8.8分布列與其他知識綜合運用（精講）常見考法常見考法考點一分布列與函數結合【例2】（2021·南昌市豫章中學高三開學考試（理））某籃球隊為提高隊員的訓練積極性，進行小組投籃游戲，每個小組由兩名隊員組成，隊員甲與隊員乙組成了一個小組.游戲規則：每個小組的兩名隊員在每輪游戲中分別投籃兩次，每小組投進的次數之和不少于3次的稱為“神投小組”，已知甲乙兩名隊員投進籃球的概率為別為，.（1）若，，則在第一輪游戲他們獲“神投小組”的概率；（2）若，則在游戲中，甲乙兩名隊員想要獲得“神投小組”的稱號16次，則理論上他們小組要進行多少輪游戲才行？并求此時，的值.【答案】（1）；（2）理論上至少要進行輪游戲，.【解析】（1）由題可知，所以可能的情況有：①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次.故所求概率:.（2）他們在一輪游戲中獲“神投小組”的概率為:，因為，所以，因為，，，所以，，又，所以，令，以，則，當時，，他們小組在輪游戲中獲“神投小組”次數滿足，由，則，所以理論上至少要進行輪游戲.此時，，.【一隅三反】1．（2021·山東高三月考）為實現有效利用扶貧資金，增加貧困村民的收入，扶貧工作組結合某貧困村水質優良的特點，決定利用扶貧資金從外地購買甲、乙、丙三種魚苗在魚塘中進行養殖試驗，試驗后選擇其中一種進行大面積養殖，已知魚苗甲的自然成活率為，魚苗乙、丙的自然成活率均為，且甲、乙、丙三種魚苗是否成活相互獨立．（1）試驗時從甲、乙、丙三種魚苗中各取一尾，記自然成活的尾數為，求的分布列．（2）試驗后發現乙種魚苗較好，扶貧工作組決定購買尾乙種魚苗進行大面積養殖，若將（1）中滿足數學期望不超過2.6的的最大值作為乙種魚苗成活的概率，養殖后發現乙種魚苗有個別因不能適應環境而不能自然成活，對這些因不適應環境而不能自然成活的80%魚苗采取增氧、換魚塘等措施，采取措施后成活的概率為62.5%．若每尾乙種魚苗最終成活后可獲利100元，不成活則虧損20元，若扶貧工作組的扶貧目標是獲利不小于376萬元，問需至少購買多少尾乙種魚苗？【答案】（1）答案見解析；（2）40000尾.【解析】（1）隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，則故的分布列為0123（2）由（1）知因為，所有，即乙種魚苗自然成活的概率為0.9依題意知一尾乙種魚苗最終成活的概率為那么尾乙種魚苗最終成活的尾數為，不成活的尾數是設為購買尾乙種魚苗最終可獲得的利潤，則，解得，所有需至少購買40000尾乙種魚苗，才能確保獲利不低于376萬元．2．（2021·廣東廣州·）黨中央，國務院高度重視新冠病毒核酸檢測工作，中央應對新型冠狀病毒感染肺炎疫情工作領導小組會議作出部署，要求盡力擴大核酸檢測范圍，著力提升檢測能力.根據統計發現，疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為.現有6例疑似病例，分別對其取樣?檢測，既可以逐個化驗，也可以將若干個樣本混合在一起化驗，混合樣本中只要有病毒，則化驗結果呈陽性.若混合樣本呈陽性，則需將該組中備用的樣本再逐個化驗；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個樣本均為陰性，無需再化驗.現有以下三種方案：方案一：6個樣本逐個化驗；方案二：6個樣本混合在一起化驗；方案三：6個樣本均分為兩組，分別混合在一起化驗.在新冠肺炎爆發初期，由于檢測能力不足，化驗次數的期望值越小，則方案越“優”.