根式的概念符號表示備注如果①

,那么x叫做a的n次方根

n>1且n∈N*當n為奇數時,正數的n次方根是一個②

,負數的n次方根是一個③

零的n次方根是零當n為偶數時,正數的n次方根有④

,它們互為⑤

±

負數沒有偶次方根1.指數冪的概念(1)根式的概念xn=a正數負數兩個相反數教材研讀(2)兩個重要公式

=

(

)n=⑨

(注意a必須使

有意義).2.有理數指數冪(1)分數指數冪的表示(i)正數的正分數指數冪:

=⑩

(a>0,m,n∈N*,n>1).(ii)正數的負分數指數冪:a

=

=

(a>0,m,n∈N*,n>1).(iii)0的正分數指數冪是

,0的負分數指數冪無意義.(2)有理數指數冪的運算性質(i)aras=

(a>0,r,s∈Q).(ii)(ar)s=

(a>0,r,s∈Q).(iii)(ab)r=

(a>0,b>0,r∈Q).0ar+sarsarbr

a>10<a<1圖象

定義域

值域

性質過定點

當x>0時,

;當x<0時,

當x>0時,

;當x<0時,

在(-∞,+∞)上是

.

在(-∞,+∞)上是

3.指數函數的圖象與性質R(0,+∞)(0,1)y>10<y<10<y<1y>1單調增函數單調減函數

1.計算[(-2)6

-(-1)0的結果為

(

)A.-9

B.7

C.-10

D.9答案

B原式=

-1=23-1=7.故選B.2.化簡

(x<0,y<0)得

(

)A.2x2y

B.2xy

C.4x2y

D.-2x2y

答案

D∵x<0,y<0,∴4

=(16x8·y4

=1

·(x8

·(y4

=2x2|y|=-2x2y.3.函數f(x)=3x+1的值域為

(

)A.(-1,+∞)

B.(1,+∞)

C.(0,1)

D.[1,+∞)

答案

B∵3x>0,∴3x+1>1,即函數f(x)=3x+1的值域為(1,+∞).4.(2015北京豐臺一模,7)已知奇函數y=

如果f(x)=ax(a>0,且a≠1)對應的圖象如圖所示,那么g(x)=

(

)

A.

B.-

C.2-x

D.-2x

答案

D由題圖知f(1)=

,∴a=

,f(x)=

,由題意得g(x)=-f(-x)=-

=-2x,選D.5.(2015北京,10,5分)2-3,

,log25三個數中最大的數是

.

答案

log25

解析∵2-3=

<1,1<

<2,log25>2,∴這三個數中最大的數為log25.6.若指數函數f(x)=(a-2)x為減函數,則實數a的取值范圍為

.答案

(2,3)

解析∵f(x)=(a-2)x為減函數,∴0<a-2<1,即2<a<3.

指數冪的化簡與求值典例1化簡下列各式:(1)[(0.06

)-2.5

-

-π0;(2)

÷

×

.

解析

(1)原式=

-

-1=

-

-1=

-

-1=0.考點突破(2)原式=

÷

×

=

(

-2

)×

×

=

×a×

=a2.(1)指數冪的運算首先將根式、小數指數冪統一為分數指數冪,以便利用法

則計算,但應注意:①必須同底數冪相乘,指數才能相加;②運算的先后順序.

(2)當底數是負數時,先確定符號,再把底數化為正數.(3)運算結果不能同時

含有根號和分數指數,也不能既含有分母又含有負指數.1-1化簡:

.

解析原式=

=

=

.1-2計算:4

÷

.

解析原式=(-6)

=-6a.

指數函數的圖象及應用典例2

(1)函數f(x)=ax-b的圖象如圖,其中a,b為常數,則下列結論正確的是

(

)

A.a>1,b<0

B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0

D.0<a<1,b<0(2)若曲線|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點,則b的取值范圍是

.

答案

(1)D

(2)-1≤b≤1

解析

(1)由f(x)=ax-b的圖象可以觀察出,函數f(x)=ax-b在定義域上單調遞減,所以0<a<1.函數f(x)=ax-b的圖象是在f(x)=ax圖象的基礎上向左平移得到的,所以b<0,故

選D.(2)作出曲線|y|=2x+1(如圖),要使該曲線與直線y=b沒有公共點,只需-1≤b≤

1.

(1)已知函數解析式判斷其圖象一般是取特殊點,判斷選項中的圖象是否過

這些點,若不滿足則排除.(2)對于有關指數型函數的圖象問題,一般是從最

基本的指數函數的圖象入手,通過平移、伸縮、對稱變換而得到的.特別

地,當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論.(3)有關指數方程、不

等式問題的求解,往往利用相應的指數型函數圖象,數形結合求解.

2-1

若將本例(2)改為:若直線y=|2x-1|與直線y=b有兩個公共點,求b的取值范圍.

解析曲線y=|2x-1|與直線y=b如圖所示.由圖象可得,若曲線y=|2x-1|與直線y=b有兩個公共點,則b的取值范圍是(0,1).

2-2若將本例(2)改為:函數y=|2x-1|在(-∞,k]上單調遞減,則k的取值范圍是什么?

解析因為函數y=|2x-1|的單調遞減區間為(-∞,0],所以k≤0,即k的取值范圍為(-∞,0].

2-3若將本例(2)改為:直線y=2a與函數y=|ax-1|(a>0且a≠1)的圖象有兩個公共點,則a的取值范圍是什么?

解析

y=|ax-1|的圖象是由y=ax的圖象先向下平移1個單位,再將x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的.當a>1時,兩圖象只有一個交點,不合題意,如圖1;當0<a<1時,要使兩個圖象有兩個交點,則0<2a<1,得到0<a<

,如圖2.

綜上可知,a的取值范圍是

.

指數函數的性質及應用典例3

(1)已知定義在R上的函數f(x)=2|x-m|-1(m為實數)為偶函數.記a=f(log0.

53),b=f(log25),c=f(2m),則a,b,c的大小關系為

(

)A.a<b<c

B.a<c<b

C.c<a<b

D.c<b<a(2)已知函數f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定義域和值域都是[-1,0],則a+b=

.

答案

(1)C

(2)-

解析

(1)∵f(x)=2|x-m|-1為偶函數,∴m=0.∵a=f(lo

3)=f(log23),b=f(log25),c=f(0),log25>log23>0,而函數f(x)=2|x|-1在(0,+∞)上為增函數,∴f(log25)>f(log2

3)>f(0),即b>a>c,故選C.(2)①當a>1時,f(x)在[-1,0]上單調遞增,則

無解.②當0<a<1時,f(x)在[-1,0]上單調遞減,則

解得

∴a+b=-

.指數式值的大小比較的常見類型:同底不同指數;同指數不同底;底和指數

均不相同.指數式值的大小比較的常用方法:(1)化為相同指數或相同底數后利用相應函數的單調性;(2)作差或作商法;(3)利用中間量(0或1等)分段.3-1設a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,則a,b,c的大小關系是

(

)A.a<b<c

B.a<c<bC.b<a<c

D.b<c<a

答案

C因為指數函數y=0.6x在(-∞,+∞)上為減函數,所以0.60.6>0.61.5,即a>b,又0<0.60.6<1,1.50.6>1,所以a<c,故選C.3-2

(2015北京朝陽一模,14)記x2-x1為區間[x1,x2]的長度,已知函數y=2|x|,x∈

[-2,a](a≥0),其值域為[m,n],則區間[m,n]的長度的最小值是

.

答案

3

解析令y=f(x)=2|x|,x