第二章

極限與連續2.1極限的概念

2.2．求極限的方法

2.3極限的存在性

2.4函數的連續性

問題1：現在假設你的彩票中獎并且給你在以下兩種支付方式中進行選擇：一種方式是一次性支付100萬元，另一種方式是從現在開始每年支付10萬元直到永遠（可以支付給你的后代）.假設每年的利率是5%，你應該選擇那種方式？問題2：我們國家的各個城市現在普遍實行低保制度.其目的是保證低收入家庭的基本生活開支.基本原則是既能夠維持這些家庭的基本生活同時又不影響這些家庭成員以及其他社會成員努力工作的積極性.假設你是一名社保局的工作人員，應如何制定低保支付方案？2.1極限的概念

近”的意思就是想接近到什么程度就接近到什么程們上面選取的滿足要求.左極限和右極限統稱為單側極限（One-sidedlimit）.練習

6.畫出函數圖形然后再求解以下問題或說明它不存在.9.設有函數定義2.1.4定義2.1.4中的三種極限統稱為自變量趨于無窮大時的極限.練習

數列及其極限

假如我們今天將P元錢存入一個生息的銀行賬戶，隨著時間的推移，這P元錢會增加到的金額B被稱為P元錢的將來值（Futurevalue）.為了在將來的某個時點，銀行賬戶中正好產生金額B，現在必須存入到銀行賬戶中的金額P被稱為B的現值（Presentvalue）.問題1：假設你的彩票中獎并且給你在以下兩種支付方式中進行選擇：一種方式是一次性支付100萬元，另一種方式是從現在開始每年支付10萬元直到永遠（可以支付給你的后代）.假設每年的利率是5%，你應該選擇那種方式？問題分析:首先我們得將未來得到的錢換算成現值.現在得到的10萬元，現值也是10萬元，記為照自變量由小到大的順序排列起來就得到一個數列都是數列的例子，它們的第n項依次為因此上面的數列可以分別寫為：現在我們回答問題1：因此中獎人應選擇第二種支付方式.練習

1.判斷對錯，正確的請說明理由，錯誤的請說明理由或舉出反例都收斂且極限值相等.的圖形的垂直漸近線（Verticalasymptote）的圖形的水平漸近線和垂直漸近線都是垂直漸近線.為了以后的使用，關于無窮小我們還有以下概念：無窮小（Infinitesimalofhigherorder），記為練習

對于其它的自變量變化過程和數列，給出極限是無窮大的定義.3.判斷對錯，正確的請說明理由，錯誤的請說明理由或舉出反例無窮小量.（5）無窮小量是零。（6）零是無窮小量。（7）無界變量一定是無窮大量。2.2．求極限的方法

證明必要性直接由定理2.2.1得到.現在我們證明充分性.所以不能用商法則，這時我們首先對函數進行恒等變換.練習3.對于其它類型的函數極限和數列極限，寫出定理定理2.2.1，定理2.2.2，定理2.2.3，定理2.2.4，定理2.2.5，定理2.2.7。4.求下列極限：

練習

1.對于其它類型的極限，寫出定理2.2.8，并證明之.