（1）若，按方案一，求6例疑似病例中至少有1例呈陽性的概率；（2）若，現將該6例疑似病例樣本進行化驗，當方案三比方案二更“優”時，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）用表示6例疑似病例中化驗呈陽性的人數，則隨機變量，由題意可知：.答：6例疑似病例中至少有1例呈陽性的概率為.（2）方案二：混合一起檢驗，記檢驗次數為，則.∴，，∴.方案三：每組的三個樣本混合在一起化驗，記檢驗次數為，則.∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的取值范圍.3.（2021年廣東湛江）為響應綠色出行，某市在推出“共享單車”后，又推出“新能源分時租賃汽車”．其中一款新能源分時租賃汽車，每次租車收費的標準由兩部分組成：①根據行駛里程數按1元/公里計費；②行駛時間不超過40分時，按0.12元/分計費；超過40分時，超出部分按0.20元/分計費．已知王先生家離上班地點15公里，每天租用該款汽車上、下班各一次．由于堵車、紅綠燈等因素，每次路上開車花費的時間t(分)是一個隨機變量．現統計了50次路上開車花費時間，在各時間段內的頻數分布情況如下表所示：時間t（分）2030,4040,5050,60頻數2182010將各時間段發生的頻率視為概率，每次路上開車花費的時間視為用車時間，范圍為20,60分．（1）寫出王先生一次租車費用y（元）與用車時間t（分）的函數關系式；（2）若王先生一次開車時間不超過40分為“路段暢通”，設ξ表示3次租用新能源分時租賃汽車中“路段暢通”的次數，求ξ的分布列和期望；（3）若公司每月給1000元的車補，請估計王先生每月（按22天計算）的車補是否足夠上、下班租用新能源分時租賃汽車？并說明理由．（同一時段，用該區間的中點值作代表）【答案】(1)y=0.12?t【解析】（1）當20<t≤40當40<t≤60得：y=（2）王先生租用一次新能源分時租賃汽車，為“路段暢通”的概率Pξ可取0，1，2，3.P(ξP(ξ=2)=ξ的分布列為Eξ=0或依題意ξ～B(3（3）王先生租用一次新能源分時租賃汽車上下班，平均用車時間t=25每次上下班租車的費用約為0.2×一個月上下班租車費用約為20.32×估計王先生每月的車補夠上下班租用新能源分時租賃汽車用．考點二分布列與導數結合【例2】（2021·全國高三月考（理））元旦期間某牛奶公司做促銷活動．一箱某品牌牛奶盒，每盒牛奶可以參與刮獎中獎得現金活動，但其中只有一些中獎．已知購買一盒牛奶需要元，若有中獎，則每次中獎可以獲得代金券元（可即中即用）．顧客可以在一箱牛奶中先購買盒，然后根據這盒牛奶中獎結果決定是否購買余下盒．設每盒牛奶中獎概率為，且每盒牛奶是否中獎相互獨立．（1）若，顧客先購買盒牛奶，求該顧客至少有一盒中獎的概率；（2）設先購買的盒牛奶恰好有一盒中獎的最大概率為，以為值．某顧客認為如果中獎后售價不超過原來售價的四折（即）便可以購買如下的盒牛奶，據此，請你判斷該顧客是否可以購買余下的盒牛奶.【答案】（1）；（2）該顧客可以買下余下的盒牛奶.【解析】（1）依題意有盒至少一盒中獎的概率為；（2）盒牛奶恰有盒中獎的概率為，令，則，當時，，此時函數單調遞增；當時，，此時函數單調遞減.當時，有最大值，設余下盒牛奶中獎為盒，中獎后實際付款為元，，，，，該顧客可以買下余下的盒牛奶．【一隅三反】1．（2021·重慶市楊家坪中學高三）某醫療研究所新研發了一款醫療儀器，為保障該儀器的可靠性，研究所外聘了一批專家檢測儀器的可靠性，已知每位專家評估過程相互獨立．（1）若安排兩位專家進行評估，專家甲評定為“可靠”的概率為，專家乙評定為“可靠”的概率為，只有當兩位專家均評定為“可靠”時，可以確定該儀器可靠，否則確定為“不可靠”．