2022-2023學年北京市豐臺區高二上學期數學期末試題一、單選題1．已知經過，兩點的直線的一個方向向量為，那么（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據直線的方向向量與斜率的關系求解.【詳解】由題意，解得：.故選：A.2．圓的圓心坐標和半徑分別為（

）A．，2 B．，2 C．，4 D．，4【答案】B【分析】根據圓的標準方程求得.【詳解】根據圓的標準方程得圓心為，半徑為故選：B3．有一組樣本數據的方差為0.1，則數據的方差為（

）A．0.1 B．0.2 C．1.1 D．2.1【答案】A【分析】由方差的定義直接求解即可.【詳解】設的平均數為，即，則數據的平均數，，所以數據的方差為：，故選：A.4．已知m，n是實數，若，，且，則（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】D【分析】根據空間向量共線，即可代入坐標運算求解.【詳解】由得存在實數，使得，故，進而，解得，所以，故選：D5．記錄并整理某車間10名工人一天生產的產品數量（單位：個）如下表所示：工人趙甲錢乙孫丙李丁周戊吳己鄭庚王辛馮王陳癸產品數量/個46485153535656565871那么這10名工人一天生產的產品數量的第30百分位數為（

）A．49.5 B．51 C．52 D．53【答案】C【分析】根據百分位數的計算即可求解.【詳解】10名工人一天生產的產品數量按從小到大排列為：46，48，51，53，53，56，56，56，58，71，則，故第30百分位數為第3個數據與第4個數據的平均數，即，故選：C6．某工廠對一批產品進行了抽樣檢測，下圖是根據抽樣檢測后的產品凈重（單位：克）數據繪制的頻率分布直方圖，其中產品凈重的范圍是，樣本數據分組為，，，，，已知樣本中產品凈重小于14克的個數是36，則樣本中凈重大于或等于10克并且小于22克的產品的個數是（

）A．90 B．75 C．60 D．45【答案】A【分析】根據頻率分布直方圖進行求解即可.【詳解】設樣本容量為，因為樣本中產品凈重小于14克的個數是36，所以有，所以樣本中凈重大于或等于10克并且小于22克的產品的個數是，故選：A7．已知生產某種產品需要兩道工序，設事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，只有第一道工序加工合格才進行第二道工序加工，那么事件“產品不合格”可以表示為（

）A． B．AB C． D．【答案】D【分析】由題意可知“產品不合格”包括第一道工序加工不合格和第一道工序加工合格而第二道工序加工不合格，從而可求得結果.【詳解】因為只有第一道工序加工合格才進行第二道工序加工，所以事件“產品不合格”包括第一道工序加工不合格和第一道工序加工合格而第二道工序加工不合格，所以事件“產品不合格”可以表示為，故選：D8．已知雙曲線的右支與圓交于A，B兩點，O為坐標原點．若為正三角形，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】由題意可求出，因為在雙曲線上，代入雙曲線的方程化簡即可求出雙曲線的離心率.【詳解】因為雙曲線的右支與圓交于A，B兩點，且為正三角形，所以設在一象限，則，因為在雙曲線上，所以，又因為，化簡得：，同時除以化簡得：，即，解得：（舍去）或，所以.故選：C.9．在平面直角坐標系xOy中，方程對應的曲線記為C，給出下列結論：①是曲線C上的點；②曲線C是中心對稱圖形；③記，，P為曲線C上任意一點，則面積的最大值為6．其中正確結論的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】把點代入驗證等式是否成立判斷①；點代入方程化簡驗證是否等式不變判斷②；等式兩邊平方化簡整理成，取值計算判斷③作答.【詳解】把點代入所以點不是曲線C上的點，故①不正確；把點代入得變為，所以曲線C是中心對稱圖形，故②正確；將方程兩邊平方：，當時，此時點，由，得，則，故③不正確故選：B【點睛】①當證明一個曲線是否關于原點對稱則需把點代入驗證是否與原來曲線相同；當證明一個曲線是否關于軸對稱則需把點代入驗證是否與原來曲線相同；當證明一個曲線是否關于軸對稱則需把點代入驗證是否與原來曲線相同；當證明一個曲線是否關于軸對稱則需把點代入驗證是否與原來曲線相同；②求一個二元曲線，可以把其中一個元，用另一個元來表示，看成函數求最值.二、多選題10．已知圓和存在公共點，則m的值不可能為（

