第七章信號的離散時間復指數描述-z變換z變換是用離散時間復指數信號描述離散系統或離散信號的方法，與用拉普拉斯變換比較，有其不同的表達方法。z變換能夠離散時間LTI系統及其對信號響應提供比離散時間傅立葉變換（DTFT）更寬的特性描述。從很大程度上，z變換是離散時間傅立葉變換的擴展，或者說DTFT是z變換的特例。z變換可以分析處理離散時間傅立葉變換不能分析的涉及無限求和不收斂的信號。z變換以有兩個變量的離散時間復指數函數作為基函數。離散時間復指數函數也是LTI系統的特征函數。§7.1引言z變換的分類單邊z變換雙邊z變換單邊z變換是求解具有初始條件差分方程的有力工具雙邊z變換為了解系統的穩定性、因果性及頻率響應等提供了新的視角。兩個離散時間信號卷積和的z變換也是兩個離散時間信號z變換的乘積。LTI的輸出可以通過輸入信號的z變換與系統沖激響應的z變換乘積得到。系統沖激響應的z變換仍稱為系統的傳遞函數。§7.2

z變換的引入7.2.1z變換中的基函數—離散時間復指數函數令模為r，相角為Ω的復指數為ejΩ，離散時間復指數信號一般在穩定系統應用問題中，r＜1，因而z的實部是衰減的余弦函數，虛部是衰減的正弦函數7.2.2

LTI系統離散時間復指數函數的本征函數特性以離散時間復指數函數做為沖激響應為h[n]的LTI系統的輸入信號，則系統輸出信號可見zn

是離散LTI系統的特征函數(信號)，H(z)是對應zn

的特征值，一般是復數。7.2.2LTI系統離散時間復指數函數的本征函數特性可見離散LTI系統的輸出信號只是將輸入特征信號zn的大小變為原來的|H(rejΩ)|倍，相位移動了φ(rejΩ)。利用復數的性質和歐拉公式，得到稱為傳遞函數。函數7.2.3z

變換可見傳遞函數是h[n]r-n的傅立葉變換，其逆變換必定為將z=rejΩ

代入傳遞函數表達式得到將z=rejΩ

代入傳遞函數表達式得到以z為變量的積分形式

7.2.3

z

變換而Ω由-π到π的積分對應于z

沿逆時針方向以r為半徑的圓繞行一周，因此在z=rejΩ

中將r視為常數，則可以定義傳遞函數是離散沖激響應的z變換，而離散沖激響應是傳遞函數的逆z變換。z變換的一般表示為記為7.2.4

z變換的收斂性z變換的收斂條件為滿足收斂條件的r的取值范圍為z變換的收斂域（ROC）。對不滿足傅立葉變換收斂條件的信號，可以通過調整r的大小使其z變換收斂。注意r>0！7.2.5

z平面用復數坐標描述復指數z

的特點的平面稱為z平面。復指數z

的特點是以復平面的原點為圓心，以r為半徑，與實軸夾角為Ω的線段來描述。如果r=1時z變換收斂，則z變換退化為傅立葉變換。傅立葉變換的區域是z變換中半徑為1的單位圓。z平面Re{z}Im{z}ΩrrejΩz平面Re{z}Im{z}Ωr

=1ejΩ7.2.6極點和零點如果z變換具有分子與分母兩個z-1的多項式相比的形式：其中，稱為增益；ck是分子多項式的根，稱為z變換的零點；dk是分母多項式的根，稱為z變換的極點。由極點、零點和收斂域可以確定z變換的特點。則可以化為例題與習題：例7.1（P535）（z變換的求法）例7.2（P536）（指數因果信號的z變換）例7.3（P536）（指數反因果信號的z變換。收斂域的重要性）例7.4（P537）（雙邊信號的z變換）作業：習題7.1（538）例題與習題：例題與習題：例題與習題：例題與習題：§7.3z變換收斂域的特性z變換的收斂條件為因此z變換的收斂域可以反映信號的特性。1、收斂域不包括極點；2、有限持續時間內的有限信號的z變換的收斂域是除了|z|=0或|z|