3.計算下列極限2.3極限的存在性

問題提出：設儲蓄帳戶的年利率為12%，一個客戶在其帳戶中存入1000元，在一年內，客戶不提取.如果以一年作為一期來計算利息，那么在一年末，客戶帳戶中的金額1000+1000X0.12=1000(1+0.12)=1120(元)若銀行以半年作為一期來進行利息計算，年利率為12%，那么半年利率為6%.在第一個半年末的賬戶余額為這樣，第三個季度的開始時點的本金為1000(1+0.06)=1060.這樣，第二個半年的開始時點的本金為1060元，那么在一年末賬戶中的余額為1000(1+0.06)(1+0.06)=1000(1+0.06)2=1030，這樣第二個季度的開始時點的本金1000X(1+0.03)=1030(元)，在第二個季度末的賬戶余額為這樣，第四個季度的開始時點的本金為在第四個季度末（也就是一年末）的賬戶余額為（元）.若銀行以一個月作為一期來進行利息計算，那么在一年末賬上面這樣，將存（貸）款的時間（上面的一年）分成若干期（每期的時間相等，如上面的2期、4戶中的余額為期、12期，每期的時間分別為：半年、一個季度、一個月），將上一期所獲得的利息連同上一期的本金一起作為這一期的本金來計算這一期利息，按照這種方式一直計算到最后一期末，這樣的計算利息的方法被稱為復利計算.毫無疑問利息計算的次數越多，在年末所獲得的利息越多.現在的問題是當計算次數無限多時（稱為連續復利計算，之所以稱為連續復利是因為每時每刻都在算，沒有間斷）利息會多到什么程度呢？就是一年內利息計算的次數），則相應的每一期的利率為設一個客戶在其帳戶中存入P元.那么在第一期末的賬戶余額為直接的觀察很難回答上面的問題.因此我們可以將上面的問題分成兩步，第一步：先看它是否有極限？第二步：再看它極限是多少？這樣做的好處是顯而易見的，如果沒有，當然就沒有上面“多少”的問題了.設銀行的年利率為100%，將一年分成限是否存在？這樣無休止地抽取下去，得到一個數列有了定理2.3.2,我們可以說:如果銀行的利率是100%，一個客戶在其帳戶中存入P元,那么按連續復利計算，一年末的賬戶余額為的精確定義參看本章第7節的相關內容）.現在我們回答本節開始提出的問題：按照連續復利計算，一年末：賬戶的余額為多少？這樣上面的問題就變成了由復合函數求極限法則和定理2.3.5的第二個結論，定理2.3.6練習

1.寫出其它類型極限的歸結原則.2.求下列極限

定理2.3.6（致密性定理）定理2.3.7（柯西收斂原理）2.4函數的連續性首先，如果一個函數的圖形以不抬起筆的方式畫出來，那么這個函數的定義域一定得是一個區間.如圖但是，只有定義域是個區間還不夠，比如，如圖的函數意這三個點的極限和它的函數值之間的關系.而在其它的點沒有上述三種情形出現，也就是說如果一個函數在其定義域上的各點不出現上述三種情形的任意一種，那么這個函數的圖形就能用一筆畫出來.連續性的定義例1找出下列函數的不連續點：定理2.4.1對于余弦函數的證明是類似的，留做練習.練習

1.證明定理2.4.1；對于右連續和左連續寫出定理2.4.1.2.一個停車場第一個小時（或不到一小時）收費2元，以后每小時（或不到整時）收費1元，每天最多收費10元.寫出收費作為停車時間的函數表達式，討論此函數的間斷點以及它們對于停車人的意義.3.證明余弦函數是連續函數。4.找出下列函數的間斷點并指出類型；在這些間斷連續函數的運算

定理2.4.2（連續函數的四則運算法則）續點）,則點C是下列函數的連續點（左連續點、右連續點）：推論1連續函數的和、差、積、商在其定義域上的各點都是連續的.推論2多項式函數是連續函數，即它在上連續；有理函數是連續函數，即它在自己的定義域上連續.推論3正切函數和余切函數都是連續函數.定理2.4.3（復合函數的連續性）定理2.4.3可以簡單地敘述為：連續函數的復合函數在其定義域上仍是連續函數練習1.證明連續函數的四則運算法則。2.證明定理2.4.3.3.證明定理2.4.4的其余結論。2.5閉區間上連續函數的性質是唯一的，但最大值點或最小值點不是唯一的.推論反三角函數都是連續函數.2.6連續性和不連續性的經濟應用

