第一節(jié)外測度第三章測度理論1.引言

其中積分與分割、介點集的取法無關(guān)幾何意義（非負函數(shù)）：函數(shù)圖象下方圖形的面積。xi-1xi(1)Riemann積分回顧（分割定義域）新的積分（Lebesgue積分,從分割值域入手）yiyi-1用mEi表示Ei的“長度”問題：如何把長度,面積,體積概念推廣?圓的面積內(nèi)接正n邊形的面積（內(nèi)填）內(nèi)接外切外切正n邊形的面積（外包）達布上和與下和Riemann積分xi-1xi達布下和的極限下積分（內(nèi)填）xi-1xi達布上和的極限上積分（外包）Jordan測度Jordan外測度（外包）Jordan可測Jordan內(nèi)測度（內(nèi)填）例：設E為[0,1]中的有理數(shù)全體，則E不Jordan可測由于任一覆蓋[0,1]中的有理數(shù)全體的有限開覆蓋也一定能覆蓋除有限個點外的[0,1]，從而由于無理數(shù)在[0,1]中稠密，故任一開區(qū)間都不可能含在E內(nèi)，從而所以，即E不Jordan可測([

())(

)(

(

)

]

)０１([

]

)-ε０１1+ε2Lebesgue外測度(外包)為E的Lebesgue外測度。定義：，稱非負廣義實數(shù)與Jordan外測度比較：下確界：即：用一開區(qū)間列“近似”替換集合E例設E是[0,1]中的全體有理數(shù)，試證明E的外測度為0

證明：由于E為可數(shù)集，再由ε的任意性知()

2.平面上的x軸的外測度為0思考：１.設E是平面上的有理點全體，則E的外測度為0思考：3.我們知道有理數(shù)與無理數(shù)在[0,1]上都稠密，問證明中

的開區(qū)間列是否覆蓋了區(qū)間[0,1]由無理數(shù)集在[0,1]上稠密可知上面敘述的錯誤出在取，因為i的取定依賴于δ()

思考：4.對Jordan外測度，我們用有限個開區(qū)間覆蓋[0,1]中的

有理數(shù)全體，則這有限個開區(qū)間也覆蓋[0,1]

（除有限個點外）注：對可數(shù)個開區(qū)間不一定有從左到右的一個排列（如Ｃantor集的余集的構(gòu)成區(qū)間）([

())(

)(

(

)

]

)０１注：對有限個開區(qū)間一定有從左到右的一個排列5.對Lebesgue外測度，我們用可數(shù)個開區(qū)間覆蓋[0,1]中的有理數(shù)全體，是否這可數(shù)個開區(qū)間也覆蓋[0,1]（除可數(shù)個點外）（2）Lebesgue外測度的性質(zhì)(b)的證明:能覆蓋B的開區(qū)間列也一定能覆蓋A，從而能覆蓋B的開區(qū)間列比能覆蓋A的開區(qū)間列要少，相應的下確界反而大。（b）單調(diào)性：（a）非負性：，當E為空集時，（C）次可數(shù)可加性證明：對任意的ε>0,由外測度的定義知，對每個An都有一列開區(qū)間（即用一開區(qū)間{Inm}列近似替換An）注：一般證明都是從大的一邊開始，因為外測度的定義用的是下確界由的ε任意性，即得注：外測度的次可數(shù)可加性的等號即使A，B不交也可能不成立（反例要用不可測集），但有:當區(qū)間Ii的直徑很小時候，區(qū)間Ii不可能同時含有A，B中的點從而把區(qū)間列Ii分成兩部分，一部分含有A中的點，一部分含有B中的點。若d(A,B)>0,則例思考：書本中的證明用有限開覆蓋定理的目的何在？此例說明Lebesgue外測度某種程度是區(qū)間長度概念的推廣對任意區(qū)間，有例：Cantor集的外測度為0。注：稱外測度為0的集合為零集；零集的子集，有限并，可數(shù)并仍為零集證明：令第n次等分后留下的閉區(qū)間為

正如引言中所說，要研究一般函數(shù)的積分，首先要建立一般集合的“長度”概念，這一工作可以追溯到19世紀人們關(guān)于容量的研究，其中具有代表性的人物是Peano（皮嚴諾）、Jordon（約當）以及Lebesgue的老師Borel（波雷爾）。然而，Lebesgue的工作替代了十九世紀的創(chuàng)造，特別是他改進了Borel的測度論。3．1外測度