=∞的整個z平面；3、由于沖激信號的z變換是常數，因此沖激信號z變換的收斂域是整個z平面，沖激信號也是唯一一個z變換在整個z平面上收斂的信號；4、單邊及雙邊信號的收斂特點右邊信號的收斂域為：|z|

＞r+；r+是z平面上“最大”極點對應的半徑左邊信號的收斂域為：|z|

＜

r-；r-是z平面上“最小”極點對應的半徑雙邊信號的收斂域為：r+

＜|z|＜

r-。5、信號傅立葉變換的收斂域位于|z|=1的單位園上收斂域的特性：§7.3

z變換收斂域的特性右邊信號及其收斂域………………z平面Re{z}Im{z}r+0z平面Re{z}Im{z}r-0z平面Re{z}Im{z}r+0r-左邊信號及其收斂域雙邊信號及其收斂域§7.3

z變換收斂域的特性例題與習題：例7.5（P541）作業：習題7.2（543）§7.3

z變換收斂域的特性例題與習題：§7.3

z變換收斂域的特性例題與習題：§7.4z變換的性質大部分z

變換的性質與離散傅立葉變換的特性類似，這里只給出z

變換的主要特性，證明從略。設信號x[n]和y[n]的z變換存在，即A.線性特性其收斂域至少為兩信號收斂域的交集，即§7.4z變換的性質B.時間反轉性質原信號x[n]的時間反轉（映射）信號的z變換是原信號z變換中以z-1取代z得到。若原信號z變換的收斂域Rx為a

＜|z|＜

b，則其時間反轉信號z變換的收斂域為a

＜1/|z|＜

b或1/b

＜|z|＜1/a

。C.時移性質時移后信號z變換可能的收斂域是除了|z|=0或|z|=∞所有Rx，當n0＞0，則時移后信號z變換的收斂域不能包含z=0，當n0＜0，則時移后信號z變換的收斂域不能包含|z|=∞。§7.4z變換的性質D.與指數序列相乘的性質收斂域為|α|

Rx。若原信號z變換的收斂域Rx為a

＜|z|＜

b，則其與指數序列相乘的z變換的收斂域為|α|a

＜|z|＜|α|b。E.卷積性質收斂域R≥Rx∩RyF.z域微分特性收斂域為Rx§7.4

z變換的性質例題與習題：例7.6（P544）例7.7（P546）例7.8（P547）作業：習題7.3（548）§7.4

z變換的性質例題7.6§7.4

z變換的性質例題7.7§7.4

z變換的性質例題7.7§7.4

z變換的性質例題7.8§7.4

z變換的性質例題7.8§7.5

逆

z變換逆

z變換是從

z變換中求對應的原時間信號。我們只介紹部分分式展開法和冪級數法兩種求逆

z變換的方法。用部分分式展開法求逆

z變換，是通過基本的z變換對，以及z變換的性質來得到逆z變換。收斂域是極點半徑以外區域的逆z變換得到右邊信號，收斂域是極點半徑以內區域的逆z變換得到左邊信號。冪級數法求逆

z變換的方法是把z變換的的表達式化為

z-1

的冪級數形式，再通過觀察冪級數的系數來確定時域信號。7.5.1部分分式展開法求逆z變換如果z變換具有分子與分母兩個z-1的多項式相比的形式：如果M＜N，則可以直接進行部分分式分解。如果M＞N，可以先用長除法把X(z)化為一個z-1的多項式和一個有理多項式形式。z-1的多項式形式的逆z變換可以利用變換對和z變換的時移性質求得。z-1的有理多項式形式的逆z變換用部分分式分解方法求得。先將分母多項式分解因式得：7.5.1部分分式展開法求逆z變換根據極點的性質、收斂域、極點的位置和系統的性質，可以采用以下幾種方法。1、當各極點互不相同，則用留數法求得部分分式為對部分分式中的每一項當收斂域：|z|＞dk，則其對應的部分分式中的逆z變換是右邊信號，即當收斂域：|z|＜dk，則其對應的部分分式中的逆z變換是左邊信號，即7.5.1部分分式展開法求逆z變換2、如果極點di是r重的，則用留數法求得部分分式為r個對其中的第m項部分分式當收斂域：|z|＞di，則其對應的部分分式中的逆z變換是右邊信號，即當收斂域：|z|＜di，則其對應的部分分式中的逆z變換是左邊信號，即7.5.1部分分式展開法求逆z變換3、如果極點dk是復數，則當有理分式的所有系數為實數時，必有一個與共軛的極點，所得到的部分分式的系數也是共軛的當收斂域：|z|＞dk，則其對應的部分分式中的逆z變換是右邊信號，即當收斂域：|z|＜dk，則其對應的部分分式中的逆z變換是左邊信號，即7.5.1部分分式展開法求逆z變換4、如果系統是因果的，則其z變換只在|z|＞dk

