第5章剛體力學初步前4章給出了質點運動狀態變化的有關規律.本章介紹具有一定形狀和大小物體的機械運動規律.既然任何物體都可看成是由大量質點組成的,那么前面的理論在本章中依然有效.§5.1

剛體運動學§5.2

剛體平動動力學§5.3

質心與質心運動定律§5.4

剛體繞定軸的轉動§5.5角動量定理與角動量守恒定律

§5.6定軸轉動的動能定理與機械能守恒定律1.剛體物理模型:

物體在運動和相互作用過程中,其大小和形狀均不發生變化.推論:

剛體內任意兩點間的距離不變.2.剛體的運動§5.1剛體運動學剛體的一般運動=平動+定軸轉動平動:

在運動過程中,通過剛體內任一條直線的方位始終保持不變.特點:剛體平動時,內部各點運動情況完全相同.因此,描述質點運動的物理量(如位移、速度和加速度)均可用來描述剛體的運動.剛體內任意一點的平動可代表整個剛體的平動.轉動:剛體轉動時,各個質點都繞同一直線(轉動軸)作同角速度的圓周運動.定軸轉動:

轉軸固定不動的轉動.質心軸:通過質心的轉軸.特點:定軸轉動時,剛體轉軸上各點保持不動.軸外各點在同一時間間隔

dt

內,移動的弧長雖然不同,但其角位移

d

卻完全一樣.因此,

描述剛體的定軸轉動可引入新的物理量,

如角位移、角速度和角加速度.3.

描述剛體轉動的物理量角位移:在時間間隔

t

內,剛體上任一點相對于某一特定轉軸轉過的角度為.zxo特征:

(1)角位移

是相對于某一特定轉軸而言的.

(2)角位移

不是矢量,它的合成與轉動的先后次序有關,不符合矢量的加法交換律.

xyzxyzxyzxyzxyzxyz角位移不是矢量(3)

瞬時角位移

d

符合矢量運算法則,為矢量.dxyzo角速度:大小為在某一時刻

t

附近的單位時間間隔內,剛體上任一點角位移的大小;其方向在轉軸方位,可用右手螺旋法則確定.特征:

(1)

角速度是矢量,它反映了剛體轉動瞬時角位移隨時間變化的規律.

(2)定軸轉動時,轉軸的方向已經給定,角速度的方向可用正負表示,即滿足標量運算法則.角加速度:在任意時刻

t

附近的單位時間間隔內,剛體轉動角速度的變化量,其方向由矢量運算法則確定.對于定軸轉動有:速度和角速度的關系:以轉軸上某點O為參考點加速度和角速度、角加速度的關系:對于定軸轉動有

定軸轉動直線運動

角位移φ

位移

x

角速度ω

速度v角加速度

加速度

a

=常數

a

=常數勻加速定軸轉動

勻加速直線運動§5.2

剛體平動動力學剛體:質點間距離保持不變的質點系.質量元mi

:在剛體上任取一質量元

mi

視為質點.質量元外力F

i:

其它物體施于質量元

mi

的作用力.質量元內力f

i:剛體內其它部分施于質量元

mi

的作用力.由牛頓力學有對所有質量元求和有且平動時有考慮到所以平動運動定律:剛體平動時,其運動規律與同質量的質點相同,受力等于剛體所受外力的矢量和.§5.3

質心與質心運動定律對剛體的任意運動,

由牛頓第二定律有:剛體任意運動時,

作用在剛體上的合外力等于各個質量元的加速度與質量元乘積的矢量和.剛體任意運動時,

每一質量元的加速度不一定相同,故上式無法確定每一質量元的加速度.

但它可以確定剛體中一特殊點——質心的加速度.1.剛體的質心與質心運動定律將上式寫成直角坐標分量形式這三個量可確定剛體上某點

c

(xc,yc,zc),

稱為剛體的質量中心,

簡稱質心.若令若質量連續分布,

則有其中

dV

為質量元

dm

的體積.質心運動定律:剛體任意運動時,作用在剛體上的合外力等于剛體的質量與質心加速度的乘積.代入分量式可得2.剛體的重力勢能hc為剛體質心的高度,剛體的重力勢能取決于其質心的高度.對任一質量元對整個剛體§5.4剛體繞定軸的轉動1.轉動定律剛體繞過O點且與投影面垂直的固定軸轉動僅考慮所受的力與轉軸垂直的情形.剛體中任一質量元該質量元所受合外力該質量元所受合內力由牛頓第二定律:寫成分量形式:對(2)式乘以ri

:對

i

求和:由內力的特性知故有稱為外力Fi

對轉軸的力矩稱為剛體對該轉軸的轉動慣量所以定軸轉動定律:剛體繞定軸轉動時,作用在剛體上的合外力矩等于剛體對該轉軸的轉動慣量與角加速度的乘積.以表示合外力矩,

則有

以矢量形式表示其中合外力矩轉動慣量力矩指向在轉軸方位2.力矩定義:

力對某轉軸的力矩,

等于轉軸到力作用點的矢徑與作用力的叉乘.特性:

力矩是矢量;力矩的和不恒等于合力的力矩;

每個分力的力矩與力的作用點有關.大小方向:由和的右手螺旋法則確定.3.轉動慣量定義:特性:

(1)轉動慣量是標量,它是反映剛體轉動慣性大小的物理量.(2)

它是相對于某一特定轉軸而言的.轉軸不同,同一物體的轉動慣量則不同.(3)

它與剛體的質量和質量分布有關.(4)

它符合加法結合律和交換律——和的轉動慣量等于轉動慣量的和.(5)

轉動慣量的平行軸定律:(6)

