第四章抽樣與參數估計第一節抽樣與抽樣分布學習目標區分總體分布、樣本分布、抽樣分布掌握隨機抽樣方式理解抽樣分布與總體分布的關系掌握單總體參數推斷時樣本統計量的分布掌握雙總體參數推斷時樣本統計量的分布掌握抽樣誤差的測度及其影響因素4.1.1

三種不同性質的分布總體分布樣本分布抽樣分布總體中各元素的觀察值所形成的分布分布通常是未知的可以假定它服從某種分布總體分布

(populationdistribution)總體一個樣本中各觀察值的分布也稱經驗分布當樣本容量n逐漸增大時，樣本分布逐漸接近總體的分布樣本分布

(sampledistribution)樣本樣本統計量的概率分布是一種理論概率分布隨機變量是樣本統計量樣本均值,樣本比例，樣本方差等結果來自容量相同的所有可能樣本樣本統計量提供的信息，是進行推斷的理論基礎，也是抽樣推斷科學性的重要依據 抽樣分布

(samplingdistribution)抽樣分布

(samplingdistribution)總體計算樣本統計量例如：樣本均值、比例、方差樣本4.1.2

樣本統計量的抽樣分布

(一個總體參數推斷時)樣本均值的抽樣分布樣本比例的抽樣分布抽樣方差的抽樣分布樣本均值的抽樣分布容量相同的所有可能樣本的樣本均值的概率分布一種理論概率分布進行推斷總體總體均值的理論基礎 樣本均值的抽樣分布樣本均值的抽樣分布

(例題分析)（重復抽樣）【例】設一個總體，含有4個元素(個體)

，即總體單位數N=4。4

個個體分別為x1=1、x2=2、x3=3

、x4=4

。總體的均值、方差及分布如下總體分布14230.1.2.3均值和方差樣本均值的抽樣分布

(例題分析)（重復抽樣）

現從總體中抽取n＝2的簡單隨機樣本，在重復抽樣條件下，共有42=16個樣本。所有樣本的結果為所有可能的n

=2的樣本（共16個）第一個觀察值第二個觀察值123411,11,21,31,422,12,22,32,433,13,23,33,444,14,24,34,4樣本均值的抽樣分布

(例題分析)（重復抽樣）16個樣本的均值（x）第一個觀察值第二個觀察值123411.01.52.02.521.52.02.53.032.02.53.03.542.53.03.54.0計算出各樣本的均值如下表。給出樣本均值的抽樣分布均值X的取值1.01.52.02.53.03.54.0均值X的個數1234321取值的概率P（X

）1/162/163/164/163/162/161/16X樣本均值的抽樣分布1.000.10.20.3P(X)1.53.04.03.52.02.5樣本均值的分布與總體分布的比較

(例題分析)（重復抽樣）=2.5σ2=1.25總體分布14230.1.2.3抽樣分布P(X)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5X樣本均值的抽樣分布

(例題分析)（不重復抽樣）

如果從總體中抽取n＝2的簡單隨機樣本，在不重復抽樣條件下，共有4×3=12個樣本。所有樣本的結果為所有可能的n=2的樣本（共12個）第一個觀察值第二個觀察值123411,21,31,422,12,32,433,13,23,444,14,24,3樣本均值的抽樣分布

(例題分析)（不重復抽樣）16個樣本的均值（x）第一個觀察值第二個觀察值123411.52.02.521.52.53.032.02.53.542.53.03.5計算出各樣本的均值如下表。給出樣本均值的抽樣分布均值X的取值1.52.02.53.03.5均值X的個數22422取值的概率P（X

）2/122/124/122/122/12X樣本均值的抽樣分布1.000.10.20.3P(X)1.53.04.03.52.02.5樣本均值的抽樣分布

(例題分析)（不重復抽樣）=2.5σ2=1.25總體分布14230.1.2.3抽樣分布P(X)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5X樣本均值的抽樣分布

與中心極限定理=50

=10X總體分布n=4抽樣分布Xn=16當總體服從正態分布N~(μ,σ2)時，來自該總體的所有容量為n的樣本的均值X也服從正態分布，X

的數學期望為μ，方差為σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)中心極限定理

(centrallimittheorem)當樣本容量足夠大時(n

30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態分布中心極限定理：設從均值為，方差為

2的一個任意總體中抽取容量為n的樣本，當n充分大時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ、方差為σ2/n的正態分布一個任意分布的總體X中心極限定理

(centrallimittheorem)的分布趨于正態分布的過程抽樣分布與總體分布的關系總體分布正態分布非正態分布大樣本小樣本正態分布正態分布非正態分布樣本均值的數學期望樣本均值的方差重復抽樣不重復抽樣樣本均值的抽樣分布

(數學期望與方差)樣本均值的抽樣分布

(數學期望與方差)比較及結論：1.樣本均值的均值(數學期望)等于總體均值

2.樣本均值的方差等于總體方差的1/n均值的抽樣標準差所有可能的樣本均值的標準差，測度所有樣本均值的離散程度，又稱為抽樣平均誤差小于總體標準差計算公式為重復抽樣不重復抽樣樣本比例的抽樣分布總體(或樣本)中具有某種屬性的單位與全部單位總數之比不同性別的人與全部人數之比合格品(或不合格品)與全部產品總數之比總體比例可表示為樣本比例可表示為

