山西省長治市長子縣色頭中學高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.不等式所表示的區域為M，函數的圖象與x軸所圍成的區域為N.向M內隨機投一個點，則該點落到N內概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A不等式表示的區域M是對角線為4的正方形，其面積為8；函數的圖象與x軸所圍成的區域N是半徑為的半圓，面積為π；則向M內隨機投一個點，則該點落到N內的概率為．

2.已知△ABC的三邊長a，b，c成遞減的等差數列，若B=，則cosA﹣cosC=（）A．

B．

C．D．參考答案：C【考點】三角函數的化簡求值；余弦定理．【分析】三邊a，b，c成等差數列，可得2b=a+c，利用正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=，設cosA﹣cosC=m，平方相加即可得出．【解答】解：∵三邊a，b，c成等差數列，∴2b=a+c，利用正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC，∴sinA+sinC=2sin=，設cosA﹣cosC=m，則平方相加可得：2﹣2cos（A+C）=2+m2，∴m2=2cosB=，解得m=±．∵a，b，c成遞減的等差數列，∴m=﹣．故選：C．3.為得到函數的圖象，只需將函數的圖象A.向左平移個長度單位 B.向右平移個長度單位C.向左平移個長度單位 D.向右平移個長度單位參考答案：C因為，所以為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象向左平移個單位，選C.4.從1,2,3,4四個數字中任取兩個不同數字，則這兩個數字之積小于5的概率為（

）A． B． C． D．參考答案：B從1,2,3,4四個數字中任取兩個不同數字，共有共6個基本事件，其中這兩個數字之積小于5的有共3個基本事件，則這兩個數字之積小于5的概率為；故選B.5.定義為個正整數的“均倒數”，若已知數列的前項的“均倒數”為，又，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C6.下列函數中，既是偶函數又在區間(0,1)內單調遞減的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B7.函數的零點位于區間

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C

8.大衍數列，來源于中國古代著作《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，其前10項為：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50.

通項公式：，如果把這個數列{an}排成如圖形狀，并記表示第m行中從左向右第n個數，則的值為（

）A.3444 B.3612 C.3528 D.1280參考答案：A【分析】先求解前9行共用多少項，然后確定是數列的第幾項，代入通項公式可得.【詳解】根據題意前9行共有項，是第83項，，故選A.【點睛】本題主要考查數列項的求解，明確項數是求解本題的關鍵，側重考查邏輯推理和數學運算的核心素養.9.右圖是一個算法框圖，則輸出的k的值是(

)

A.

3

B.

4

C.

5

D.

6參考答案：C略10.已知A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為＿＿＿＿參考答案：由三視圖知，此幾何體是一個組合體，上面是球，其半徑為1，下面是半圓柱，底面半圓直徑為1，高為2．所以組合體的體積為．12.已知正三棱柱的底面正三角形邊長為2，側棱長為3，則它的體積

．參考答案：正三棱柱的底面面積為，所以體積為。13.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C＝，，若△ABC的面積為

，則=

．參考答案：

略14.若圓與雙曲線C：的漸近線相切，則_____；雙曲線C的漸近線方程是____．參考答案：，【知識點】圓的標準方程與一般方程雙曲線【試題解析】雙曲線的漸近線方程為：

圓的圓心為（2，0），半徑為1．

因為相切，所以

所以雙曲線C的漸近線方程是：

故答案為：，15.直線（t為參數，為常數）恒過定點

。參考答案：（-2，3）16.已知實數x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最小值是__________．參考答案：