）A．3 B． C．5 D．【答案】ABC【分析】根據圓與圓的位置關系進行求解即可.【詳解】因為圓和存在公共點，所以兩圓相交或者相內切或者相外切，即，解得，選項ABC滿足，故選：ABC三、填空題11．雙曲線的漸近線方程為__________．【答案】【分析】先把雙曲線化簡成標準方程，直接得出漸近線方程.【詳解】由得所以漸近線方程為故答案為.【點睛】本題考查了雙曲線漸近線方程的求法，屬于基礎題.12．甲、乙兩人獨立地破譯某個密碼，若兩人獨立譯出密碼的概率都是0.5，則密碼被破譯的概率為________．【答案】##【分析】利用相互獨立事件概率計算公式、對立事件的概率計算公式直接求解.【詳解】甲?乙兩人獨立地破譯某個密碼，兩人獨立譯出密碼的概率都是0.5，則密碼被破譯的概率為:.故答案為：.13．過點且與圓相切的直線的方程為________.【答案】或【分析】分兩種情況討論，一是切線的斜率不存在，可得出所求切線方程為，驗證即可；二是切線斜率存在，設所求切線的方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑求出的值.綜合可得出所求切線的方程.【詳解】當切線的斜率不存在時，所求切線的方程為，此時圓心到直線的距離為，合乎題意；當切線的斜率存在時，設所求切線的方程為，即，則圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則，解得，此時，所求切線的方程為，即，綜上所述，所求切線的方程為或.故答案為：或.【點睛】本題考查圓的切線方程的求解，在過圓外一點的圓的切線的方程求解時，要注意對切線的斜率是否存在進行分類討論，將直線與圓相切轉化為圓心到直線的距離等于圓的半徑來求解，考查運算求解能力，屬于中等題.14．在空間直角坐標系中，已知過坐標原點O的平面的一個法向量是，點到平面的距離為________．【答案】5【分析】由點到平面的距離公式即可求得點到平面的距離.【詳解】由點到面的距離公式得.故答案為：515．棱長為2的正方體中，點P滿足，其中x，y，，給出下列四個結論：①當，時，可能是等腰三角形；②當，時，三棱錐的體積恒為；③當，且時，的面積的最小值為；④當，且時，可能為直角．其中所有正確結論的序號是________．【答案】①②③【分析】建立空間直角坐標系，利用空間兩點間距離公式、空間向量夾角公式逐一判斷即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，，①：當，時，，，若，而，不成立；若，所以本結論成立；②：當，時，，設平面的法向量為，，，因此有，，所以點到平面的距離為：，顯然，三棱錐的體積恒為，所以本結論正確；③當，且時，，，由余弦定理可知：，于是有，當時，的面積的最小值為，所以本結論正確；④：當，且時，，，假設為直角，所以，由，代入中，化簡得：，解得，當時，，不符合題意，而，不符合題意，所以假設不成，因此本結論不正確，故答案為：①②③【點睛】關鍵點睛：建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式是解題的關鍵.四、解答題16．已知的三個頂點分別是，，．(1)求的外接圓C的方程；(2)求直線被圓C截得的弦的長．【答案】(1)(2)6【分析】（1）設圓的方程為，則根據圓經過三點，,，聯立方程組，求得、、的值，可得圓的方程．（2）根據點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離為1，進而根據圓的弦長公式即可求解.【詳解】（1）設圓的方程為，則由圓經過三點,可得，求得，可得圓的方程為．（2）將圓化成標準式得，所以圓心為半徑為，圓心到直線的距離為，故直線被圓C截得的弦的長17．如圖，在正四棱柱中，，M是棱上任意一點．(1)求證：；(2)若M是棱的中點，求異面直線AM與BC所成角的余弦值．【答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量證明線線垂直；（2）在第一問的基礎上，利用空間向量求解異面直角的夾角余弦值.【詳解】（1）證明：以A為原點，AB，AD，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，因為，所以，，，，所以；（2）M是棱的中點，故，則，設異面直線AM與BC所成角的大小為，則，故異面直線AM與BC所成角的余弦值為.18．