現隨機抽取4臺儀器，由兩位專家進行評估，記評定結果不可靠的儀器臺數為X，求X的分布列和數學期望；（2）為進一步提高該醫療儀器的可靠性，研究所決定每臺儀器都由三位專家進行評估，若每臺儀器被每位專家評定為“可靠”的概率均為p（），且每臺儀器是否可靠相互獨立．只有三位專家都評定儀器可靠，則儀器通過評估．若三位專家評定結果都為不可靠，則儀器報廢．其余情況，儀器需要回研究所返修，擬定每臺儀器評估費用為100元，若回研究所返修，每臺儀器還需要額外花費300元的維修費．現以此方案實施，且抽檢儀器為100臺，研究所用于評估和維修的預算是3.3萬元，你認為該預算是否合理？并說明理由．【答案】（1）分布列見解析，；（2）該預算合理，理由見解析.【解析】（1）記事件A：一臺機器被評定為不合格，則，題意知X的所有可能取值為0，1，2，3，4．由題意得：，所以，，，，，．故隨機變量X的分布列為：X01234P從而．（2）該預算合理．理由如下：設每臺儀器用于評估和維修的費用為元，則的可能取值為，．，．所以，化簡得，令，，令解得，當，，在單調遞增，當，，在單調遞減，所以當時，的最大值為．實施此方案，100臺抽檢儀器的費用期望值最高為元元，因此該預算合理．2．（2021·湖北恩施·高三開學考試）某企業創新形式推進黨史學習教育走深走實，舉行兩輪制的黨史知識競賽初賽，每部門派出兩個小組參賽，兩輪都通過的小組才具備參與決賽的資格，該企業某部門派出甲、乙兩個小組，若第一輪比賽時兩組通過的概率分別是，，第二輪比賽時兩組通過的概率分別是，，兩輪比賽過程相互獨立．（1）若將該部門獲得決賽資格的小組數記為，求的分布列與數學期望；（2）比賽規定：參與決賽的小組由4人組成，每人必須答題且只答題一次（與答題順序無關），若4人全部答對就給予獎金，若沒有全部答對但至少2人答對就被評為“優秀小組"．該部門對通過初賽的某一小組進行黨史知識培訓，使得每個成員答對每題的概率均為（）且相互獨立，設該參賽小組被評為“優秀小組”的概率為，當時，最大，試求的值．【答案】（1）分布列見解析；期望為1；（2）．【解析】（1）設甲乙通過兩輪制的初賽分別為事件，．則，．由題意的取值可能為0，1，2，則，，．那么的分布列為：012．（2）由題意，小組中2人答對的概率為，3人答對的概率，則．，令得，，，所以在上，單調遞增，在上，單調遞減．故時，最大．3．（2021·江蘇南通·高三）在醫學上，為了加快對流行性病毒的檢測速度，常采用“混檢”的方法：隨機的將若干人的核酸樣本混在一起進行檢測，若檢測結果呈陰性，則認定該組每份樣本均為陰性，無需再檢測；若檢測結果呈陽性，則還需對該組的每份樣本逐個重新檢測，以確定每份樣本是否為陽性.設某流行性病毒的感染率為.（1）若，混檢時每組10人，求每組檢測次數的期望值；（2）混檢分組的方法有兩種：每組10人或30人.試問這兩種分組方法的優越性與的值是否有關？(參考數據：，)【答案】（1）1.489次；（2）分組方法的優越性與的值有關.【解析】（1）設每組檢測的次數為，則的可能取值為1，11.，.所以的分布列為1110.95110.0489所以.所以每組檢測次數的期望值是1.489次.（2）當每組的人數為10人時，設每組檢測的次數為.則的可能取值為1，11.，.所以的分布列為111所以.當每組的人數為30人時，設每組檢測的次數為.則的可能取值為1，31.；.所以的分布列為111所以.所以.解法一：設，，則，當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增.所以當時，有最小值為；當或1時，有最大值為，所以存在，，滿足，，且，，使得.當時，，即，此時，每組30人更優越；當時，，即此時，每組10人更優越.所以，分組方法的優越性與的值有關.解法二：當時，，即；當時，，即.