3．1外測度

一．外測度的定義

問題1：回憶平面內(nèi)的面積、3維空間中長方體的體積概念，如何定義n

維空間中長方體的體積？問題2：有限個互不相交的長方體之并的體積是什么？問題3：回憶Riemann積分的定義及其幾何意義，由此啟發(fā)我們?nèi)绾味x一般集合的“面積”或“體積”？3．1外測度

眾所周知，在中，開矩形的面積為，在中，開長方體的體積為。很自然地，我們也稱中的開集3．1外測度

為開長方體，并定義其體積為

如果是一個一般的集合怎么辦呢？熟悉Riemann積分的人可能比較自然地會想到，用一些長方體去分割它，然后以長方體的體積之和近似代替的體積。但值得注意的是，由于是一般的集合，它可能不含任何開長方體，例如若是有理數(shù)3．1外測度

集，它不可能充滿任何長方體。因此，我們不能象Riemann積分那樣企圖采用長方體內(nèi)外來擠的辦法來定義一般集合的“長度”。盡管如此，Riemann積分的思想還是給了我們極大的啟示，它依然是我們的出發(fā)點，只不過具體做法稍不同。3．1外測度

定義1

設是的點集，是中的一列開長方體，，則確定一個非負的數(shù)（或）。記

稱為的Lebesgue外測度。3．1外測度

二.外測度的性質(zhì)問題4：回憶Riemann積分具有什么性質(zhì)，由此猜測外測度應具有什么性質(zhì)？3．1外測度

應該注意到，由于沒有假定是有界集，所以有可能是，就象的長度是一樣。由于在中任意平移一個長方體并不改變其體積，所以外測度也具有平移不變性，此外外測度還有如下幾個基本性質(zhì)：3．1外測度

性質(zhì)1。性質(zhì)2若，則。性質(zhì)3。3．1外測度

問題5：Riemann積分具有有限可加性，兩個互不相交的集合之并的外測度是否為這兩個集合的外測度之和？為什么？3．1外測度

性質(zhì)1是顯而易見的。如果注意到當時，凡是能蓋住的開長方體序列一定也能蓋住，則由外測度定義很容易得到。事實上，蓋住的開長方體序列的全體比蓋住的開長方體序列全體更多。為證性質(zhì)3，可采用如下辦法，對任意，由外測度定義知，對每個

，存在開長方體序列，滿足3．1外測度

從而，且于是3．1外測度

由的任意性知。看起來似乎外測度概念推廣了通常的體積概念，我們所期待的問題已經(jīng)解決，但是，當我們完成了在某個原始概念基礎上推廣或建立一個新的概念后，首先必須回過頭

3．1外測度

來審查一下這一概念是否具有合理性，所謂合理性就應包括下面兩個方面的問題：

1、它是否的確為原始概念的自然推廣？

2、它是否繼承了原始概念的基本特征？按上述方式定義的外測度是不是長方體體積概念的一種推廣呢？這就要看看當是長方體時，其體積與外測度是否相等。為方便計算，以為例來說明這件事，一般情形可類似證明。假設是矩形或是從某個矩形挖去有限個開矩形后剩3．1外測度

下的部分，是的閉包（顯然與有通常的體積）。下面用歸納法證明，如果是任意有限個蓋住的開矩形。則。如果是某個開矩形，它將蓋住時，則顯然有。假設是個開矩形將蓋住時，有。3．1外測度

往證蓋住的個開矩形也滿足記，則仍是從矩形中挖去有限個開矩形后剩下的部分，且將蓋住（事實上，不難證明：）。由歸納假設知3．1外測度

，于是

所以對任意有限個蓋住的開矩形，有。3．1外測度

下設是任一列開矩形將蓋住，則由有限覆蓋定理知存在有限個，它們也將蓋住，于是，進而。由的任意性知。由外測度的定義，不難看到。于是3．1外測度

即。故。特別地，當

是長方體時，。至于相反的不等式則是顯然的。綜上得。這說明外測度確是“體積”（或“面積”、“長度”）概念的自然拓廣。至此，集合的3．1外測度

“體積”問題似乎已得到解決，但事情遠非如此簡單。既然外測度是體積概念的自然推廣，那么當時，應有。因為區(qū)間的長度或立體的體積都是具有可加性的。遣憾的是，外測度并非對所有的集合都具有可加性。事實上，如果對任意3．1外測度

