第一章拉格朗日方程與哈密頓方程

習題解答本章要求：1.熟練掌握自由度、約束和廣義坐標基本概念2.熟練掌握拉格朗日方程的形式3.熟練掌握哈密頓方程的形式及其物理意義4.基本掌握應用拉格朗日方程和哈密頓方程解決力學問題填空：3.兩個質量為m1、m2的質點固定于一長為R的輕桿兩端，桿的質量可以忽略不計，這個系統在重力作用下，在一鉛直面內運動，請分別用拉式方程和哈氏方程分析其運動。解:設桿在水平方向的位移為x，在豎直方向的位移為y.（1）拉式方程分析：則有由拉式方程：解得：該系統在水平方向加速度為0，在豎直方向加速度為g.（2）哈氏方程分析：代入哈氏方程：可解得與（1）相同結果5.對本章1-3節所舉的兩個小球的振動，給出初始條件如下：試求a1，a2，δ1，δ2，并討論兩球各自的位移與時間的關系。解：代入初始條件：解得：所以：第二章薛定諤方程

習題解答

本章要求：1．了解波粒二象性假設的物理意義及其主要實驗事實，

2．熟練掌握波函數的標準化條件：有限性、連續性和單值性。深入理解波函數的概率解釋。

3．理解態疊加原理以及任何波函數按不同動量的平面波展開的方法及其物理意義．

4．熟練掌握薛定諤方程的建立過程。深入了解定態薛定諤方程，定態與非定態波函數的意義及相互關系。了解連續性方程的推導及其物理意義。

第二章薛定諤方程

本章要求：（二）一維勢場中的粒子

1．熟練掌握一維薛定諤方程邊界條件的確定和處理方法。

2．熟練掌握一維無限深方勢阱的求解方法及其物理討論，掌握一維有限深方勢阱束縛態問題的求解方法。

3．熟練掌握勢壘貫穿的求解方法及隧道效應的解釋。掌握一維有限深方勢阱的反射、透射的處理方法及共振現象的發生。

4．熟練掌握一維諧振子的能譜及其定態波函數的一般特點及其應用。

第二章薛定諤方程填空：1.一維運動粒子處于的狀態，式中>0，求（1）歸一化因子A；（2）粒子的幾率密度；（3）粒子出現在何處的幾率最大？解：（1）令

，則由歸一化的定義得（2）粒子的幾率密度（3）在極值點，由一階導數可得方程而方程的根；；即為極值點。幾率密度在極值點的值；；

由于P(x)在區間(0，1/)的一階導數大于零，是升函數；在區間(1/，)的一階導數小于零，是減函數，故幾率密度的最大值為，出現在處。2.一維線性諧振子處于狀態

（1）求歸一化因子A；（2）求諧振子坐標的平均值；（3）求諧振子勢能的平均值。解：（1）

由歸一化的定義得（2）因被積函數是奇函數，在對稱區間上積分應為0，故

（3）將、代入，可得

是總能量的一半，由能量守恒定律可知動能平均值和勢能平均值相等，也是總能量的一半。3．設把寬為的一維無限深勢阱的坐標原點取在勢阱中點，有試通過具體解定態方程，證明勢阱中粒子的波函數為粒子的能量為證明：勢函數與時間無關，是定態問題。由于是無限深勢阱，粒子不可能到達阱外，因此在阱外在阱內，波函數滿足定態薛定諤方程上式可變形為令，則方程化為該方程的通解為

在邊界上，波函數應滿足連續性條件，即將通解代入有由此可得A和B不能同時為零，否則解無意義。，則必有，則必有由此可得方程的解為

由歸一化條件可知

解得

故在阱內的波函數為粒子的能量

波函數的兩個表達式還可統一為一個表達式4．帶電荷q的一維諧振子在外電場E作用下運動，，試證明粒子的能量和波函數分別為證明：勢函數與時間無關，是定態問題。定態薛定諤方程為上式可改寫為即

作代換，則方程化為標準的一維諧振子方程其解為能量為代換回去得能量

波函數我們看一下諧振子所受的力由F=0可知諧振子的平衡點不再是而是平移到作代換，無非是將坐標原點移到新的平衡點

，移到新的平衡點后，與標準諧振子的力函數表達式完全相同。5．有一維勢壘如下圖所示，自由粒子沿方向向勢壘運動，，求粒子的透射系數D。提示：寫出表達式；令，解出積分限b；利用（2-104）式得D，并注意簡化運算。解：由

可得

故

第三章力學量的算符習題解答1.掌握算符的本征值和本征方程的基本概念。

2．熟練掌握厄米算符的基本性質及相關的定理。

3．熟練掌握坐標算符、動量算符以及角動量算符，包括定義式、相關的對易關系及本征值和本征數。

4．熟練掌握力學量取值的概率及平均值的計算方法．理解兩個力學量同時具有確定值的條件和共同本征函數。

5．熟練掌握不確定度關系的形式、物理意義及其一些簡單的應用。

6．理解力學量平均值隨時間變化的規律。掌握如何根據哈密頓算符來判斷該體系的守恒量。填空：2.一維線性諧振子處于能量算符的本征態求振子在此態的能量本征值。解：一維線性諧振子V（x）=1/2kx2。由得解得當取n=2時，得到即題中所給的本征態。所以此時3.解：氫原子電子勢能勢能平均值：動能平均值：

由其中4.設和是可對易的厄米算符，試證:（1）是否厄米算符？（2）