所以，分組方法的優越性與的值有關.考點三分布列與數列的結合【例3】《山東省高考改革試點方案》規定：從年高考開始，高考物理、化學等六門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為八個等級.參照正態分布原則，確定各等級人數所占比例分別為.選考科目成績計入考生總成績時，將至等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則分別轉換到八個分數區間，得到考生的等級成績.某校級學生共人，以期末考試成績為原始成績轉換了本校的等級成績，為學生合理選科提供依據，其中物理成績獲得等級的學生原始成績統計如下成績93919088878685848382人數1142433327（1）從物理成績獲得等級的學生中任取名，求恰好有名同學的等級分數不小于的概率;（2）待到本級學生高考結束后，從全省考生中不放回的隨機抽取學生，直到抽到名同學的物理高考成績等級為或結束(最多抽取人)，設抽取的學生個數為，求隨機變量的數學期望(注:).【答案】(1)0.29(2)見解析【解析】（1）設物理成績獲得等級的學生原始成績為，其等級成績為.由轉換公式，得.由，得.顯然原始成績滿足的同學有人，獲得等級的學生有人，恰好有名同學的等級分數不小于的概率為：.（2）由題意得，隨機抽取人，其等級成績為或的概率為.學生個數的可能取值為；，，，；其數學期望是：其中：①②應用錯位相減法“①式-②式”得：故.【一隅三反】1．已知A1，A2，A3，…，A10等（1）如果該同學10所高校的考試都參加，恰有m(1≤m≤10)所通過的概率為f（2）若p=12，該同學參加每所高校考試所需的費用均為a元，該同學決定按A1，A2，A3【答案】（1）當p=m10時，f【解析】（1）因為該冋學通過各校考試的概率均為p，所以該同學恰好通過m(1≤f==當0≤p≤m10當m10≤p≤1所以當p=m10時，（2）設該同學共參加了i次考試的概率為Pi∵Pi∴所以該同學參加考試所需費用ξ的分布列如下：ξa2345678910P1111111111所以Eξ=令S=則12由①-②得12所以S=1+所以Eξ=1+=1-考點四分布列與其他綜合【例4】（2021年廣東河源）已知正四棱錐的底面邊長和高都為2.現從該棱錐的5個頂點中隨機選取3個點構成三角形，設隨機變量表示所得三角形的面積.（1）求概率的值；（2）求隨機變量的概率分布及其數學期望.【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）從5個頂點中隨機選取3個點構成三角形，共有種取法.其中的三角形如，這類三角形共有個.因此.（2）由題意，的可能取值為，2，.其中的三角形是側面，這類三角形共有4個；其中的三角形有兩個，和.因此，.所以隨機變量的概率分布列為：2所求數學期望.【一隅三反】1.某縣大潤發超市為了惠顧新老顧客，決定在2019年元旦來臨之際舉行“慶元旦，迎新年”的抽獎派送禮品活動.為設計一套趣味性抽獎送禮品的活動方案，該超市面向該縣某高中學生征集活動方案.該中學某班數學興趣小組提供的方案獲得了征用.方案如下：將一個4×4×4的正方體各面均涂上紅色，再把它分割成64個相同的小正方體.經過攪拌后，從中任取兩個小正方體，記它們的著色面數之和為（Ⅰ）求；（Ⅱ）凡是元旦當天在超市購買物品的顧客，均可參加抽獎.記抽取的兩個小正方體著色面數之和為6，設為一等獎，獲得價值50元禮品；記抽取的兩個小正方體著色面數之和為5，設為二等獎，獲得價值30元禮品；記抽取的兩個小正方體著色面數之和為4，設為三等獎，獲得價值10元禮品，其他情況不獲獎.求某顧客抽獎一次獲得的禮金的分布列與數學期望.【答案】（I）2063