某公司為了了解A，B兩個地區用戶對其產品的滿意程度，從A地區隨機抽取400名用戶，從B地區隨機抽取100名用戶，通過問卷的形式對公司產品評分．該公司將收集的數據按照，，，分組，繪制成評分分布表如下：分組A地區B地區403012020160408010合計400100(1)采取按組分層隨機抽樣的方法，從A地區抽取的400名用戶中抽取10名用戶參加座談活動．求參加座談的用戶中，對公司產品的評分不低于60分的用戶有多少名？(2)從（1）中參加座談的且評分不低于60分的用戶中隨機選取2名用戶，求這2名用戶的評分恰有1名低于80分的概率；(3)若A地區用戶對該公司產品的評分的平均值為，B地區用戶對該公司產品的評分的平均值為，兩個地區的所有用戶對該公司產品的評分的平均值為，試比較和的大小，并說明理由．【答案】(1)6(2)(3)，理由見解析【分析】（1）由頻率分布直方圖可以確定400名用戶中評分不低于60分的人數，利用分層抽樣的抽樣比即可求解人數，（2）根據古典概型的概率計算公式以及組合數的計算即可求解，（3）利用頻數分布表可求出，，利用加權平均計算，即可比較大小．【詳解】（1）由題知地區共抽取400名用戶，其中有240名用戶對該公司產品的評分不低于60分，故抽取的人數為,（2）由（1）知：不低于60分的人抽取了6人，這6人中，評分在的人數為，記這4個人分別為，評分在的人數為，記這2人分別為,故從6個人中選取2人的全部基本事件有,共有15種，恰有1名低于80分包含的基本事件有共有8種，因此2名用戶的評分恰有1名低于80分的概率為,（3），理由如下：，，所以，因為，兩地區人數比為，故地區抽取人數占總數的，地區抽取人數占總數的，則，所以．19．已知拋物線過點．(1)求拋物線C的方程及其焦點坐標；(2)過點A的直線l與拋物線C的另一個交點為B，若的面積為2，其中O為坐標原點，求點B的坐標．【答案】(1)；(2)見解析【分析】（1）把點代入拋物線方程求解.（2）直線l的方程設出來聯立韋達定理，求出點用斜率表示，根據面積等于2找到關于斜率的表達式求解.【詳解】（1）因為拋物線過點，所以所以拋物線，焦點坐標為（2）由題意得直線l的斜率一定不等于零，設l的方程為與拋物線聯立得，，故設，根據韋達定理得：，直線l與軸的交點為所以的面積為，所以或或或當時，，所以點當時，，所以點當時，，所以點當時，，所以點20．如圖，在四棱錐中，平面，，，且．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)在棱上是否存在點G（G與P，B不重合），使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值，若不存在，說明理由．【答案】(1)證明過程見解析；(2)；(3)存在，.【分析】（1）利用線面垂直的判定定理進行證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可；（3）利用空間向量夾角公式進行求解判斷即可.【詳解】（1）因為，，所以，因為平面，平面，所以，因為平面，所以平面；（2）因為平面，，所以可以建立如圖所示的空間直角坐標系，設，，由（1）可知平面，所以平面的法向量為，設平面的法向量為，，所以有，設平面與平面夾角為，，所以平面與平面夾角的余弦值為；（3）設，可得點的坐標為，所以，由（2）可知平面的法向量為，假設與平面所成角的正弦值為，所以有：，或舍去，因此假設成立，所以在棱上存在點G（G與P，B不重合），使得與平面所成角的正弦值為，的值為.21．已知橢圓過點，兩點．(1)求橢圓E的方程；(2)過點P的直線l與橢圓E交于C，D兩點．（i）若點P坐標為，直線BC，BD分別與x軸交于M，N兩點．求證：；（ii）若點P坐標為，直線g的方程為，橢圓E上存在定點Q，使直線QC，QD分別與直線g交于M，N兩點，且．請直接寫出點Q的坐標，結論不需證明．【答案】(1)(2)（i）證明見詳解；（ii）【分析】（1）將點代入方程中求出即可；（2）（i）根據題意可知直線斜率一定存在且不為0，畫出圖形，設直線方程代入橢圓E中，寫出韋達定理，然后寫出直線BC，BD的方程，令解出兩點，由圖可知，三點共線且在軸上，所以要證明，只需證明為的中點，由的縱坐標均為0，故只需證明即可；（ii）利用特殊情況可得，再證明此時對任意到直線，總有.【詳解】（1）由橢圓過點，兩點，所