光在晶體中的傳播規律除了利用上述進行嚴格的討論外，還可以利用一些幾何圖形描述。5.2.2

光在晶體中傳播的幾何法描述(Geometricdescriptionoftransmissionoflightincrystals)幾何圖形能使我們直觀地看出晶體中光波的各個矢量場間的方向關系，以及與各傳播方向相應的光速或折射率的空間取值分布。5.2.2

光在晶體中傳播的幾何法描述5.2.2

光在晶體中傳播的幾何法描述x1x2x3n1n2n3幾何方法僅僅是一種表示方法，它的基礎仍然是上面所給出的光的電磁理論基本方程和基本關系。1.折射率橢球1)

折射率橢球方程由光的電磁理論知道，在主軸坐標系中，晶體中的電場儲能密度為1)

折射率橢球方程故有在給定能量密度e的情況下，該方程為D(D1、D2、D3)空間的橢球面。1)

折射率橢球方程若令則有2)

折射率橢球的性質若從主軸坐標系的原點出發作波法線矢量k，再過坐標原點作一平面(k)與k垂直。x3x1k2)

折射率橢球的性質(k)與橢球的截線為一橢圓，橢圓的半長軸和半短軸的矢徑分別記作ra(k)和rb(k)，則可以證明折射率橢球具有下面兩個重要的性質：x3x1k2)

折射率橢球的性質x3x1k①與波法線方向k相應的兩個特許線偏振光的折射率n和n，分別等于這個橢圓的兩個主軸的半軸長，即2)

折射率橢球的性質只要給定了晶體，知道了晶體的主介電張量，就可以作出相應的折射率橢球。x3x1k從而就可以通過上述的幾何作圖法定出與波法線矢量k相應的兩個特許線偏振光的折射率和D的振動方向。現在證明上述結論:由空間解析幾何理論，與波法線k垂直的中心截面(k)上的橢圓，應滿足下面兩個方程：x3x1k由于橢圓的長半軸和短半軸是橢圓矢量的兩個極值,所以，可以通過對滿足(73)式、(74)式的r2＝x12＋x22

+x32求極值來確定ra(k)和rb(k)。求解ra(k)和rb(k)的問題就變成了對F求極值的問題。而F

取極值的必要條件是它對x1、x2、x3的一階導數為零，即將(76)式的三個式子分別乘以x1、x2、x3，然后相加，利用(73)式和(74)式關系，得將(77)式、(78)式得出的1和2關系代入(76)式，可得將(79)式與(38)式進行比較可見，二式的差別只是符號不同。如果我們進行如下的代換：并注意到Di/0i＝Ei，則(79)式可以寫成通過中心與k垂直的橢圓截面兩個主軸矢徑ra和rb的方向，就是波法線矢量為k的兩個特許編振光D矢量的振動方向，兩個半軸長ra和rb就是分別與這兩個線偏振光相應的折射率。橢球的三個半軸長分別等于三個主介電系數的平方根，其方向分別與介電主軸方向一致。x1x2x3n1n2n3通過橢球中心的每一個矢徑方向，代表D的一個振動方向，其長度為D在此方向振動的光波折射率,故矢徑可表示為r＝nd。所以，折射率橢球有時也稱為(d，n)曲面。x3x1k3)利用折射率橢球確定D、E、k、s方向的幾何方法利用折射率橢球除了確定相應于k的兩個特許線偏振光D矢量的振動方向和折射率外，還可以借助于下述幾何方法，確定D、E、k、s各矢量的方向。x3x1k3)利用折射率橢球確定D、E、k、s方向的幾何方法D、E、k、s矢量都與H矢量垂直，因而同處于一個平面內，這個平面與折射率橢球的交線是一個橢圓。x3x1kDODEB法線T切平面R3)利用折射率橢球確定D、E、k、s方向的幾何方法如果相應于波法線方向k的一個電位移矢量D確定了，與該D平行的矢徑端點為B，則橢球在B點的法線方向平行于與該D矢量相應的E矢量方向。ODEB法線T切平面R曲面f(x1，x2，x3)＝C