區域收斂，其逆z變換只有右邊信號；5、如果信號是穩定的，則其必然是絕對可和的，其離散時間傅立葉變換是存在的。z變換收斂域必定包含|z|=1的單位園，當極點位于單位園以內，逆z變換只存在右邊信號；當極點位于單位園外，則逆z變換只存在左邊信號。7.5.2求逆z變換的冪級數展開法（第5節課，2014年12月1日，金工實習停課6周后第六次課講到此。）

如果z變換X(z)可以表示為z-1或z的形式，信號x[n]可以通過與z-n或zn聯系的系數來表示。特點：1、此方法只適用于單邊信號，即離散時間信號是由收斂域為|z|＜a或|z|＞a的z變換所決定。如果收斂域|z|＞a，則把z變換X(z)表示成z-1的冪級數形式（|z|→∞時才有定義

），得到右邊信號形式的逆z變換；如果收斂域|z|＜a，則把z變換X(z)表示成z的冪級數形式（|z|→0時才有定義

）

，得到左邊信號形式的逆z變換；2、冪級數展開法可以得到不是多項式比形式z變換的逆變換。§7.5逆z變換例題與習題：例7.9（P550）例7.10（P551）例7.11（P554）（長除法求z變換）例7.12（P555）（冪級數展開法求z變換）作業：習題7.4（551），習題7.5（553），習題7.6（553），習題7.7（555）§7.5逆z變換例題7.9§7.5逆z變換例題7.9§7.5逆z變換例題7.10§7.5逆z變換例題7.10§7.5逆z變換例題7.11§7.5逆z變換例題7.11§7.5逆z變換例題7.12§7.6傳遞函數（LTI系統的性質）傳遞函數是沖激響應的

z變換。LTI系統的輸出信號是沖激響應與輸入信號的卷積和，即兩邊進行拉氏變換LTI系統的傳遞函數是輸出信號

z變換與輸入信號

z變換之比，即當輸出信號的

z變換和輸入信號

z變換為已知，傳遞函數的收斂域已經確定，或雖然沒有給定傳遞函數的收斂域，但系統的穩定性或因果性質已知的情況下，可以通過求傳遞函數的逆z變換得到系統的沖激響應。7.6.1傳遞函數與差分方程的關系從描述LTI系統輸入信號x[n]與輸出信號y[n]關系的差分方程，可以得到系統的傳遞函數H(z)。描述LTI系統的

N階差分方程為（P129）對方程兩邊同時作z變換，并利用時域平移信號z變換的性質得到因此差分方程所代表的LTI系統傳遞函數為：7.6.1傳遞函數與差分方程的關系對分子和分母多項式分別分解因子可以得到零點和極點形式的傳遞函數。通過極點、零點、增益因子，可以得到另外一種描述系統特點的方法。ck和dk分別是系統的零點和極點，

=b0/a0是增益因子，三者完全確定了傳遞函數。注意，傳遞函數的極點就是常系數差分方程描述的LTI系統特征方程的根。§7.6傳遞函數例題與習題：例7.13（P556）系統識別例7.14（P557）求傳遞函數和沖激響應例7.15（P557）由傳遞函數還原差分方程作業：習題7.8（556），習題7.9（557）§7.6傳遞函數例題7.13§7.6傳遞函數例題7.13§7.6傳遞函數例題7.14§7.6傳遞函數例題7.15§7.7LTI系統因果性和穩定性與極點的關系由于是討論系統本身的特性，需要由傳遞函數極點在z平面上位于|z|=1