略17.已知是定義域R上的奇函數,周期為4,且當時,,則_____________.參考答案：-1是定義域上的奇函數,周期為,且當時,,∴三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.△ABC中角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b2+c2﹣a2+bc=0，（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC面積S△ABC的最大值．參考答案：解：（1）∵△ABC中，b2+c2﹣a2+bc=0，∴b2+c2﹣a2=﹣bc因此cosA===﹣∵A為三角形的內角，∴A=；（2）∵b2+c2﹣a2+bc=0，∴a2=b2+c2+bc=3，得b2+c2=﹣bc+3≥2bc解之得bc≤1，當且僅當b=c=1時等號成立∵△ABC面積S△ABC=bcsinA=bc∴當且僅當b=c=1時，△ABC面積S△ABC的最大值為．略19.在四棱錐P﹣ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，AC∩BD=O．（Ⅰ）證明：PC⊥BD（Ⅱ）若E是PA的中點，且BE與平面PAC所成的角的正切值為，求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．參考答案：【分析】（Ⅰ）證明BD⊥AC，BD⊥PO，推出BD⊥面PAC，然后證明BD⊥PC．（Ⅱ）說明OE是BE在面PAC上的射影，∠OEB是BE與面PAC所成的角．利用Rt△BOE，在Rt△PEO中，證明PO⊥AO．推出PO⊥面ABCD．方法一：說明∠OHB是二面角A﹣EC﹣B的平面角．通過求解三角形求解二面角A﹣EC﹣B的余弦值．方法二：以建立空間直角坐標系，求出平面BEC的法向量，平面AEC的一個法向量，利用空間向量的數量積求解即可．【解答】（本小題滿分12分）證明：（Ⅰ）因為底面是菱形，所以BD⊥AC．（1分）又PB=PD，且O是BD中點，所以BD⊥PO．（2分）PO∩AC=O，所以BD⊥面PAC．（3分）又PC?面PAC，所以BD⊥PC．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，OE是BE在面PAC上的射影，所以∠OEB是BE與面PAC所成的角．在Rt△BOE中，，BO=1，所以．在Rt△PEO中，，，所以．所以，又，所以PO2+AO2=PA2，所以PO⊥AO．（6分）又PO⊥BD，BD∩AO=O，所以PO⊥面ABCD．（7分）方法一：過O做OH⊥EC于H，由（Ⅰ）知BD⊥面PAC，所以BD⊥EC，所以EC⊥面BOH，BH⊥EC，所以∠OHB是二面角A﹣EC﹣B的平面角．（9分）在△PAC中，，所以PA2+PC2=AC2，即AP⊥PC．所以．（10分），得，（11分），，所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值為．（12分）方法二：如圖，以建立空間直角坐標系，，B（0，1，0），，，，，．（9分）設面BEC的法向量為，則，即，得方程的一組解為，即．（10分）又面AEC的一個法向量為，（11分）所以，所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值為．（12分）【點評】本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．20.已知函數f（x）=ax+lnx，其中a為常數，設e為自然對數的底數．（1）當a=﹣1時，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在區間（0，e]上的最大值為﹣3，求a的值；（3）設g（x）=xf（x），若a＞0，對于任意的兩個正實數x1，x2（x1≠x2），證明：2g（）＜g（x1）+g（x2）．參考答案：【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用．【分析】（1）在定義域（0，+∞）內對函數f（x）求導，求其極大值，若是唯一極值點，則極大值即為最大值．（2）在定義域（0，+∞）內對函數f（x）求導，對a進行分類討論并判斷其單調性，根據f（x）在區間（0，e]上的單調性求其最大值，并判斷其最大值是否為﹣3，若是就可求出相應的最大值．（3）先求導，再求導，得到g′（x）為增函數，不妨令x2＞x1，構造函數，利用導數即可證明【解答】解：（1）易知f（x）定義域為（0，+∞），當a=﹣1時，f（x）=﹣x+lnx，，令f′（x）=0，得x=1．當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數．f（x）max=f（1）=﹣1．∴函數f（x）在（0，+∞）上的最大值為﹣1，（2）∵．①若，則f′（x）≥0，從而f（x）在（0，e]上是增函數，∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0，不合題意，②若，則由，即由，即，從而f（x）在（0，﹣）上增函數，在（﹣，e]為減函數∴令，則，∴a=﹣e2，（3）證明：∵g（x）=xf（x）=ax2+xlnx，x＞0∴，∴g′（x）為增函數，不妨令x2＞x1令，∴，∵，∴而h（x1）=0，知x＞x1時，h（x）＞0故h（x2）＞0，即21.(12分)如圖，在直三棱柱中，(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)若D是AB的中點，求證：∥平面．參考答案：解析:證明：(Ⅰ)在△中，

…………（2分）

平面．

…………（4分）

平面

…………（6分）(Ⅱ)連接交于M，則M為的中點…………（8分）連接DM，則∥， …………（10分）平面，平面，

∥平面

…………（12分）22.（本小題滿分12分）在中，設內角的對邊分別為，.（1）求角；（2）若且，求的面積.參考答案：(1)；(2)試題分析：（1）利用兩角差的正弦函數，余弦函數公式化簡已知可得，結合范圍0＜C＜π，即可解得C的值．（2）由正弦函數化簡si