上某點處的法線方向平行于函數f在該點處的梯度矢量f。由(69)式，折射率橢球方程可寫成所以，現證明如下：若將xi＝Din/D和i＝Di/0Ei代入，上式變為因而這說明，與折射率橢球上某點所確定的D矢量相應的E矢量方向，平行于橢球在該點處的法線方向。

3)利用折射率橢球確定D、E、k、s方向的幾何方法ODEB法線T切平面R幾何方法：先過B點作橢圓的切線BT，再由O點向BT作垂線OR,則OR的方向即是B點的法線方向,也就是與D相應的E的方向。3)利用折射率橢球確定D、E、k、s方向的幾何方法ODEB法線T切平面R另外，過O點作BT的平行線OQ，則OQ的方向就是s的方向，而垂直于OB的方向OJ

就k的方向。3)利用折射率橢球確定D、E、k、s方向的幾何方法ODEB法線T切平面RQJks4)應用折射率橢球討論晶體的光學性質

(1)各向同性介質或立方晶體(2)單軸晶體(3)雙軸晶體

(1)各向同性介質或立方晶體在各向同性介質或立方晶體中，主介電系數1＝2＝

3,主折射率n1＝n2＝n3＝n0，折射率橢球方程為這就是說，各向同性介質或立方晶體的折射率橢球是一個半徑為n0的球。

(1)各向同性介質或立方晶體不論k在什么方向,垂直于k的中心截面與球的交線均是半徑為n0的圓，不存在特定的長、短軸，因而光學性質是各向同性的。x3x2x1(2)單軸晶體在單軸晶體中，1=23，或n1=n2=no，n3=neno，因此折射率橢球方程為顯然這是一個旋轉橢球面，旋轉軸為x3軸。x3x2x1x3x2x1(2)單軸晶體若ne＞no稱為正單軸晶體，折射率橢球是沿著x3軸拉長了的旋轉橢球；若ne

＜no，稱為負單軸晶體，折射率橢球是沿著x3軸壓扁了的旋轉橢球。設晶體內一平而光波的k與x3軸夾角為，則過橢球中心作垂直于k的平面(k)與橢球的交線必定是一個橢圓。下面討論波法線方向為k的光波傳播特性:x3x2kx1(k)nonone由于旋轉橢球的x1(x2)軸的任意性，可以假設(k，x3)面為x2Ox3平面。若建立新的坐標系O－x1x2x3，使x3軸與k重合，x1軸與x1

軸重合，則x2軸在x2Ox3平面內。x3x2x2x3kx1x1(k)nonenone這時，(k)截面即為

x1Ox2面，其方程為x3x2x2x3kx1x1(k)nonenone新舊坐標系的變換關系為x2x2x3x3O(x1,x2,x3)(x1,x2,x3)將上面關系代入(82)式，再與(83)式聯立，就有其中經過整理，可得出截線方程為或表示為根據折射率橢球的性質，橢圓截線的長半軸和短半軸方向就是相應于波法線方向k的兩個待許線偏振光的D矢量振動方向d和d

,兩個半軸的長度等于這兩個特許線偏振光的折射率n和n

。由(84)式可見,這個橢圓有一個半軸的長度為no方向為x1軸方向.如果k在x2Ox3平面內,不論k的方向如何，它總有一個特許線偏振光的折射率不變,相應的D方向垂直于k與x3軸所構成的平面,這就是o光。x3x2x2x3kx1x1(k)nonenone通過作圖法，即可確定o光的ED，sk。x2x1x3DeEeEoDoksosex3x2x2x3kx1x1(k)nonenone對于橢圓的另一個半軸，其長度為ne，且在x2Ox3

平面上。相應于波法線方向k的另一個特許的線偏振光的D矢量在(k,x3)面內，相應的折射率ne

隨

k的方向變化，這就是e光。x3x2x2x3kx1x1(k)nonenone通過作圖法可以看出，e光的D方向不在主軸方向,因而E與D不平行，s與k也不平行。這些結果與解析法得到的結論完全一致。x2x1x3DeEeEoDoksose下面討論兩種特殊情況：①＝0

時，k與x3軸重合，這時，ne＝no，中心截面與橢球的截線方程為這是一個半徑為no的圓。沿x3軸方向傳播的光波折射率為no

，D矢量的振動方向除與x