山西省長治市關村中學2022年高三數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知數列{an}是公差為2的等差數列，且a1，a2，a5成等比數列，則a2為(

)A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3參考答案：D【考點】等比數列的性質；等差數列的性質．【專題】計算題．【分析】先用a2分別表示出a1和a5，再根據等比中項的性質得a22=a1a5進而求得a2．【解答】解：a1=a2﹣2，a5=a2+6∴a22=a1a5=（a2﹣2）（a2+6），解得a2=3故選D【點評】本題主要考查了等差數列和等比數列的性質．屬基礎題．2.若，則cos2α+2sin2α=（）A． B．1 C． D．（0，0，1）參考答案：A【考點】三角函數的化簡求值．【分析】原式利用同角三角函數間的基本關系變形，將tanα的值代入計算即可求出值．【解答】解：由，得=﹣3，解得tanα=，所以cos2α+2sin2α====．故選A．【點評】此題考查了同角三角函數基本關系的運用，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵．3.若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積是A.36cm3 B.48cm3C.60cm3 D.72cm3參考答案：B由三視圖可知，上面是個長為4寬為2的長方體，下面是一個發放倒的四棱柱，高為4，底面是個梯形，上下底分別為2,6，高為2.所以長方體的體積為，四棱柱的體積為，所以該幾何體的體積為，選B.4.已知等比數列各項都為正數，且為與的等差中項，則（

）A．27

B．21C．14

D．以上都不對參考答案：C試題分析：由題意得，選C.考點：等比數列性質5.已知全集,集合,,則集合(

)

A． B．

C． D.參考答案：【知識點】集合的運算A1C

解析：由題意易知，所以故選C.【思路點撥】先求出，再求出即可。6.已知等比數列的首項為，公比為，給出下列四個有關數列的命題：：如果且，那么數列是遞增的等比數列；：如果且，那么數列是遞減的等比數列；：如果且，那么數列是遞增的等比數列；：如果且，那么數列是遞減的等比數列．其中為真命題的個數為A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C7.復數（為虛數單位），則=（

）A.

B.5

C.25

D.參考答案：B8.已知集合U=R，集合A={x|－l≤x≤3}，集合B=|x|log2x<2}，則AB=

A．{x|1≤x≤3}

B．{x|－1≤x≤3}

C．{x|0<x≤3}

D．{x|－1≤x<0}參考答案：C略9.已知為虛數單位，則復數的虛部是A．

B．1

C．

D．參考答案：A原式=，則復數的虛部是.選A.10.已知，向量，向量，且，則的最小值為（

）A.9

B.16 C.18

D.8參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知O為坐標原點，，平面上動點N滿足，動點N的軌跡為曲線C，設圓M的半徑為1，圓心M在直線上，若圓M與曲線C有且僅有一個公共點，則圓心M橫坐標的值為

．參考答案：

0或12.已知正四棱錐的側棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為

參考答案：13.已知集合A＝{x∈R|x2－x≤0}，函數f(x)＝2－x＋a(x∈A)的值域為B.若B?A，則實數a的取值范圍是__________．參考答案：略14.將全體正整數排成一個三角形數陣：按照以上排列的規律，第n行（n≥3）從左向右的第3個數為______________．參考答案：略15.給出以下四個結論：①函數的對稱中心是；②若不等式對任意的都成立，則；③已知點在直線兩側，則；④若將函數的圖像向右平移（0）個單位后變為偶函數，則的最小值是.其中正確的結論是;___________.參考答案：③④16.已知復數，則

．參考答案：2略17.設f(x)是定義在R上的偶函數，且當時，，若對任意的，不等式恒成立，則實數m的最大值是

．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=cos（x﹣），g（x）=ex?f′（x），其中e為自然對數的底數．（Ⅰ）求曲線y=g（x）在點（0，g（0））處的切線方程；（Ⅱ）若對任意x∈[﹣，0]，不等式g（x）≥x?f（x）+m恒成立，求實數m的取值范圍；（Ⅲ）試探究當x∈[，]時，方程g（x）=x?f（x）的解的個數，并說明理由．參考答案：考點：利用導數求閉區間上函數的最值；函數的零點與方程根的關系；利用導數研究曲線上某點切線方程．專題：計算題；函數的性質及應用；導數的概念及應用；導數的綜合應用．分析：（Ⅰ）化簡f（x）=sinx，g（x）=excosx，g（0）=e0cos0=1；從而由導數的幾何意義寫出切線方程；（Ⅱ）對任意x∈[﹣，0]，不等式g（x）≥x?f（x）+m恒成立可化為m≤[g（x）﹣x?f（x）]min，x∈[﹣，0]，從而設h（x）=g（x）﹣x?f（x），x∈[﹣，0]，轉化為函數的最值問題求解．（Ⅲ）設H（x）=g（x）﹣x?f（x），x∈[，]；從而由函數的單調性及函數零點的判定定理求解函數的零點的個數．解答：解：（Ⅰ）由題意得，f（x）=sinx，g（x）=excosx，g（0）=e0cos0=1；g′（x）=ex（cosx﹣sinx），g′（0）=1；故曲線y=g（x）在點（0，g（0））處的切線方程為y=x+1；