低保支付方案的制定

假定該城市的最低生活費用為750元人民幣/月表示工作發放的低保金，那么既不影響工作積極性又能保證（2010年），該城市的最低工資標準為15元/小時.設t是一個人的工作時間，基本生活的一個比較合理的低保方案是：顯然這個函數是連續遞增的，因此一個人選擇工作的時間越長總是意味著收入更多，這樣的話每個人都會選擇積極工作以使自己的經濟狀況好一些，同時又能使所有的人都能夠維持基本的生活.可分性和生產函數生產函數不具有這個性質.比如，汽車廠生產要用螺栓，設表示螺栓的數量，表示生產汽車的顯然螺栓的數量只能是自然數才有意義然而，如果一個汽車廠每年生產2萬輛汽車，每輛車使用1050個螺栓，那么下面的處理方法看起其中點（1050,1）（2100，2),（3150，3）等是真實的變量關系.值不是1050的整數倍，那么最接近1050的整數倍的數可能是較合理的近來是合情合理的：顯然如果有人在公司的決策過程中利用連續函數近似值.這樣，即便商品不是無限可分的，也常假設其是，而不會過多歪曲事實.帶獎金的工資明細表假設銷售員得到一份工資合同，規定月工資由三部分構成：（1）基本工資2000元(2）1%的提成；（3）如果月銷售額達到或超過15萬元，可得額外獎勵3000元.這個工資合同可以簡單地用下面的函數來表示：在點150000處不連續，這個不連續性會導致上面的工資合同不利于調動全體銷售員的工作積極性.考慮下列情景：有三個銷售員小王、小張和小李，其當月銷售額（不包含最后一天）分別是：小王16萬元，小張13.5萬元，小李5均衡價格的存在性

萬元.1%的提成給予三個銷售員相同的內在激勵.但是3000元獎金對三個銷售員最后一天的工作會產生不同的激勵.假設在一天內銷售幾萬元的商品是可能的，但是銷售10萬元的商品實際上是不可能的，那么可以期待銷售員小張在最后一天會比另外兩個銷售員更加努力地工作.

生產者會發現生產該產品利潤豐厚，而顧客會感到價格過高，這樣必然導致供過于求，即使得在這個價格下該種商品的供給恰好等于需求，這個價格被稱為均衡價格或市場出清價格.考慮下列線性需求函數和供給函數：上述關于價格存在性的討論有助于決定這些函數的參數條件，這些條件是保證存在正均衡價格所必需的.在上面的幾個經濟問題中，要求所考慮的函數都是連續（不是連續的，需將其連續化），否則我們不能得到需要的答案.但有些經濟問題的解恰好是在不連續點得到的，這時你要勉強將所考慮函函數連續化會使得其反.為此，我們看下面的經濟模型.價格競爭的伯特蘭模型如果市場中有不止一個制造者/消費者，但是數量不足以達到完全競爭的要求，則稱市場是寡頭壟斷.伯特蘭（Bertrand）模型描述了公司在此情形下的可能行為.為簡化討論，假設市場上只有兩家公司.假設兩個公司在價格上進行競爭，即每個公司制定價格以滿足在此價格下對其產品的實際需求.假設公司制造的產品同質，如果一個公司索取的價格更低，那么所有的消費者都會購買該公司的產品.如果兩個公司制定的價格相同，那么可以假設消費者的購買量將在兩個公司之間平均分配.因此我們需考慮價格改變時每個公司的收益會如何變化.為了搞清在此情況下公司將如何選擇，考慮如下簡單的情形：設市場對該產品的需求函數為假設公司2制定了不同的價格，比如說在此情形下，如果公司1的定價超過7，則公司1的銷售量將變成0；如果公司1的定價也是7，則公司1和公司2評分市場.這時兩個公司的銷售量都是3，公司1的收益如果公司1的定價只要比處是不連續的.從經濟這種不連續性是特別重要的，因為類似于上面經濟模型的解往往都是在不連續點得到的.為表明這一點，考慮公司2給定的任意價格只要公司1都會低于此價格出售其產品，這樣公司1就會獲得全部市場份額，這樣的話，公司2的銷售量是0，因此公司2的定價只能是4（低于4的話，回虧本），這樣公司1的價格也只能是4，否則的話公司2也會采取上面公司2的策略.所以該種商品的市場價格一定等于單位商品的成本.霍特林（Hotelling）位置模型

