第一課時等比數列相關概念一、課前準備1.課時目標通過實例理解等比數列的概念，探索并掌握等比數列的通項公式、性質、能在具體的問題的情境中，發現數列的等比關系，提高數學的建模能力；體會等比數列與指數函數的關系，掌握等比數列的定義，理解等比數列的通項公式的推導過程，能夠求數列的任一項.2.基礎預測（1）如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于，那么這個數列叫做等比數列，常數叫等比數列的公比常用表示.（2）如果一個等比數列的首項為，公比為，那么它的通項公式是.（3）等比中項①如三個數組成，則G叫做和等比中項；②如果G是和等比中項，那么，即.（4）在等比數列中任何一項與公比都不為.（5）三個數成等比，設三個數為或設為，四個數成等比可設為或設為二、基本知識習題化（1）在等比數列中，則，B.C.D.（2）設成等比數列，其公比是2，那么的值（）A.B.C.（3）在等比數列中，，則公比的值為（）C4（4）已知等比數列中，各項為正數，且成等差數列，則=（）A.B.C.D.（5）三個數成等差數列，它們的和是15，若它們分別加上1,3,9，就成為等比數列，求此三個數.三、學法引領（1）搞清等比數列的通項公式，求等比數列一般先求首項，再求等比數列的公比，求出等比數列的通項公式，再求其它的項，對于三個數成等比數列可以設為去解.（2）三個數成等比數列，中間項為等比中項，等比中項應當用兩個值即成等比數列，滿足，等比數列求解的過程是解指數方程的過程，注意應用指數函數的性質解題.（3）證明一個數列是等比數列要用等比數列的定義進行證明，即，或利用進行證明.搞清等比數列的公比與任一項不為零.四、典例導析變式練習題型1求等比數列的通項例1在等比數列中，已知，求；已知，求.思路導析：利用等比數列的通項，建立方程組進行求解解：（1）由已知得解得（2）根據題意，有得.整理得.解得.當時，；當時，..規律總結：利用方程求等比數列的通項問題，首先求首項與公比，再求公比時注意解的個數，公比不同代表不同的等比數列.變式訓練1已知為各項都大于零的等比數列，公比，則（）.A.B.C.D.和的大小關系不能確定題型二等比中項問題例2，已知等比數列的前三項和為168，，求的等比中項.思路導析：先求，再求的等比中項.解：設等比數列的公比為，首項為那么若G是的等比中項，那么滿足規律總結：（1）首項與公比是構成等比數列的基本量，所以在求等比數列的基本量時要構造方程求出首項與公比；②再就是注意同號的等比數列的等比中項是互為相反數，而異號的等比數列沒有等比中項.變式訓練2.在等差數列中，已知，公差不為0，且恰好是某等比數列的前3項，則該等比數列的公比等于.題型三證明數列是等比數列例3已知數列和滿足：，，，其中為實數，為正整數。（Ⅰ）證明：對任意的實數，數列不是等比數列；（Ⅱ）證明：當時，數列是等比數列；（Ⅲ）設為數列的前項和，是否存在實數，使得對任意正整數，都有？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由。思路導析：證明不是等比數列可以取特殊值，證明是等比數列要按定義證明.（Ⅰ）證明：假設存在一個實數，使是等比數列，則有，即，矛盾。所以不是等比數列。（Ⅱ）證明：。又。由上式知，故當時，數列是以為首項，為公比的等比數列。（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）得，于是，當時，，從而。上式仍成立。要使對任意正整數，都有。即。令，則當為正奇數時，：當為正偶數時，，的最大值為。于是可得。綜上所述，存在實數，使得對任意正整數，都有；的取值范圍為。規律總結；證明不是等比數列可以取特殊值，驗證一般取前三項；證明是等比數列要安定義進行證明即.證明數列成等比數列，可利用等比數列的定義，而證明三個數成等比數列，可證明，要注意說明全不為零.變式訓練3.若成等比數列，求證：也成等比數列.五、隨堂練習1.在等比數列中，已知，則等于（）A．16 B．6 C．12 D．42.在等比數列中，，則（）C.D.3.已知數列滿足，則的值為.4.知等比數列的公比,則等于.5.差數列的公差，且成等比數列，則的值是.6.問題：等比數列的前3項依次為，求它的第4項；求等比數列的通項公式；一個等比數列的前3項之和是26，前6項之和是728，求和.六、課時作業1.已知等比數列的公比為正數，且，則.B.D.2.設成等比數列，其公比為2，則的值為（）A． B． C． D．13.已知等比數列是公比的等比數列，且成等數列，則=4.若是等比數列，且公比為整數，則.5.已知為等比數列，，求的通項式。參考答案一、課前準備2.基礎預測（1）【常數】（2）【】（3）①【等比數列】②【】（4）【0】（5）二、基本知識習題化（1）C解：由數列的通項公式可知（2）解析：A（3）解：選A，由等比數列的通項公式可知，所以選A（4）解：C由成等差數列，即，所以（5）解析：設此三個數為，那么.四、典例導析變式練習1.解析：A.當時，；當時，，恒有，.故選A.2.答案：4解析：設等差數列的公差為，依題意有，即，化簡得.又，因此，所以等比數列的公比等于.3.證明：由成等比數列，得，且.，顯然，成等比數列.五、隨堂練習1.選D解：，所以2.解析：A設的公比為，則有所以，因此（注：在一個等比數列中，所有的奇數項的符號一致，所有的偶數項的符號也一致），，故選A.3答案：48解：由得，從而有是以首項為1,2為公比的等比數列，故；是以2為首項，2為公比的等比數列，故，4.【】解;由等比數列的公比可知.5.解：是公差為的等差數列，..又成等比數列，，即，解得.有，從而.6.解：（1），所以它的第4項是.（2）注意等比數列的首項是，而公比，所以通項公式是.（3）假設這個等比數列首項為，公比為，那么有，，故有兩式相除，得，即.六、課時作業1.解析：A設等比數列的公比為，其中，則有，由此解得，故選A.2.解：3.解：或.4.解：.聯立或.5.解:設等比數列{an}的公比為q,則q≠0,a2=eq\f(a3,q)=eq\f(2,q),a4=a3q=2q所以eq\f(2,q)+2q=eq\f(20,3),解得q1=eq\f(1,