兩個不交的集合都有，則不難推知對任意有限個互不相交的點集，也有進而對任意一列互不相交的點集，有3．1外測度

令便知相反的不等式由外測度的性質(zhì)3立得，所以這就是說，只要外測度具有可加性，則它一定具有可數(shù)可加性。然而下面的例子說明，外測度并不具有這種性質(zhì)。3．1外測度

例1對任意，令

顯然，故非空，而且對任意，如果，則。事實上，若，則對任意及，均為有理數(shù)，也為為理數(shù)，于是及3．1外測度

都為有理數(shù)，這說明，，由的任意性知（實際上是有理數(shù)）。這樣，可以分解成一些互不相交的之并，對每個，從中任取一點構(gòu)成一個集合，當然。記為中有理數(shù)全體，3．1外測度

即是將平移后得到的，顯然，而且當時，。若不然，存在，則存在，使，于是為有理數(shù)，但由的構(gòu)造，若，則屬于不同的，即不能為有理數(shù)，因此只能有，然而這將導致，再次得到矛盾，所以與一定不交。3．1外測度

下證，任取，則，由

的構(gòu)造，是單點集，設為，于是是有理數(shù)，且，因此存在某個

，使，這樣。即。綜上得。如果外測度具有可加性，則3．1外測度

注意是經(jīng)過平移后得到的，故，于是由的收斂性知，然而這樣導致。這個矛盾說明外測度的確不具有可加性。3．1外測度

問題出在哪里呢？是不是外測度的定義有缺陷？從上面的例子可以看到，整個的證明并未用到外測度的具體構(gòu)造，這就是說，只要一種關(guān)于集合的函數(shù)（常稱為集函數(shù)）具備性質(zhì)1、2、3及可加性，就不可避免地會碰到上述矛盾。而性質(zhì)1、2、3與可加性又是必須具備的條件。由此可見，問題不在于外測度的定義方法有毛病，而是碰到了一種無法克服的困難。換句話說，總有一些集合，其測度是不具有可加性的，既然無法克服這個困難，最好的辦法是把這些集合排除在外，只考慮那些具3．1外測度

有可加性的集合。我們把前者稱為不可測集，后者稱為可測集。3．1外測度

三.可測集的定義問題6：回憶Riemann積分的存在性定理，它啟發(fā)我們應如何定義一般的可測集？3．1外測度

如何判斷一個集合是可測或不可測的呢？有兩種方法來作出判斷，其一是采用內(nèi)外測度的辦法，回憶微積分中求曲邊梯形的面積時，通過將函數(shù)的定義區(qū)間分割成若干小區(qū)間，然后以這些小區(qū)間為邊作若干小矩形包住曲邊梯形，同時又讓曲邊梯形包住以這些小區(qū)間為邊的另一些小矩形，如果當劃分越來越細時，內(nèi)外小矩形面積之和趨于同一個值，則曲邊梯形的面積就存在。否則就不存在，內(nèi)外測度方法與此很相似，集合E的外測度是包住E的一些小長方體和體積之和的下確界，如何作內(nèi)測度呢？

3．1外測度

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為敘述方便，以直線上有界點集為例，不妨設，若可測，也應可測，于是應有。如果開區(qū)間蓋住了，則，因此一種自然的方式是定義的內(nèi)測度為：當時，稱

是可測集。

直觀地解釋內(nèi)測度就是將挖去一些開區(qū)間后剩下部分的長度之上確界。回憶一下直線上有界閉集的構(gòu)造不難發(fā)現(xiàn)，內(nèi)測度其實就是包含在中的閉集的測度之上確界；而閉集的測度可以定義為某個包含它的閉區(qū)間長度減去其余集的構(gòu)成區(qū)間長度之和。3．1外測度

3．1外測度

但是將這一方法推廣到中會帶來一些技術(shù)上的麻煩，所以下面我們采用另外一種方法。如果是可測集（注意，我們尚未定義可測集）。也應當是可測的，于是應有。但，由外測度性質(zhì)3至少有一個為，所以上述等式恒成立。3．1外測度

由此并不能得到關(guān)于可測性的任何實質(zhì)性信息，因此，我們將限制在任意的開長方體上，考慮與是否可加，即對任意開長方體