霍特林（Hotelling）位置模型用于說明這樣一個問題：為什么經營同種商品的公司經常會在同一地點開設？比如建材市場、農貿市場等等.為了說明簡單，假設有A,B兩個公司位于位于一條條直線距離為1公里的街上.為了方便，我們認為這條街就是閉區間[0,1].這樣街道上的點就可以用屬于[0,1]上的數字L來表示.假設兩個公司都出售同質、同價的商品，并且兩個公司為顧客提供的服務也都相同.這樣從概率的角度來看，如果這兩個公司位于同一位置，那么這兩個公司所獲得的顧客數量應該相同，各獲得一半的顧客.再假設顧客沿街均勻分布，每個顧客都購買一單位產品，設單位產品的價格和成本分別為如果共有N個顧客，那么市場的潛在總利潤為于是每個公司都盡可能選擇一個能獲得最大市場份額的位置.左邊的顧客去

A公司，點

右邊的顧客去B公司，因此A公司占有60%的市場份額，而B公司占有40%的市場份額.因為A公司可選擇的位置是從0到1的所有點，的市場份額，而B公司占有90%的市場份額.現在隨著A公司將位置向右移動，但仍選擇則

公司的市場份額會逐漸增加到20%.然而，一旦

公司的位置確切地抵達點公司將平分市場，因為此時對顧客而言兩個公司是沒有差別的.因此在點0.2處，A公司的市場份額不連續地跳到50%.如果A公司選在處，則其市場份額躍至80%，并且隨著A公司位置的右移市場份額會逐漸變少.我們用表示A公司的市場份額，則份額函數為從上面的分析來看，B公司的位置如果恰好選在中點0.5處，那么無論A公司的位置選在何處，B公司的市場份額都至少占50%，當然A公司也和B公司的想法一樣，因此兩家公司都會選在中點0.5處的位置.練習

假設政府以5%的稅率對每個人的收入中超過2000元的部分征稅.現在政府希望獲得額外的稅收收入，但是又要避免加重低收入或中等收入者的負擔.因此政府決定對每個年收入60000元及以上的人一次性征收1000元附加稅.畫出稅后收入曲線，

y是稅前收入

的函數.討論征稅方案中可能由不連續性引起的對人們工作積極性的影響.2.假設某銷售員每月的收入是5000元基本工資加上與銷售業績掛鉤的提成和獎金.假設提成比例是15%.當每月銷售額超過150000元時一次性支付獎金6000元.如果月銷售額超過250000元時一次性支付獎金10000元.寫出銷售員的業績與收入之間的函數關系式，并指出函數的間斷點和間斷點的類型.3.假設某銷售員每月的收入是3000元基本工資加上與銷售業績掛鉤的提成.當每月銷售額不超過150000元時提成比例是10%.但如果月銷售額超過250000元時提成比例是20%（已全部銷售額為基數）.寫出銷售員的業績與收入之間的函數關系式，并指出函數的間斷點和間斷點的類型.

2.7初等函數第一章經濟數學模型中，我們首先介紹了三種基本函數：線性函數、正弦函數和余弦函數，然后通過四則運算給出了多項式函數、有理函數和三角函數.上一節，通過使用介值定理給出了反三角函數.現在繼續通過使用介值定理介紹指數函數、對數函數和冪函數.雖然這些函數在中學時我們都學過，但那時學的比較粗糙，很多地方都是模模糊糊.比如，到底是什么？再比如，為什么說指數函數的值域是？等等，諸如此類問題在本節我們徹底解決.算術根

定理2.7.1

定理2.7.2（算術平均數與幾何平均數不等式）有理數次方冪步定義有理數次方冪.關于有理數方冪，我們有無理數次方冪

對于許多問題，用來建立模型