分析該部門的產量與生產費用之間的關系，從該部門內隨機抽選了10個企業為樣本，有如下資料：產量x(千件)生產費用(千元)40150421404816055170651507916288185100165120190140185(1)計算x與y的相關系數；(2)對這兩個變量之間是否線性相關進行檢驗；(3)設回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，求回歸系數．[答案](1)(2)有線性相關關系(3)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＝[解析](1)根據數據可得：eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝，eq\o(∑,\s\up6(10))eq\o(,\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝70903，eq\o(∑,\s\up6(10))eq\o(,\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝277119，eq\o(∑,\s\up6(10))eq\o(,\s\do4(i＝1))xiyi＝132938，所以r＝，即x與y之間的相關系數r≈；(2)因為r>，所以可認為x與y之間具有線性相關關系；(3)eq\o(b,\s\up6(^))＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝.18．(本題滿分12分)(2023·安徽文，17)某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數據(單位：小時)．(1)應收集多少位女生的樣本數據？(2)根據這300個樣本數據，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數據的分組區間為：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估計該校學生每周平均體育運動時間超過4個小時的概率.(3)在樣本數據中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4個小時．請完成每周平均體育運動時間與性別列聯表，并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(K2≥k0)k0[答案](1)90位(2)(3)有把握[解析](1)300×eq\f(4500,15000)＝90，所以應收集90位女生的樣本數據．(2)由頻率分布直方圖得1－2×＋＝，所以該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率的估計值為.(3)由(2)知，300位學生中有300×＝225人的每周平均體育運動時間超過4小時，75人的每周平均體育運動時間不超過4小時，又因為樣本數據中有210份是關于男生的，90份是關于女生的，所以每周平均體育運動時間與性別列聯表如下：每周平均體育運動時間與性別列聯表男生女生總計每周平均體育運動時間不超過4小時453075每周平均體育運動時間超過4小時16560225總計21090300綜合列聯表可算得χ2＝eq\f(300×45×60－165×302,75×225×210×90)＝eq\f(100,21)≈>.所以，有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關．”19．(本題滿分12分)在一個文娛網絡中，點擊觀看某個節目的累計人次和播放天數如下數據：播放天數12345678910點擊觀看的累計人次51134213235262294330378457533(1)畫出散點圖；(2)判斷兩變量之間是否有線性相關關系，求線性回歸方程是否有意義？(3)求線性回歸方程；(4)當播放天數為11天時，估計累計人次為多少？[答案](1)圖略(2)有線性相關關系，求線性回歸方程有意義(3)eq\o(y,\s\up6(^))＝＋(4)547[解析](1)散點圖如下圖所示：(2)由散點圖知：兩變量線性相關，求線性回歸方程有意義．借助科學計算器，完成下表：i12345678910xi12345678910yi51134213235262294330378457533xiyi51268639940131017642310302441135330eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝385，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝1020953，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝19749利用上表的結果，計算累計人次與播放天數之間的相關系數，r＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,10,y)\o\al(2,i)－10\x\to(y)2))＝eq\f(19749－10××,\r(385－10××\r(1020953－10×)≈.這說明累計人次與播放天數之間存在著較強的線性相關關系，自然求線性回歸方程有實際意義．(3)b＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)＝eq\f(19749－10××,385－10×≈，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈－×≈，因此所求的線性回歸方程是y＝＋.(4)當x＝11時，y的估計值是×11＋≈547.20．(本題滿分13分)(2023·安徽程集中學期中)電視傳媒公司為了解某地區觀眾對某體育節目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查，其中女性有55名，下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性．(1)根據已知條件完成下面的2×2列聯表，并據此資料你是否認為“體育迷”與性別有關？非體育迷體育迷合計男女合計(2)將日均收看該體育節目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”中有2名女性，若從“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(χ2≥k)k[答案](1)表略不相關(2)eq\f(7,10)[解析](1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”為25人，從而完成2×2列聯表如下：非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100將2×2列聯表中的數據代入公式計算，得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×30×10－45×152,75×25×45×55)＝eq\f(100,33)≈.因為<，所以我們沒有理由認為“體育迷”與性別有關．(2)由頻率分布直方圖可知，“超級體育迷”為5人，從而一切可能結果所組成的集合為Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}其中ai表示男性，i＝1,2,3，bj表示女性，j＝1,2.Ω由10個基本事件組成，而且這些基本事件的出現是等可能的．用A表示“任選2人中，至少有1人是女性”這一事件，則A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)