（Ⅱ）對任意x∈[﹣，0]，不等式g（x）≥x?f（x）+m恒成立可化為m≤[g（x）﹣x?f（x）]min，x∈[﹣，0]，設h（x）=g（x）﹣x?f（x），x∈[﹣，0]，則h′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣sinx﹣xcosx=（ex﹣x）cosx﹣（ex+1）sinx，∵x∈[﹣，0]，∴（ex﹣x）cosx≥0，（ex+1）sinx≤0；故h′（x）≥0，故h（x）在[﹣，0]上單調遞增，故當x=﹣時，hmin（x）=h（﹣）=﹣；故m≤﹣；

（Ⅲ）設H（x）=g（x）﹣x?f（x），x∈[，]；則當x∈[，]時，H′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣sinx﹣xcosx=（ex﹣x）cosx﹣（ex+1）sinx，由=tanx≥1，=1﹣＜1，即有＞，即有H′（x）＜0，故H（x）在[，]上單調遞減，故函數H（x）在[，]上至多有一個零點；又H（）=（﹣）＞0，H（）=﹣＜0；且H（x）在[，]上是連續不斷的，故函數H（x）在[，]上有且只有一個零點．點評：本題考查了導數的幾何意義的應用及導數的綜合應用，同時考查了恒成立問題及函數的最值問題，還考查了零點的個數的判斷，屬于難題．19.（本小題滿分12分）已知函數與函數在點處有公共的切線，設.（I）求的值（Ⅱ）求在區間上的最小值.參考答案：（I）因為所以在函數的圖象上又，所以所以

………………3分（Ⅱ）因為，其定義域為

………………5分當時，，所以在上單調遞增所以在上最小值為

………………7分當時，令，得到(舍)當時，即時，對恒成立，所以在上單調遞增，其最小值為………………9分當時，即時，對成立，所以在上單調遞減，其最小值為

………………11分當，即時，對成立，對成立所以在單調遞減，在上單調遞增其最小值為………12分綜上，當時，

在上的最小值為當時，在上的最小值為當時，

在上的最小值為.20.當前，以“立德樹人”為目標的課程改革正在有序推進．高中聯招對初三畢業學生進行體育測試，是激發學生、家長和學校積極開展體育活動，保證學生健康成長的有效措施．某地區2018年初中畢業生升學體育考試規定，考生必須參加立定跳遠、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試，三項考試滿分為50分，其中立定跳遠15分，擲實心球15分，1分鐘跳繩20分．某學校在初三上期開始時要掌握全年級學生每分鐘跳繩的情況，隨機抽取了100名學生進行測試，得到右邊頻率分布直方圖，且規定計分規則如下表：每分鐘跳繩個數[155，165）[165，175）[175，185）[185，+∞）得分17181920（Ⅰ）現從樣本的100名學生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于35分的概率；（Ⅱ）若該校初三年級所有學生的跳繩個數X服從正態分布N（μ，σ2），用樣本數據的平均值和方差估計總體的期望和方差，已知樣本方差S2≈169（各組數據用中點值代替）．根據往年經驗，該校初三年級學生經過一年的訓練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數都有明顯進步，假設今年正式測試時每人每分鐘跳繩個數比初三上學期開始時個數增加10個，現利用所得正態分布模型：（ⅰ）預估全年級恰好有2000名學生時，正式測試每分鐘跳182個以上的人數；（結果四舍五入到整數）（ⅱ）若在全年級所有學生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳195個以上的人數為ξ，求隨機變量ξ的分布列和期望．附：若隨機變量X服從正態分布N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974參考答案：解：（Ⅰ）兩人得分之和不大于35分，即兩人得分均為17分，或兩人中1人17分，1人18分，

………………3（Ⅱ）＝160×0.06+170×0.12+180×0.34+190×0.30+200×0.1+210×0.08＝185（個）…………5又σ2≈169，σ＝13，所以正式測試時，μ＝195，σ＝13，∴μ﹣σ＝182．（ⅰ）∴P（ξ＞182）＝1﹣＝0.8413，∴0.8413×2000＝1682.6≈1683．（人）

………………7（ⅱ）由正態分布模型，全年級所有學生中任取1人，每分鐘跳繩個數195以上的概率為0.5，即ξ～B（3，0.5），∴P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝，………………10∴ξ的分布列為ξ0123P0.1250.3750.3750.125E（ξ）＝3×0.5＝1.5

………………（12分）

21.幾何證明選講如圖，已知是的切線，為切點，是的割線，與交于兩點，圓心在的內部，點是的中點．（Ⅰ）證明四點共圓；（Ⅱ）求的大小．參考答案：解析】（Ⅰ）證明：連結．因為與相切于點，所以．因為是的弦的中點，所以．于是．由圓心在的內部，可知四邊形的對角互補，所以四點共圓．-----------------5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四點共圓，所以．由（Ⅰ）得．由圓心在的內部，可知．所以．------------------10分略22. 某產品的三個質量指標分別為x,y,z,用綜合指標S=x+y+z評價該產品的等級.若S≤4,則該產品為一等品.先從一批該產品中,隨機抽取10件產品作為樣本,其質量指標列表如下