的單位園內外的情況來研究系統沖激響應的相關特點。位于z

平面上單位園內外極點對應的沖激響應成分具有以下特點：當極點位于單位園內，即：|dk|＜1，n＞0，h[n]是指數衰減信號；n＜0，h[n]是指數增長信號。不受收斂域約束的任意部分分式對應的系統沖激響應h[n]為當極點位于單位園外，即：

|dk|＞1，n＞0，h[n]是指數增長信號；n＜0，h[n]是指數衰減信號。當極點位于單位園上，即：|dk|=1，h[n]是復正弦信號。§7.7LTI系統因果性和穩定性與極點的關系因果系統：當

n＜0時h[n]=0z平面Re{z}Im{z}×z平面Re{z}Im{z}×位于單位園內的極點（|dk|＜1）對應的沖激響應h[n]是指數衰減信號位于單位園外的極點（|dk|＞1）對應的沖激響應h[n]是指數增長信號§7.7LTI系統因果性和穩定性與極點的關系穩定系統：

h[n]必須絕對可和z平面Re{z}Im{z}×z平面Re{z}Im{z}×位于單位園內的極點（|dk|＜1）對應的沖激響應h[n]只能有右邊信號位于單位園外的極點（|dk|＞1）對應的沖激響應h[n]只能有左邊信號§7.7LTI系統因果性和穩定性與極點的關系穩定的因果系統：

h[n]必須絕對可和，且當

n＜0時

h[n]=0，因此所有極點必須全部位于單位園內，信號只能有右邊信號z平面Re{z}Im{z}×××××7.7.1LTI系統的逆系統與零點的關系及沖激響應的特點h[n]hinv[n]x[n]y[n]x[n]逆系統的信號變換過程示意圖逆系統的信號變換過程示的數學描述逆系統沖激響應與原系統沖激響應之間的關系逆系統傳遞函數與原系統傳遞函數之間的關系7.7.1LTI系統的逆系統與零點的關系及沖激響應的特點（第6節課，2014年12月8日，金工實習停課6周后第六次課講到此。）

逆系統的傳遞函數具有有理傳遞函數H(z)的系統一定存在逆系統；逆系統的零點是原系統傳遞函數H(z)的極點；逆系統的極點是原系統傳遞函數H(z)的零點；逆系統的性質由原系統傳遞函數H(z)的零點決定，決定的方法與原系統方法相同。具有穩定因果逆系統的穩定因果系統，其傳遞函數H(z)的極點和零點都位于z

平面的單位園內；傳遞函數H(z)的全部極點和零點都位于z平面單位園內的系統稱為最小相位系統，最小相位系統的幅度響應與相位響應之間具有惟一的關系，其相位響應由幅度響應惟一確定，反之亦然。§7.7傳遞函數例題與習題：例7.16（P560）例7.17（P560）例7.18（P562）例7.19（P562）作業：習題7.10（561），習題7.11（563）習題7.12（563），§7.7傳遞函數例題7.16§7.7傳遞函數例題7.16§7.7傳遞函數例題7.17§7.7傳遞函數例題7.18§7.7傳遞函數例題7.19§7.8LTI系統頻率響應與極點和零點的關系LTI系統的頻率響應是傳遞函數H(z)中z的取值限定在z平面單位園上時的情況，計算時是以

ejΩ替代

z而得到。因此要求傳遞函數的收斂域必須包含單位園。在傳遞函數中以z=ejΩ替代

z得到頻率響應：在分子分母中同時乘以ejNΩ得到用ejΩ的正冪形式表示的頻率響應：根據上式的特點，可以通過研究零點（ejΩ-

g）及極點1/(ejΩ-

g)的幅度和相位頻率響應特性得到系統的頻率特征。§7.8LTI系統頻率響應與極點和零點的關系以

ejΩ代表單位園上的任意一點，則是從原點到單位園上ejΩ點的矢量，g是從原點到g點的矢量，（ejΩ-

g）是從g點到單位園上ejΩ點的矢量，這個矢量的長度是|ejΩ-

g

|。g位于單位園內外的情況如上圖。可以通過研究（ejΩ-

g）隨Ω的變化來研究系統的頻率響應。0Re{z}Im{z}z平面ejΩejΩ-

gg