比例

(proportion)容量相同的所有可能樣本的樣本比例的概率分布當樣本容量很大時，樣本比例的抽樣分布可用正態分布近似一種理論概率分布推斷總體總體比例的理論基礎 樣本比例的抽樣分布樣本比例的抽樣分布

(例題分析)（重復抽樣）【例】設某機床5臺中有2臺優、3臺良，即總體單位數N=5。5個個體分別為優品A1、A2，良品B1、B2、B3

。若抽到優品，記x＝1；若抽到良品，記x＝0。當n＝2時，樣本比例抽樣分布如下表所有可能的n

=2的樣本（共25個）樣本比率樣本頻率P(p)1(A1,A1)(A1,A2)(A2,A1)(A2,A2)4/250.5(A1,B1)(A1,B2)(A1,B3)(A2,B1)(A2,B2)(A2,B3)(B1,A1)(B1,A2)(B2,A1)(B2,A2)(B3,A1)(B3,A2)12/250(B1,B1)(B1,B2)(B1,B3)(B2,B1)(B2,B2)(B2,B3)(B3,B1)(B3,B2)(B3,B3)9/25樣本比例的抽樣分布

(例題分析)（重復抽樣）重復抽樣樣本比例抽樣分布04/25P(p)8/2512/2500.51.0

p總體分布：樣本分布：樣本比例的抽樣分布

(例題分析)（不重復抽樣）【例】仍用上例，采用不重復隨即抽樣時，機床優質品比率p的抽樣分布如下表所有可能的n

=2的樣本（共20個）樣本比率樣本頻率P(p)1(A1,A2)(A2,A1)2/200.5(A1,B1)(A1,B2)(A1,B3)(A2,B1)(A2,B2)(A2,B3)(B1,A1)(B1,A2)(B2,A1)(B2,A2)(B3,A1)(B3,A2)12/200(B1,B2)(B1,B3)(B2,B1)(B2,B3)(B3,B1)(B3,B2)6/20樣本比例的抽樣分布

(例題分析)（不重復抽樣）p不重復抽樣樣本比例抽樣分布00.10.20.3P(p)0.40.50.600.51.0總體分布：樣本分布：樣本比例的數學期望樣本比例的方差重復抽樣不重復抽樣樣本比例的抽樣分布

(數學期望與方差)樣本方差的抽樣分布樣本方差的分布對于來自正態總體N(u,σ2)的簡單隨機樣本，則比值的抽樣分布服從自由度為(n-1)

的2分布，即卡方(2)分布

(2

distribution)χ2分布:設X1,X2,……,Xn是來自總體N(0,1)的樣本，則統計量服從自由度為n的χ2分布，記為χ2～χ2（n）。設，則令，則Y服從自由度為1的2分布，即

當總體，從中抽取容量為n的樣本，則分布的變量值始終為正分布的形狀取決于其自由度n的大小，通常為不對稱的右偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對稱期望為：E(2)=n，方差為：D(2)=2n(n為自由度)

可加性：若U和V為兩個獨立的2分布隨機變量，U~2(n1)，V~2(n2),則U+V這一隨機變量服從自由度為n1+n2的2分布2分布

(性質和特點)c2分布

(圖示)

選擇容量為n的簡單隨機樣本計算樣本方差S2計算卡方值2=(n-1)S2/σ2計算出所有的

2值不同容量樣本的抽樣分布c2n=1n=4n=10n=20ms總體4.1.3

樣本統計量的抽樣分布

(兩個總體參數推斷時)兩個樣本均值之差的抽樣分布兩個樣本比例之差的抽樣分布兩個樣本方差比的抽樣分布兩個樣本均值之差的抽樣分布兩個總體都為正態分布，即，兩個樣本均值之差的抽樣分布服從正態分布，其分布的數學期望為兩個總體均值之差方差為各自的方差之和 兩個樣本均值之差的抽樣分布兩個樣本均值之差的抽樣分布

m1s1總體1s2

m2總體2抽取簡單隨機樣樣本容量n1計算X1抽取簡單隨機樣樣本容量n2計算X2計算每一對樣本的X1-X2所有可能樣本的X1-X2m1-m2抽樣分布兩個樣本比例之差的抽樣分布兩個總體都服從二項分布分別從兩個總體中抽取容量為n1和n2的獨立樣本，當兩個樣本都為大樣本時，兩個樣本比例之差的抽樣分布可用正態分布來近似分布的數學期望為方差為各自的方差之和 兩個樣本比例之差的抽樣分布兩個樣本方差比的抽樣分布兩個樣本方差比的抽樣分布

兩個總體都為正態分布，即X1~N(μ1,σ12)的一個樣本，Y1，Y2，…，Yn2是來自正態總體X2~N(μ2,σ22)從兩個總體中分別抽取容量為n1和n2的獨立樣本兩個樣本方差比的抽樣分布，服從分子自由度為(n1-1)，分母自由度為(n2-1)的F分布，即由統計學家費舍(R.A.Fisher)

提出的，以其姓氏的第一個字母來命名則設若U為服從自由度為n1的2分布，即