規則形狀剛體相對于對稱軸的轉動慣量可直接計算求得,

其它不規則剛體的轉動慣量一般由實驗測定.dmIIc4.轉動慣量的計算xdxxo(1)垂直于細棒且通過質心軸的轉動慣量.已知:

棒長

l

,

總質量

m

.設棒的線密度為則有(2)均勻細圓環繞其對稱軸的轉動慣量.已知:半徑R,總質量m

.dmR(3)

空心圓柱繞其對稱軸的轉動慣量.已知:內半徑

R1,外半徑

R2

,高

l

,總質量

m

.rdrR1R2ol該式同樣適用于薄圓盤設其密度為在半徑為

r

處,取厚度為

dr的薄層為質量元(4)均勻球體繞其對稱軸的轉動慣量.已知:球的半徑為

R

,質量

m

.方法1:取距球心為

x

處,

厚度為dx、半徑為

r

的薄圓盤為質量元設其質量密度為圓盤半徑體積元質量元此圓盤的轉動慣量dxxRr薄圓盤的轉動慣量那么,

球體的轉動慣量為方法2:

在球坐標系中取體體積元質量元故球的轉動慣量為轉動慣量計算的一般步驟質量密度為取體積元則質量元直角坐標系球坐標系轉動慣量常見規則剛體的轉動慣量薄圓盤R1R2l圓柱細棒細棒球體例1.

求半經為

R

、質量為

m

的均勻圓環,對于沿直徑轉軸的轉動慣量.解:圓環的線密度為在環上取長度元

dS,相應的質量元

dm

,dm

距轉軸

r,

則例4.

在半徑分別為

R1

和

R2

的階梯形滑輪上反向繞有兩根輕繩,分別懸掛質量為m1、m2的物體.如滑輪與軸間摩擦不計,滑輪轉動慣量為I.求滑輪的角加速度β

及兩繩中的張力T1與T2.y解:取向下為坐標軸的正方向,相應地順時針轉向亦為正方向.隔離體受力分析如圖.由牛頓定律和轉動定律列方程如下且線量與角量之間的關系式為y聯立求解得例5.

物體

A、B

的質量分別為

m1和

m2

,用一輕繩相連,繩子跨過質量為

M、半徑為

R

的勻質定滑輪

C.如A下降,B

與水平桌面間的滑動摩擦系數為

μ

,且繩與滑輪之間無相對滑動,求系統的加速度及繩中的張力

T1

和

T2

.yx解:建立如圖坐標系,并取順時針轉向為正方向.隔離物體受力分析如下圖.由牛頓定律和轉動定律列出動力學方程:整理以上方程有:又由運動之間的聯系可得:聯立解得:§5.5

角動量定理與

角動量守恒定律由轉動定律有:令

,

稱為剛體對該轉軸的角動量或動量矩.角動量定理:

剛體在定軸轉動時,角動量的增量等于外力矩作用在剛體上的沖量矩.一般地,有稱為力矩對轉軸的沖量矩沖量矩:

外力矩對時間的累積.由角動量定理:角動量守恒定律:

剛體在定軸轉動時,若受到的合外力矩為零,則其角動量保持不變.I11F1I22F2I1+I2若恒矢量作用前角動量作用后角動量例8.

在質量為

M、半徑為

R

的水平圓盤轉臺上,兩質量均為

m

的電動汽車分別沿半徑為

R

和

r

(R＞r)

的圓形軌道轉動.最初,小車和轉臺都靜止不動.若外軌道上的小車沿逆時針方向轉動,內軌道小車順時針轉動,相對于轉臺的速率均為v.求轉臺對地面的角速度.解:

設順時針方向為正方向,轉臺對地面的角速度為.由于運動過程中無外力矩作用,所以系統的角動量守恒.汽車A相對于地面的角速度汽車B相對于地面的角速度由角動量守恒其中代入可得所以,轉臺順時針旋轉.§5.6

定軸轉動的動能定理與機械能守恒定律剛體定軸轉動時,

距轉軸為

r

的質量元

dm

的線速度為

v

,

其動能為剛體定軸轉動時的總動能為1.剛體的轉動動能2.剛體的重力勢能3.剛體的平動動能4.剛體的總機械能5.剛體轉動時外力矩所做的功剛體定軸轉動時的微角位移為d,相應地力矩做功為某一力

Fi

的元功為所有外力的元功為剛體由角

1轉到角

2

過程中,外力矩所做的功為6.剛體定軸轉動的動能定理由轉動定律有動能定理:剛體在定軸轉動過程中,合外力矩所做的功等于轉動動能的增量(力矩的空間累積效應).7.剛體機械能守恒定律由剛體定軸轉動的動能定理有:當時若存在重力,且,

則一般情況下若則有

為平動動能

為轉動動能例1.

質量為

m1

的小球,運動速度為u,

與質量為

m2

、長為

2l

的細棒作完全彈性碰撞,棒繞通過其質心的水平轉軸轉動(如圖).求:小球的反彈速度v

和棒的角速度

.解：小球的重力與沖擊力相比可忽略,且選順時針轉向為正方向.設小球反彈速度為v

,

棒轉動的角速度為

.碰撞前后系統角動量守恒:又彈性碰撞時機械能守恒其中解得例2.

長為

l

、質量為

m

的均勻細桿OA,繞通過其端點O的水平軸在豎垂面內自由轉動.已知另一端A過最低點時的速率為v0.求桿擺動時A點上升的最大高度(不計空氣阻力和軸的摩擦力)解:選地球與細桿為系統，則合外力矩為0,故機械能守恒.

最低點處動能最高點處動能勢能勢能h由有可求得運動學運動的表征動力學運動的原因及規律靜力學運