山西省運城市永濟電機廠高級中學2022年高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.定義在實數集R上的奇函數f(x)滿足，且當時，，則下列四個命題：①；②函數f(x)的最小正周期為2；③當時，方程有2018個根；④方程有5個根.其中真命題的個數為（

）A．1

B．2

C.

3

D．4參考答案：C∵∴∴函數的最小正周期為，故②錯誤.∴∵當時，∴，即，故①正確.∵函數在實數集上為奇函數∴∴，即函數關于直線對稱.畫出函數的圖象如圖所示：由圖象可得，當時，方程有2個根，故當時，方程有個根，故③正確；畫出的圖象如圖所示，與函數有5個交點，故④正確.故選C.

2.，為非零向量，“”是“函數f(x)=(+)(-)為一次函數”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B略3.函數的圖象向左平移個單位后，得到函數的圖象，則的解析式為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A4.若復數滿足，則復數的虛部為A.-1B.0C.iD.1參考答案：B5.已知表示數列的前項的和，若對任意滿足且則=（

）A．B．C．D．參考答案：C在中，令則，令，則，于是，故數列是首項為0，公差為1的等差數列，.選C.6.在鈍角△ABC中，c=，b=1，B=，則△ABC的面積等于（）A． B． C．或 D．或參考答案：B【考點】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可求sinC，結合C范圍，可求C的值，進而利用三角形面積公式即可計算得解．【解答】解：∵c=，b=1，B=，∴sinC===，又∵C∈（0，π），∴C=或，又∵△ABC為鈍角三角形，∴S△ABC=bcsinA=．故選：B．7.根據下邊流程圖輸出的值是（）A．11 B．31 C．51 D．79參考答案：D【考點】EF：程序框圖．【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環結構計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，分析循環中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：模擬程序的運行，可得n=2，S1=0，a1=1執行循環體，a2=2，S2=3，n=3滿足條件n≤5，執行循環體，a3=4，S3=11，n=4滿足條件n≤5，執行循環體，a4=8，S4=31，n=5滿足條件n≤5，執行循環體，a5=16，S5=79，n=6不滿足條件n≤5，退出循環，輸出S5的值為79．故選：D．8.已知集合，，，則實數的不同取值個數為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B9.若，則的值為(

▲

)A．80

B．40

C．20

D．10參考答案：A10.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，7}，B={x|x=log2（a+1），a∈A}，則（?UA）∩（（?UB）=（）A．{1，3} B．{5，6} C．{4，5，6} D．{4，5，6，7}參考答案：C【考點】交、并、補集的混合運算．【分析】求解集合B，?UA，?UB．根據集合的基本運算即可求（?UA）∩（?UB）．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，7}，∴?UA={2，4，5，6}集合B={|x=log2（a+1），a∈A}，當a=1時，B={x|x=log2（2+1）=1，當a=3時，B={x|x=log2（3+1）=2，當a=7時，B={x|x=log2（7+1）=3，∴集合B={1，2，3}，∴?UB={4，5，6，7}，故得（?UA）∩（?UB）={4，5，6}故選C．【點評】本題主要考查集合的基本運算，比較基礎．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的C處的乙船，現乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，則的值為．參考答案：解：如圖所示，在中，，，，由余弦定理得，所以．由正弦定理得．由知為銳角，故．故．故答案為：．12.在中，內角A、B、C的對邊長分別為、、，已知，且

則=

。參考答案：413.若α，β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，則下列關系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α2＞β2；⑤α2≤β2其中正確的序號是：．參考答案：④【考點】GA：三角函數線．【分析】構造函數f（x）=xsinx，x∈[﹣，]，利用奇偶函數的定義可判斷其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx可判斷f（x）=xsinx，x∈[0，]，與x∈[﹣，0]上的單調性，從而可選出正確答案．【解答】解：令f（x）=xsinx，x∈[﹣，]，∵f（﹣x）=﹣x?sin（﹣x）=x?sinx=f（x），∴f（x）=xsinx，x∈[﹣，]為偶函數．又f′（x）=sinx+xcosx，∴當x∈[0，]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，]單調遞增；同理可證偶函數f（x）=xsinx在x∈[﹣，0]單調遞減；∴當0≤|β|＜|α|≤時，f（α）＞f（β），即αsinα﹣βsinβ＞0，反之也成立，∴α2＞β2．故答案為④．14.如圖所示，由若干個點組成形如三角形的圖形，每條邊（包括兩個端點）有個點，每個圖形總的點數記為，則

．

參考答案：15.某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積是__________；其表面積為__________．參考答案：

(1).

(2).【分析】根據幾何體的三視圖可得幾何體的直觀圖，計算可得這個幾何體的體積和表面積.【詳解】解：根據幾何體的三視圖可得幾何體的直觀圖如下：可以分割為一個直三棱柱，和一個同底的三棱錐，底面三角形一邊為2，此邊上的高為，直三棱柱的高為，三棱錐的高為，可得，可得其表面積：故答案：，【點睛】本題考察三視圖求幾何體的體積與表面積，考察計算能力，空間想象能力，由三視圖復原幾何體是解題的關鍵.16.已知定義在R上的函數的圖象關于點對稱，且滿足，又，，則_______________．參考答案：1略17.在一個長方體的三條棱長分別為3、8、9，若在該長方體上面鉆一個圓柱形的孔后其表面積沒有變化，則圓孔的半徑為

．參考答案：3【分析】設半徑為r，由題意得減少的2個圓的面積=圓柱的側面積，由此列出方程能求出圓孔的半徑．【解答】解：設半徑為r，∵在一個長方體的三條棱長分別為3、8、9，在該長方體上面鉆一個圓柱形的孔后其表面積沒有變化，∴減少的2個圓的面積=圓柱的側面積，∴2πr2=2πr×3，解得r=3．∴圓孔的半徑為3．故答案為：3．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數列是首項1，公比為q(q＞0)的等比數列，并且2a,a,a成等差數列.（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）若數列滿足b＝a+n,求數列的前n項和T.參考答案：19.（本小題滿分14分）已知拋物線C：的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸于點D，且有丨FA|＝|FD|，當點A的橫坐標為3時，△ADF為正三角形。(1)求C的方程,

(2)若直線l1//l，且l1和C有且只有一個公共點E,

①證明直線AE過定點，并求出定點坐標；②△ABE的面積是否存在最小值，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由。參考答案：（1）由題意知，設，則的中點為，因為，由拋物線的定義得：，解得或（舍去）.

…………2分由,可得，解得.所以拋物線的方程為.

…………4分

（2）①由（1）知.設，因為，則，由,得，故，故直線的斜率為，

…………5分

因為直線和直線平行，設直線的方程為，代入拋物線方程得……①由題意方程①的判別式，得.代入①解得.設，則，.

…………6分

當時，，可得直線的方程為，

…………7分由，整理可得，直線恒過點.

…………8分當時，直線的方程為，過點，所以直線過定點.

…………9分②由①知，直線過焦點，由拋物線的定義得…10分

設直線的方程為.因為點在直線AE上，故，設，直線的方程為，由于，可得.

………11分

代入拋物線方程得，所以，可求得，，

………12分

所以點到直線的距離為.則的面積，

………13分當且僅當,即時等號成立.所以的面積的最小值為16.

………14分20.(本小題滿分16分)已知，其中是自然常數，

(1)討論時,的單調性、極值；

(2)求證：在（1）的條件下，；

(3)是否存在實數，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由。參考答案：（3）假設存在實數，使有最小值3，①當時，由于，則函數是上的增函數解得（舍去）---